Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine

01 Energie totale

Dans un circuit RLC ou LC, l’énergie totale du circuit est :

\[ E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_c^2 + \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2 \]

Dérivons l’expression de \( E_T \) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot 2 \cdot u_c \cdot \frac{du_c}{dt} + \frac{1}{2} \cdot L \cdot 2 \cdot i \cdot \frac{di}{dt} \]

On obtient :

\[ \frac{dE_T}{dt} = C \cdot u_c \cdot \frac{du_c}{dt} + L \cdot i \cdot \frac{di}{dt} \]

Avec :

\[ i = C \cdot \frac{du_c}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{di}{dt} = C \cdot \frac{d^2u_c}{dt^2} \]

Donc :

\[ \frac{dE_T}{dt} = C \cdot u_c \cdot \frac{du_c}{dt} + L \cdot C \cdot \frac{du_c}{dt} \cdot \frac{d^2u_c}{dt^2} \]

En factorisant :

\[ \frac{dE_T}{dt} = L \cdot C \cdot \frac{du_c}{dt} \left( \frac{d^2 u_c}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_c \right) \quad (*) \]

02 Dans un circuit LC idéal

Pour un circuit LC idéal :

\[ \frac{d^2 u_c}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_c = 0 \]

donc d’après \( (*) \) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = 0 \]

D’où l’énergie totale du circuit reste constante au cours du temps :

\[ E_T = \text{constante} \]

Interprétation :

Au cours des oscillations non amorties, l’énergie électrique \( E_e \) emmagasinée dans le condensateur se transforme en énergie magnétique \( E_m \) dans la bobine et inversement.

(a) Expression de l’énergie totale

Si \( u_c = \pm E \) alors \( i = 0 \) (\( E_m = 0 \)), l’énergie totale est donc :

\[ E_T = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \]

Si \( i = \pm I_m \) alors \( u_c = 0 \) (\( E_e = 0 \)), l’énergie totale est donc :

\[ E_T = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_m^2 \]

(b) Représentation de \( E_e \), \( E_m \) et \( E_T \) en fonction du temps

\[ E_e = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_c^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \cos^2 \left( \frac{2\pi}{T_0} \cdot t \right) \]

\[ E_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2 = \frac{1}{2} \cdot L \cdot C^2 \cdot E^2 \cdot \left( \frac{2\pi}{T_0} \right)^2 \cdot \sin^2 \left( \frac{2\pi}{T_0} \cdot t \right) \]

\[ E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \cos^2 \left( \frac{2\pi}{T_0} \cdot t \right) + \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \cdot \sin^2 \left( \frac{2\pi}{T_0} \cdot t \right) \]

\[ E_T = \frac{1}{2} \cdot C \cdot E^2 \]

03 Dans un circuit RLC

D’après l’équation différentielle :

\[ \frac{d^2 u_c}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_c = -\frac{R_T}{L} \cdot \frac{du_c}{dt} \]

Donc d’après \( (*) \) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = L \cdot C \cdot \frac{du_c}{dt} \left( -\frac{R_T}{L} \cdot \frac{du_c}{dt} \right) = -R_T \cdot C^2 \cdot \left( \frac{du_c}{dt} \right)^2 = -R_T \cdot \left( C \cdot \frac{du_c}{dt} \right)^2 \]

D’où :

\[ \frac{dE_T}{dt} = -R_T \cdot i^2 < 0 \]

Donc l’énergie totale d’un circuit RLC diminue au cours du temps.

Interprétation :

Les oscillations sont amorties à cause de la dissipation de l’énergie par effet Joule dans les résistances du circuit.

Remarques :

La variation de l’énergie totale entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \) est :

\[ \Delta E = E_T(t_2) – E_T(t_1) \]

L’énergie dissipée par effet Joule entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \) est :

\[ E_J = |\Delta E| = E_T(t_1) – E_T(t_2) \]