Leçon N°7 : Équilibre d’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe

Leçon N°7 : Équilibre d’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe

Leçon N°7 :
Équilibre d’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe

Situation problème

Lorsque nous roulons à vélo, nous appliquons une force sur la pédale qui fait tourner le plateau autour d’un axe de rotation, afin de faire avancer le vélo.

Comment une force peut-elle faire tourner un corps solide autour d’un axe fixe ? Et quelle est la grandeur physique qui caractérise cet effet ?
Quelles conditions nécessaires doit-on satisfaire pour garder l’équilibre d’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe ?

I.L’effet d’une force sur la rotation d’un corps solide

axe de rotation (Δ)F₂F₁F₃

Le schéma ci-contre représente une porte susceptible de tourner autour d’un axe fixe (Δ). On fait appliquer 3 forces F⃗1, F⃗2 et F⃗3 comme l’indique le schéma.

Observations
La force F⃗1 ne peut pas faire tourner la porte autour de l’axe (Δ), car sa ligne d’action coupe cet axe.
La force F⃗2 ne peut pas faire tourner la porte autour de l’axe (Δ), car sa ligne d’action est parallèle à cet axe.
La force F⃗3 peut faire tourner la porte autour de l’axe (Δ) ; son effet augmente lorsqu’on s’éloigne de l’axe de rotation (la distance d augmente), l’intensité nécessaire diminuant lorsqu’on s’éloigne de l’axe.
Conclusion
Une force F⃗ a un effet de rotation sur un corps solide si sa direction est non parallèle à l’axe de rotation et ne coupe pas celui-ci.
Il existe une relation entre l’intensité de la force F⃗ et la distance d séparant sa ligne d’action de l’axe de rotation (Δ).

II.Moment d’une force par rapport à un axe fixe (Δ)

La relation entre l’intensité F d’une force et la distance d est le produit (F·d), c’est une grandeur physique qui exprime la capacité de la force F⃗ à faire tourner un corps autour d’un axe (Δ). Il s’appelle le moment de la force F⃗, et il est noté MΔ(F⃗).

1. Définition

d(Δ)F+Disque

Le moment d’une force F⃗ par rapport à un axe fixe (Δ) est défini par la relation :

| MΔ(F⃗) | = F·d

Son unité dans le (S.I) est N·m.

Remarque : La distance d est la plus courte distance séparant la ligne d’action de la force F⃗ et l’axe de rotation (Δ), c’est la distance dont la droite est perpendiculaire à la ligne d’action de cette force.

2. Le moment d’une force est une grandeur algébrique

On choisit aléatoirement un sens positif (+) de rotation :

Si la force fait tourner le solide dans le sens positif choisi, alors son moment est positif : MΔ(F⃗) = +F·d
Si la force fait tourner le solide dans le sens contraire au sens positif choisi, alors son moment est négatif : MΔ(F⃗) = −F·d

⇒ On dit que le moment d’une force est une grandeur algébrique : MΔ(F⃗) = ± F·d

Exercice d’application 1
GM0,35 m0,70 mΔ

Un jardinier utilise sa brouette pour transporter du terreau de masse m = 60 kg. Le châssis de la brouette peut tourner autour de l’axe (Δ) de la roue. Le jardinier exerce une force F⃗ verticale, dirigée vers le haut d’intensité 300 N appliquée au point M. On donne g = 10 N·kg−1.

  1. Faire l’inventaire des forces appliquées sur la brouette, et les représenter.
  2. Choisir un sens positif (+) de rotation de la brouette, et calculer les moments de ces forces.

III.Moment d’un couple de deux forces

1. Définition d’un couple de deux forces

Deux forces F⃗1 et F⃗2 forment un couple de deux forces si leur somme vectorielle est nulle F⃗1 + F⃗2 = 0⃗ (elles ont la même intensité et des sens opposés), et leurs lignes d’action sont parallèles et distinctes.

Exemple : Le chauffeur applique un couple de deux forces sur le volant pour faire un demi-tour.

2. Moment d’un couple de deux forces

F₁F₂d₁d₂(Δ)
Le moment de la force F⃗1 est : MΔ(F⃗1) = ± F1·d1
Le moment de la force F⃗2 est : MΔ(F⃗2) = ± F2·d2

Le moment du couple de deux forces (F⃗1, F⃗2) est : MΔ(F⃗1, F⃗2) = MΔ(F⃗1) + MΔ(F⃗2) = ± F1·d1 ± F2·d2

Puisque F1 = F2 = F et d1 + d2 = d, donc : MΔ(F⃗1, F⃗2) = ± F·d

IV.Équilibre d’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe

1. Expérience

ABd₂d₁P (lest m)F₁(Δ)

