\[ ^{137}_{55}\text{Cs} \]

Protons : \( Z = 55 \)
Neutrons : \( N = A – Z = 137 – 55 = 82 \)

\[ ^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{0}_{-1}e \]

Conservation du nombre de masse : \( A = 137 \)
Conservation de charge : \( 55 = 56 + (-1) \)

L’élément fils est le baryum 137.

Défaut de masse :

\[ E_{\text{lib}} = \left| \big( m(^{137}\text{Ba}) + m(e^-) – m(^{137}\text{Cs}) \big) c^2 \right| \]

Masses (u) : \( m(^{137}\text{Ba}) = 136,90582 \) ; \( m(e^-)=0,00055 \) ; \( m(^{137}\text{Cs})=136,90708 \)

\[ \Delta m = 136,90582 + 0,00055 – 136,90708 = -0,00071 \ \text{u} \] \[ E_{\text{lib}} = 0,00071 \times 931,5 \ \text{MeV} \approx 0,661 \ \text{MeV} \]

Activité : \( a(t) = a_0 e^{-\lambda t} \), demi-vie \( t_{1/2}=30 \ \text{ans} \).

En 1986 (Tchernobyl) \( a_0 = 1,2 \times 10^5 \ \text{Bq/kg} \).
En 2026 : \( t = 2026-1986 = 40 \ \text{ans} \)

\[ a_{2026} = 1,2\times10^5 \cdot e^{-\frac{\ln2}{30}\times 40} = 1,2\times10^5 \cdot e^{-0,924} \approx 4,87\times10^4 \ \text{Bq/kg} \]

Zone sans danger : \( a_{\text{lim}} = 3,0\times10^3 \ \text{Bq/kg} \)

\[ t = 1986 + \frac{t_{1/2}}{\ln2} \ln\left(\frac{a_0}{a_{\text{lim}}}\right) = 1986 + \frac{30}{\ln2} \ln\left(\frac{1,2\times10^5}{3,0\times10^3}\right) \] \[ t = 1986 + \frac{30}{0,693} \ln(40) \approx 1986 + 43,3 \times 3,689 \approx 1986 + 159,7 \approx 2146 \]

Plus la résistance est faible, plus l’intensité en régime permanent est élevée.
\( R < R' \) ⇒ la courbe (1) correspond à la plus petite résistance \( R \).

Équation différentielle : maille \( u_L + u_R = E \)

\[ L\frac{di}{dt} + (R+r)i = E \quad\Rightarrow\quad \frac{L}{R+r}\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R+r} \] \[ \tau = \frac{L}{R+r} \quad,\quad I = \frac{E}{R+r} \]

Régime permanent : \( I’ = 100 \ \text{mA} \) (courbe avec \(R’\)).

\[ R’ + r = \frac{E}{I’} = \frac{6}{0,100} = 60\ \Omega \] \[ r = 60 – R’ = 60 – 50 = 10 \ \Omega \]

Constante de temps graphique : \( \tau’ = 10 \ \text{ms} \) (tangente à l’origine).

\[ \tau’ = \frac{L}{R’+r} \quad\Rightarrow\quad L = \tau’ (R’+r) = 0,010 \times 60 = 0,6 \ \text{H} \]

Pour un circuit RLC non amorti, l’énergie électromagnétique oscille à une période \( T_e \) liée à la période propre \( T_0 \).

Graphiquement : \( T_e = 25 \ \text{ms} \) (période des battements d’énergie).

Pour un oscillateur LC, l’énergie totale est constante mais les énergies \(E_C\) et \(E_L\) varient à une fréquence double :

\[ T = 2T_e = 50 \ \text{ms} \]

La pseudo-période (si faible amortissement) est proche de \(T_0\).

\[ \tau \frac{di}{dt} + i = I \quad\text{avec}\quad \tau = \frac{L}{R+r},\ I = \frac{E}{R+r} \]

Solution : \( i(t) = I \left(1 – e^{-t/\tau}\right) \) pour un échelon de tension.

Le produit \( \tau \) caractérise la rapidité d’établissement du courant.

Dans la chambre à vide, aucune force de frottement ni poussée d’Archimède.
Seul le poids s’exerce → chute libre quel que soit l’objet.

Deuxième loi de Newton : \( \vec{P} = m\vec{a}_G \) ⇒ \( \vec{a}_G = \vec{g} \)

Projection sur l’axe vertical (Oz) : \( a_z = g = 10\ \text{m·s}^{-2} \)

Galilée : dans le vide, une plume et une boule touchent le sol simultanément.

Équations horaires (vitesse initiale nulle, origine en haut) :

\[ v(t) = g t , \quad x(t) = \frac12 g t^2 \]

Arrivée au sol : \( \frac12 g t_S^2 = h \) ⇒ \( t_S = \sqrt{\frac{2h}{g}} \)

\[ t_S = \sqrt{\frac{2 \times 30}{10}} = \sqrt{6} \approx 2,45\ \text{s} \]

Vitesse d’impact : \( v_S = g t_S = 10 \times 2,45 = 24,5\ \text{m·s}^{-1} \)

Période relevée graphiquement : \( T_0 = 2\ \text{s} \).

Amplitude : \( x(t) = X_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) \)

Vitesse maximale : \( \dot{x}_m = X_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \) ⇒ \( X_m = \dot{x}_m \cdot \frac{T_0}{2\pi} \)

Donnée : \( \dot{x}_m = 0,125\ \text{m/s} = 12,5\ \text{cm/s} \)

\[ X_m = 0,125 \times \frac{2}{2\pi} = 0,125 \times \frac{1}{\pi} \approx 0,0398\ \text{m} \approx 4\ \text{cm} \]

Période propre : \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{K}} \) ⇒ \( K = \frac{4\pi^2 m_1}{T_0^2} \)

Masse \( m_1 = 3\ \text{kg} \), \( T_0 = 2\ \text{s} \)

\[ K = \frac{4\pi^2 \times 3}{2^2} = \frac{12\pi^2}{4} = 3\pi^2 \approx 29,6\ \text{N·m}^{-1} \]

Plus la raideur est grande, plus la période est faible.

La boule est soumise à :

• Poids \( \vec{P} \) (vertical, ne travaille pas sur le plan horizontal)
• Réaction normale \( \vec{R} \) (perpendiculaire au déplacement → nul)
• Tension du ressort \( \vec{T} \) (force conservative)

La seule force qui travaille est la tension du ressort (conservative).
✅ L’énergie mécanique du système {boule + ressort} se conserve.

Aux élongations maximales (\(x = \pm X_m\)), l’énergie cinétique est nulle → énergie potentielle élastique maximale :

\[ E_m = \frac12 K X_m^2 \] \[ E_m = \frac12 \times 30 \times (0,04)^2 = 0,5 \times 30 \times 0,0016 = 0,024\ \text{J} \] \[ E_m = 2,4 \times 10^{-2}\ \text{J} \]

Cette énergie oscille entre énergie cinétique et potentielle élastique sans perte (pas de frottement).

Chute libre sans vitesse initiale :

\[ t_S = \sqrt{\frac{2h}{g}} \quad,\quad v_S = \sqrt{2gh} \]

Oscillateur ressort horizontal :

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} \quad,\quad E_m = \frac12 K X_m^2 \]

La vitesse maximale : \( v_{\text{max}} = \frac{2\pi X_m}{T_0} \)