test rc

Physique-Chimie · Safi

Chapitre 6

Dipôle RC

Niveau : 2BACSPF  ·  3^ème partie : L’électricité

1Généralités sur les circuits électriques (Rappel)

Dipôle : On appelle dipôle toute composante électrique possédant deux bornes.

Sens du courant électrique : Par convention, le courant électrique circule toujours de la borne positive \((+)\) vers la borne négative \((-)\) à l’extérieur du générateur.

Nature du courant électrique : Dans les métaux, le courant est dû au déplacement des électrons dans le sens contraire du sens conventionnel, c’est-à-dire de la borne \((-)\) vers la borne \((+)\) à l’extérieur du générateur.

Convention récepteur – générateur :

• Dans la convention génératrice, la tension et le courant ont le même sens.
• Dans la convention réceptrice, la tension et le courant ont des sens opposés.

Loi d’Ohm

La loi d’Ohm lie l’intensité \(I\) traversant un conducteur ohmique à la tension \(u_R\) à ses bornes :

\[ u_R = R \times I \]

\(R\) : résistance électrique du conducteur (Ω)

🖼️

Schéma — Loi d’Ohm

Circuit avec conducteur ohmique, conventions de signe

L’oscilloscope

Appareil permettant de visualiser la tension entre les bornes d’un dipôle. On branche la borne d’entrée de courant avec l’entrée Y (borne rouge) et la borne de sortie avec la masse (borne noire).

🖼️

Schéma — Oscilloscope

Branchement de l’oscilloscope sur un dipôle

2Le condensateur

2.1Définition et symbole

Le condensateur est un dipôle électrique composé de deux conducteurs métalliques appelés armatures, séparés par un matériau isolant diélectrique. Son symbole dans le circuit électrique est :

🖼️

Symbole du condensateur

Symbole électrique et schéma des armatures A et B

2.2Charge du condensateur

Activité 1 — Charge et décharge d’un condensateur

On réalise le circuit suivant comportant un condensateur, une diode électroluminescente (DEL), un générateur de tension continue, et un interrupteur K.

On place l’interrupteur K à la position (1) pendant un certain temps, puis on le bascule à la position (2).

Qu’observez-vous ?

🖼️

Schéma — Circuit Activité 1

Condensateur + DEL + générateur + interrupteur K (positions 1 et 2)

Observation

Lorsqu’on bascule l’interrupteur K à la position (2), la diode électroluminescente s’allume pendant un certain temps, ce qui indique qu’un courant électrique transitoire apparaît dans le circuit (2).

D’où vient ce courant électrique ?

Interprétation

Le courant transitoire est dû au déplacement des électrons lorsque le condensateur est branché avec le générateur (position 1) :

• L’armature B (reliée à \(-\)) accumule des électrons → \(q_B < 0\)
• L’armature A (reliée à \(+\)) présente un défaut d’électrons → \(q_A > 0\)

Une tension électrique apparaît entre les armatures : le condensateur se charge.

🖼️

Schéma — Charge des armatures

Armatures A(+) et B(−) avec accumulation de charges

La charge du condensateur (quantité d’électricité emmagasinée) est la charge de l’armature positive, notée \(q\), en Coulomb (C) :

\[ q = q_A = -q_B \]

Remarque : Quand on bascule K en position (2), les électrons de l’armature B retournent à leur position d’origine → courant dans le circuit (2) → allumage de la DEL. Le condensateur se décharge dans la diode.

2.3Relation entre l’intensité de courant et la charge

L’intensité représente le débit des charges électriques, c’est-à-dire la quantité d’électricité reçue par l’armature par unité de temps :

\[ \boxed{i = \frac{dq}{dt}} \]

avec : \(i\) en ampère (A)  ;  \(q = q_A\) en coulomb (C)

Remarque : Pour une intensité constante : \(\displaystyle I = \frac{q}{\Delta t}\)

2.4Relation entre la charge et la tension aux bornes

Activité 2 — Capacité du condensateur

On réalise le montage de la figure 1 composé d’un générateur de courant idéal et un condensateur reliés en série. Le générateur délivre un courant d’intensité \(I_0 = 1\ \mathrm{mA}\). On ferme l’interrupteur K et on suit l’évolution de \(u_C\) en fonction du temps.