Le dispositif suivant est constitué d’une plaque mobile autour d’un axe horizontal (Δ). On fixe à la plaque au point A un lest de masse m1 et au point B un dynamomètre permettant de ramener la plaque à l’équilibre. On donne : m = … g, F1 = … N, d1 = … cm, d2 = … cm, g = 10 N·kg−1

La plaque est soumise à quatre forces :
Le poids de la plaque P⃗p, son moment est : MΔ(P⃗p) = 0
L’action de l’axe de rotation (Δ) sur la plaque R⃗, son moment est : MΔ(R⃗) = 0, car leurs lignes d’action coupent l’axe (Δ)
Le poids du lest P⃗, son moment est : MΔ(P⃗) = −P·d2 = −m·g·d2 = … N·m
La force F⃗1 appliquée par le dynamomètre, son moment est : MΔ(F⃗1) = +F1·d1 = … N·m
La somme algébrique des moments de ces forces est : Σ MΔ(F⃗ext) = MΔ(P⃗p) + MΔ(R⃗) + MΔ(P⃗) + MΔ(F⃗1) = 0

C/C : la plaque est en équilibre ⇔ Σ MΔ(F⃗ext) = 0

2. Théorème des moments

Lorsqu’un corps solide susceptible de tourner autour d’un axe fixe est en équilibre, alors la somme algébrique des moments de toutes les forces qui s’exercent sur lui est nulle :

Σ MΔ(F⃗ext) = 0

3. Condition générale d’équilibre

Lorsqu’un corps solide est en équilibre, les deux conditions suivantes doivent être vérifiées :

1ère condition :   Σ F⃗ext = 0⃗
2ème condition :   Σ MΔ(F⃗ext) = 0
Exercice d’application 2
MGC60°

Un ouvrier utilise un pied de biche de longueur L = 40 cm et de masse m = 500 g pour arracher un clou. Au point M, il exerce une force F⃗p d’intensité 90 N, perpendiculaire au manche du pied de biche ; d’autre part, la tête du clou exerce une force F⃗c sur le pied de biche au point C. Le pied de biche peut tourner autour de l’axe de rotation (Δ). Le manche fait un angle α = 60° avec le sol et le point C est à 6 cm de l’axe.

  1. Faire l’inventaire des forces appliquées sur le pied de biche, et les représenter.
  2. Calculer le moment de la force F⃗p et du poids P⃗.
  3. Donner l’expression du théorème des moments, et calculer l’intensité de la force F⃗c.

V.Moment du couple de torsion

1. Activité

Le schéma ci-dessous représente un dispositif expérimental appelé le pendule de torsion, qui se compose :

d’une barre métallique horizontale de longueur L = ……… cm
d’un fil métallique tendu verticalement, dont l’extrémité inférieure est attachée au centre de gravité G de la barre
d’un tambour gradué en degrés fixé au fil et qui sert à mesurer l’angle de torsion θ
Cylindre graduéA, F⃗₁B, F⃗₂Fil de torsion (fil métallique)AGBBarre métallique

Lorsqu’on applique sur la barre un couple de deux forces (F⃗1, F⃗2) par deux fils inextensibles passant par deux poulies, la barre tourne avec l’angle θ, ce qui fait tordre le fil. Dès qu’on supprime l’action du couple sur la barre, celle-ci revient à nouveau à sa position initiale sous l’effet d’un ensemble de forces appelé couple de torsion.

  1. Faire l’inventaire des forces appliquées sur la barre lorsque le fil n’est pas tordu, et calculer le moment de chaque force.
  2. Pourquoi la barre est-elle revenue à sa position d’équilibre initiale lorsqu’on supprime le couple de deux forces ?
  3. Faire l’inventaire des forces appliquées sur la barre lorsque le fil est tordu.
  4. En utilisant le théorème des moments, déduire la relation qui existe entre Mc le moment du couple de torsion et MΔ(F⃗1, F⃗2) le moment du couple de deux forces (F⃗1, F⃗2).
  5. On change l’intensité commune F des deux forces (F⃗1, F⃗2), et on mesure à chaque fois la valeur de l’angle de torsion θ. Compléter le tableau :
F (N) 
d (m) 
MΔ(F⃗1, F⃗2) (N·m) 
θ (degrés) 
θ (rad) 
  1. Tracer la variation de MΔ(F⃗1, F⃗2) en fonction de θ (rad), puis trouver l’équation de la courbe obtenue.
  2. Déduire l’expression du moment du couple de torsion Mc.

2. Conclusion

Lorsqu’un fil est tordu, il applique un ensemble de forces appelé couple de torsion, dont le moment est exprimé par la relation : Mc = −C·θ

Avec : C est une constante positive appelée constante de torsion en (N·m·rad−1) ; θ est l’angle de torsion en (rad).

Réalisé par Pr.Cours de physique