sr2017

Rendement de la réaction d’estérification

Question 7 : Calcul du rendement r

1. Définition du rendement :

Le rendement d’une réaction chimique est le rapport entre la quantité de produit effectivement formé et la quantité maximale que l’on pourrait obtenir si la réaction était totale.

2. Détermination de la quantité expérimentale d’ester :

D’après le tableau d’avancement de la réaction d’estérification :

La quantité d’ester formé à l’équilibre est égale à l’avancement final \(x_f\).

3. Utilisation de la constante d’équilibre K :

On donne : \(K = 4\)

Les quantités initiales sont : \(n_i(acide) = 0,1 \text{ mol}\) et \(n_i(alcool) = 0,4 \text{ mol}\).

Tableau d’avancement :

État	Acide	Alcool	Ester	Eau
Initial	0,1	0,4	0	0
Équilibre	\(0,1 – x_f\)	\(0,4 – x_f\)	\(x_f\)	\(x_f\)

4. Expression de la constante d’équilibre :

La constante d’équilibre \(K\) s’exprime en fonction des quantités de matière à l’équilibre (le volume se simplifie car toutes les espèces sont dans le même volume) :

5. Résolution de l’équation :

Développons l’expression :

Résolvons cette équation du second degré :

Donc : \(x_f \approx 9,3 \times 10^{-2} \text{ mol}\).

6. Quantité théorique d’ester :

Si la réaction était totale, le réactif limitant (l’acide) serait entièrement consommé :

7. Calcul du rendement :

Le rendement est de 93%, ce qui signifie que la réaction est quasi-totale.

Question 8 : Équation de la réaction

Acide éthanoïque + Éthanol ⇌ Éthanoate d’éthyle + Eau

---

Partie I : Diffraction d’une onde lumineuse

Question 1 : Détermination de la longueur d’onde \(\lambda\)

1. Rappel sur la diffraction :

Lorsqu’une onde lumineuse monochromatique traverse une fente de largeur \(d\) (ou un obstacle de dimension \(d\)), elle est diffractée. L’angle de diffraction \(\theta\) est donné par :

2. Relation entre \(\theta\) et la largeur de la tâche centrale :

Sur un écran placé à une distance \(D\) de la fente, la largeur de la tâche centrale de diffraction est \(L\). Pour les petits angles :

Comme \(\theta\) est petit, \(\tan\theta \approx \theta\), donc :

3. Expression de la longueur d’onde :

En égalant les deux expressions de \(\theta\) :

4. Application numérique :

Données : \(L = 56 \text{ mm} = 56 \times 10^{-3} \text{ m}\), \(d = 0,1 \text{ mm} = 0,1 \times 10^{-3} \text{ m}\), \(D = 3,5 \text{ m}\).

Question 2 : Effet du remplacement par une lumière violette

La lumière violette a une longueur d’onde \(\lambda_v \approx 400 \text{ nm}\), plus petite que celle de la lumière étudiée (\(\lambda = 800 \text{ nm}\)).

La largeur de la tâche centrale est proportionnelle à la longueur d’onde : \(L = \dfrac{2D}{d} \cdot \lambda\).

Donc, si \(\lambda\) diminue, \(L\) diminue également.

Conclusion : La nouvelle tâche centrale sera plus étroite.

---

Partie II : Désintégration du Cobalt 60

Question 1 : Particule \(X\) et type de désintégration

1. Équation de désintégration :

Le noyau de Cobalt 60 (\(^{60}_{27}Co\)) se désintègre en donnant un noyau de Nickel 60 (\(^{60}_{28}Ni\)).

D’après les lois de conservation de Soddy :

La particule émise est donc un électron : \(^{0}_{-1}e\).

2. Type de radioactivité :

Il s’agit d’une désintégration de type \(\beta^-\) (émission d’un électron).

Question 2 : Énergie libérée

1. Défaut de masse :

L’énergie libérée lors d’une désintégration radioactive correspond à la différence de masse entre les noyaux père et fils, exprimée en énergie via la relation d’Einstein \(E = \Delta m \cdot c^2\).