Le condensateur porte les informations : (1000 μF, 100 V).

🖼️

Figure 1 — Montage

Générateur de courant idéal \(I_0\) + condensateur C + interrupteur K

🖼️

Figure 2 — Courbe \(u_C = f(t)\)

Variation linéaire de \(u_C\) en fonction du temps (droite de pente k)

❶ Équation de la courbe \(u_C = f(t)\)

La courbe obtenue est une fonction linéaire :

\[ u_C = k \cdot t \]

❷ Expression de la charge \(q\) en fonction de \(I_0\) et \(t\)

Puisque \(I_0\) est constante :

\[ I_0 = \frac{q}{\Delta t} = \frac{q}{t} \quad \Longrightarrow \quad q = I_0 \cdot t \]

❸ Expression de \(q\) en fonction de \(u_C\)

D’après la question 1 : \(t = \dfrac{u_C}{k}\). En remplaçant dans l’expression de \(q\) :

\[ q = \frac{I_0}{k} \cdot u_C \]

On pose \(C = \dfrac{I_0}{k}\), d’où \(q = C \cdot u_C\). On appelle \(C\) la capacité du condensateur (Farad, F).

Calcul numérique :

\[ k = \frac{\Delta u_C}{\Delta t} = \frac{20 – 0}{20 – 0} = 1\ \mathrm{V\,s^{-1}} \quad \Longrightarrow \quad C = \frac{I_0}{k} = \frac{10^{-3}}{1} = 10^{-3}\ \mathrm{F} = 1000\ \mu\mathrm{F} \]

Conclusion

La charge aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à la tension \(u_C\) :

\[ \boxed{q = C \cdot u_C} \]

\(q\) : charge (C)  ;  \(C\) : capacité (F)  ;  \(u_C\) : tension aux bornes (V)

Remarque — Sous-multiples du Farad :

\(1\ \mathrm{mF}\)

\(= 10^{-3}\ \mathrm{F}\)

\(1\ \mu\mathrm{F}\)

\(= 10^{-6}\ \mathrm{F}\)

\(1\ \mathrm{nF}\)

\(= 10^{-9}\ \mathrm{F}\)

\(1\ \mathrm{pF}\)

\(= 10^{-12}\ \mathrm{F}\)

2.5Relation entre l’intensité \(i\) et la tension \(u_C\)

On a \(i = \dfrac{dq}{dt}\) et \(q = C\,u_C\), donc \(i = \dfrac{d(C\,u_C)}{dt}\). D’où :

\[ \boxed{i = C\,\frac{du_C}{dt}} \]

3Association des condensateurs

❸.1 — Association en série

On considère deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) branchés en série.

Même courant → même charge : \(q = q_1 = q_2\)

Loi d’additivité des tensions : \(u_{AB} = u_{AD} + u_{DB}\)

Avec \(u_{AB} = \dfrac{q}{C}\), \(u_{AD} = \dfrac{q_1}{C_1}\), \(u_{DB} = \dfrac{q_2}{C_2}\) :

\[ \frac{q}{C} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} = q\!\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right) \] \[ \boxed{\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_N}} \]

🖼️

Schéma — Série

Deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) en série avec capacité équivalente

Remarque : L’association en série donne une capacité équivalente plus petite que chaque capacité individuelle.

❸.2 — Association en parallèle

On considère deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) branchés en parallèle.

Loi des nœuds : \(i = i_1 + i_2\)

\[ \frac{dq}{dt} = \frac{dq_1}{dt}+\frac{dq_2}{dt} \;\Rightarrow\; q = q_1 + q_2 \]

Avec \(q_1 = C_1 u_{AB}\), \(q_2 = C_2 u_{AB}\), \(q = C\,u_{AB}\) :

\[ C\,u_{AB} = (C_1 + C_2)\,u_{AB} \] \[ \boxed{C = C_1 + C_2 + \cdots + C_N} \]

🖼️

Schéma — Parallèle

Deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) en parallèle avec capacité équivalente

Remarque : L’association en parallèle donne une capacité équivalente plus grande que chaque capacité individuelle.

4Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension

4.1Définitions

Dipôle RC

Association en série d’un condensateur de capacité \(C\) et d’un conducteur ohmique de résistance \(R\).

🖼️

Schéma — Dipôle RC

Circuit RC série avec générateur E et interrupteur K

Échelon montant (Charge)	Échelon descendant (Décharge)
🖼️Courbe — Échelon montantInterrupteur ouvert → position ①	🖼️Courbe — Échelon descendantInterrupteur position ① → position ②

❹.2 — Réponse à un échelon montant (Charge du condensateur)

● Équation différentielle vérifiée par \(u_C\)

À \(t = 0\), on ferme K en position 1. Condensateur initialement déchargé : \(u_C(t=0) = 0\).

D’après la loi d’additivité des tensions :

\[ u_R + u_C = E \]

D’après la loi d’Ohm : \(u_R = R \cdot i\)

Or \(i = \dfrac{dq}{dt}\) et \(q = C\,u_C\), donc \(i = C\dfrac{du_C}{dt}\), d’où \(u_R = RC\dfrac{du_C}{dt}\)

En substituant dans la loi des tensions :

\[ \boxed{RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E} \]

🖼️

Schéma — Circuit charge

Circuit RC, K en position 1, tensions \(u_R\) et \(u_C\)

Remarque : En termes de charge \(q\) (\(u_C = q/C\), \(u_R = R\,dq/dt\)) :

\[ RC\,\frac{dq}{dt} + q = CE \]

● Solution de l’équation différentielle

La solution générale est de la forme :

\[ u_C(t) = A + B\,e^{-t/\tau} \]

A, B et τ sont des constantes à déterminer.

Détermination de A et τ par identification :

On a \(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{B}{\tau}\,e^{-t/\tau}\). En substituant dans l’équation différentielle :

\[ RC\!\left(-\frac{B}{\tau}\right)e^{-t/\tau} + A + B\,e^{-t/\tau} = E \] \[ B\,e^{-t/\tau}\!\left(1 – \frac{RC}{\tau}\right) = E – A \]

Pour que l’équation soit vérifiée pour tout \(t\) :

\[ 1 – \frac{RC}{\tau} = 0 \;\Rightarrow\; \tau = RC \qquad \text{et} \qquad E – A = 0 \;\Rightarrow\; A = E \]

Détermination de B par les conditions initiales :

À \(t = 0\), \(u_C(0) = 0\) :

\[ A + B\,e^{0} = 0 \;\Rightarrow\; A + B = 0 \;\Rightarrow\; B = -A = -E \]

Finalement :

Tension \(u_C(t)\)

\[ \boxed{u_C(t) = E\!\left(1 – e^{-t/\tau}\right)} \]

Charge \(q(t)\)

\[ q = C\,u_C \] \[ q(t) = CE\!\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \]

Intensité \(i(t)\)

\[ i = C\frac{du_C}{dt} = CE\cdot\frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau} \] \[ \boxed{i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}} \]

Courbes \(u_C(t)\) et \(i(t)\) — Charge

🖼️

Graphe — Charge du condensateur

Courbe \(u_C(t)\) croissante vers E et \(i(t)\) décroissante

❹.3 — Réponse à un échelon descendant (Décharge du condensateur)

● Équation différentielle vérifiée par \(u_C\)

À \(t = 0\), on bascule K en position 2. Condensateur initialement chargé : \(u_C(t=0) = E\).