La masse diminue : le défaut de masse est \(\Delta m = 3,03 \times 10^{-3} \text{ u}\).

2. Énergie libérée en MeV :

On utilise la conversion : \(1 \text{ u} = 931,5 \text{ MeV}/c^2\).

Question 3 : Énergie de liaison par nucléon

1. Calcul pour \(^{60}_{28}Ni\) :

L’énergie de liaison par nucléon est donnée par :

Avec \(Z = 28\), \(A = 60\), \(m_p = 1,00728 \text{ u}\), \(m_n = 1,00866 \text{ u}\), \(m(^{60}_{28}Ni) = 59,91543 \text{ u}\).

2. Comparaison de stabilité :

Pour \(^{56}_{28}Ni\), on donne \(\mathcal{E} = 8,64 \text{ MeV/nucléon}\).

Puisque \(8,78 > 8,64\), le noyau \(^{60}_{28}Ni\) est plus stable que \(^{56}_{28}Ni\).

En effet, plus l’énergie de liaison par nucléon est élevée, plus le noyau est stable.

---

1. Étude du dipôle RC

1.2. Équation différentielle en \(u_C\)

1. Loi d’additivité des tensions :

Dans le circuit série de la figure 1 :

2. Expressions de \(u_R\) et \(u_C\) :

– Loi d’Ohm : \(u_R = R \cdot i\)

– Définition du courant : \(i = \dfrac{dq}{dt} = C \dfrac{du_C}{dt}\)

Donc : \(u_R = R \cdot C \dfrac{du_C}{dt}\)

3. Équation différentielle :

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

1.3. Expressions de \(A\) et \(\tau\)

1. Solution proposée :

La solution de l’équation différentielle est de la forme : \(u_C(t) = A \cdot (1 – e^{-t/\tau})\).

Cette solution correspond à la charge d’un condensateur à travers une résistance.

2. Vérification :

Dérivons \(u_C(t)\) :

Remplaçons dans l’équation différentielle :

Cette égalité doit être vraie pour tout \(t\), donc :

1.4. Valeurs de \(C\) et \(R_2\)

1. Détermination de \(C\) :

D’après la courbe (1) de la figure 2, la constante de temps est \(\tau_1 = 2 \text{ ms}\).

Avec \(R_1 = 20 \ \Omega\) :

2. Détermination de \(R_2\) :

D’après la courbe (2), \(\tau_2 = 6 \text{ ms}\).

1.5. Influence de la résistance

La constante de temps \(\tau = R \cdot C\) est proportionnelle à la résistance \(R\).

Lorsque la résistance augmente, la charge du condensateur est plus lente (le temps de charge est plus long).

Conclusion : \(\tau\) augmente avec \(R\).

---

2. Circuit RLC non amorti

2.1. Équation différentielle en \(q\)

1. Loi d’additivité des tensions :

2. Expressions des tensions :

– \(u_C = \dfrac{q}{C}\)

– \(u_L = L \dfrac{di}{dt}\) avec \(i = \dfrac{dq}{dt}\), donc \(u_L = L \dfrac{d^2q}{dt^2}\)

3. Équation différentielle :

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique. La solution est sinusoïdale.

2.2. Période propre \(T_0\)

La solution de l’équation différentielle est : \(q(t) = Q_m \cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0} t\right)\).

En dérivant deux fois et en remplaçant dans l’équation :

2.3. Inductance \(L\)

D’après la figure 3, \(T_0 = 60 \text{ ms} = 60 \times 10^{-3} \text{ s}\).

2.4. Énergie totale du circuit

1. Expression de l’énergie :

L’énergie totale du circuit LC est la somme de l’énergie électrique du condensateur et de l’énergie magnétique de la bobine :

2. À \(t = 0\) :

À \(t = 0\), le condensateur est chargé : \(q(0) = Q_m = 600 \ \mu\text{C}\), \(i(0) = 0\).

3. À \(t = T_0/4\) :

À \(t = T_0/4\), le condensateur est déchargé (\(q = 0\)) et le courant est maximal.

L’énergie est alors purement magnétique :

L’énergie totale est constante : il y a conservation de l’énergie dans le circuit LC idéal.

---

Partie I : Exo-planète

Question 1 : Intensité de la force de gravitation

La force gravitationnelle exercée par l’étoile \(S\) sur l’exo-planète \(b\) est donnée par la loi de Newton :

C’est une force attractive, dirigée de la planète vers l’étoile.

2.1. Nature du mouvement

1. Système étudié et bilan des forces :

L’exo-planète \(b\) est soumise uniquement à la force gravitationnelle de l’étoile \(S\) (on néglige les autres forces).

2. Application de la 2ème loi de Newton :

Dans le référentiel galiléen lié à l’étoile :

3. Accélération :

On a : \(\vec{F}_{S/b} = -G \dfrac{M_S m_b}{r_b^2} \vec{u}_r\) (force centripète).

L’accélération est radiale (dirigée vers l’étoile).

4. Composante tangentielle et vitesse :

Dans le repère de Frenet, l’accélération s’écrit : \(\vec{a} = \dfrac{dv}{dt} \vec{T} + \dfrac{v^2}{r_b} \vec{N}\).

L’accélération étant purement radiale, sa composante tangentielle est nulle :

Le mouvement est donc uniforme.

5. Composante normale et rayon :

Le rayon de la trajectoire est constant, donc le mouvement est circulaire.

Conclusion : Le mouvement est circulaire uniforme.

2.2. 3ème loi de Kepler

1. Relation entre vitesse et période :

Pour un mouvement circulaire uniforme de période \(T_b\) :

2. Vitesse issue de la gravitation :

D’après la question précédente : \(v = \sqrt{\dfrac{G M_S}{r_b}}\).

3. Égalisation :

Le rapport \(\dfrac{T_b^2}{r_b^3}\) est une constante, indépendante de la planète.

C’est la 3ème loi de Kepler.

2.3. Masse de l’étoile \(M_S\)

D’après la relation précédente :

Données : \(r_b = 2,24 \times 10^{11} \text{ m}\), \(T_b = 5,56 \times 10^7 \text{ s}\), \(G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ SI}\).

Cette masse est comparable à celle du Soleil (\(1,99 \times 10^{30} \text{ kg}\)).

---

Partie II : Oscillateur mécanique

Question 1 : Détermination de \(X_m\), \(T_0\) et \(\varphi\)

1. Amplitude \(X_m\) :

L’amplitude est la valeur maximale de l’élongation. D’après la figure 2 :

2. Période \(T_0\) :

La période est la durée d’un cycle complet. D’après la figure 2, un cycle dure 0,4 s.

3. Phase à l’origine \(\varphi\) :

L’élongation à \(t = 0\) est \(x(0) = X_m = 6 \text{ cm}\).

L’équation du mouvement est : \(x(t) = X_m \cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)\).

À \(t = 0\) : \(x(0) = X_m \cos(\varphi) = X_m \Rightarrow \cos(\varphi) = 1 \Rightarrow \varphi = 0\).

Question 2 : Énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est constante et vaut :

Avec \(k = 20 \text{ N.m}^{-1}\) :

Question 3 : Énergie cinétique à \(t_1 = 0,3 \text{ s}\)

1. Élongation à \(t_1\) :

La figure 2 donne pour \(t_1 = 0,3 \text{ s}\) : \(x(t_1) \approx 3 \text{ cm} = 0,03 \text{ m}\).

2. Énergie potentielle élastique :

3. Énergie cinétique :

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle élastique :

Question 4 : Travail de la force de rappel

1. Définition du travail :

Le travail de la force de rappel \(\vec{F} = -k x \vec{i}\) entre les positions \(x_A\) et \(x_B\) est :

2. Application :

On veut le travail entre \(x_A = 0\) et \(x_B = \dfrac{X_m}{2}\).

3. Application numérique :

Le travail est négatif : la force de rappel s’oppose au déplacement (elle est résistante).