D’après la loi d’additivité des tensions :

\[ u_R + u_C = 0 \]

Avec \(u_R = RC\dfrac{du_C}{dt}\), on obtient :

\[ \boxed{RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = 0} \]

🖼️

Schéma — Circuit décharge

Circuit RC, K en position 2, sens du courant de décharge

Remarque : En termes de charge \(q\) :

\[ RC\,\frac{dq}{dt} + q = 0 \]

● Solution de l’équation différentielle

La solution générale est :

\[ u_C(t) = A\,e^{-t/\tau} \]

Détermination de τ par identification :

\[ RC\!\left(-\frac{A}{\tau}\right)e^{-t/\tau} + A\,e^{-t/\tau} = 0 \;\Rightarrow\; A\,e^{-t/\tau}\!\left(1-\frac{RC}{\tau}\right)=0 \] \[ \Rightarrow\; \tau = RC \]

Détermination de A par les conditions initiales :

À \(t = 0\), \(u_C(0) = E\) :

\[ A\,e^{0} = E \;\Rightarrow\; A = E \]

Finalement :

Tension \(u_C(t)\)

\[ \boxed{u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}} \]

Charge \(q(t)\)

\[ q = C\,u_C \] \[ q(t) = CE\,e^{-t/\tau} \]

Intensité \(i(t)\)

\[ i = C\frac{du_C}{dt} = -CE\cdot\frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau} \] \[ \boxed{i(t) = -\frac{E}{R}\,e^{-t/\tau}} \]

Courbes \(u_C(t)\) et \(i(t)\) — Décharge

🖼️

Graphe — Décharge du condensateur

Courbe \(u_C(t)\) décroissante vers 0 et \(i(t)\) négative

4.4Constante de temps \(\tau\)

Définition

La constante de temps d’un dipôle RC est :

\[ \tau = RC \]

Analyse dimensionnelle

Pour le conducteur ohmique : \(u_R = Ri \Rightarrow R = \dfrac{U}{I}\)

Pour le condensateur : \(i = C\dfrac{du_C}{dt} \Rightarrow C = \dfrac{i \cdot t}{u_C} = \dfrac{I \cdot T}{U}\)

\[ [\tau] = [RC] = \frac{U}{I} \times \frac{I \cdot T}{U} = T \]

La constante de temps \(\tau\) a la dimension d’un temps et s’exprime en secondes (s).

Détermination graphique de \(\tau\)

Pendant la charge — \(u_C(t) = E(1-e^{-t/\tau})\)

Méthode 1 : À \(t = \tau\) :

\[ u_C(\tau) = E(1 – e^{-1}) \approx 0{,}63\,E \]

\(\tau\) est l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}63\,E\).

Méthode 2 : \(\tau\) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe en \(t = 0\) avec la droite horizontale \(u_C = E\).

🖼️

Graphe — Méthodes charge

Courbe de charge avec tangente en t=0 et point à 0,63E

Pendant la décharge — \(u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}\)

Méthode 1 : À \(t = \tau\) :

\[ u_C(\tau) = E\,e^{-1} \approx 0{,}37\,E \]

\(\tau\) est l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}37\,E\).

Méthode 2 : \(\tau\) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe en \(t = 0\) avec l’axe des temps.

🖼️

Graphe — Méthodes décharge

Courbe de décharge avec tangente en t=0 et point à 0,37E

Remarque : La durée du régime transitoire (charge ou décharge) est : \(\Delta t \approx 5\tau\)

5Énergie emmagasinée dans un condensateur

La puissance électrique reçue par le condensateur est :

\[ P_e = u_C \cdot i = C\,u_C\,\frac{du_C}{dt} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\,C\,u_C^2\right) \]

Et puisque \(P_e = \dfrac{dE_e}{dt}\), on obtient l’énergie emmagasinée :

\[ \boxed{E_e = \frac{1}{2}\,C\,u_C^2} \]

\(E_e\) en joule (J)  ;  \(C\) en farad (F)  ;  \(u_C\) en volt (V)

Remarque : En utilisant la relation \(q = C\,u_C\), on trouve les formes équivalentes :

\[ E_e = \frac{1}{2}\,q\,u_C \qquad \text{et} \qquad E_e = \frac{q^2}{2C} \]

Chapitre 6 : Dipôle RC2BACSPF