Résumé : Les lois de Newton
1-Grandeurs cinématiques
1- vecteur vitesse et accélération
 | $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y.\vec j+z\vec k$ $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ x, y et z les éqts horaires du mvt $\overrightarrow{OM}$ vct position |
| Vecteur vitesse $\vec v$ | Vecteur accélération $\vec a$ |
| $\vec v=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ | $\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}$ ou $\vec a=\dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$ |
●coordonnées de $\vec a$ dans le repère cartésien
►Mouvement Rectiligne :
| $\overrightarrow{OM}=x\vec i$ |  |
| $\vec v=v_x\vec i$ | $\vec a=a_x\vec i$ |
| $v_x=\dfrac{dx}{dt}=\dot x$ | $a_x=\dfrac{dv_x}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\ddot x$ |
| module du $\vec v$ | module du $\vec a$ |
| $v=|v_x|$ en $m.s^{-1}$ | $a=|a_x|$ en $m.s^{-2}$ |
►Mouvement dans un plan :
| $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j$ $OM=\sqrt{x^2+y^2}$ |  |
| $\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j$ | $\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j$ |
| $\begin{cases}v_x=\dfrac{dx}{dt}=\dot x\\v_y=\dfrac{dy}{dt}=\dot y\end{cases}$ | $\begin{cases}a_x=\dfrac{dv_x}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\ddot x\\a_y=\dfrac{dv_y}{dt}=\dfrac{d^2y}{dt^2}=\ddot y\end{cases}$ |
| module du $\vec v$ | module du $\vec a$ |
| $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ | $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ |
●coordonnées de $\vec a$ dans la base de Frenet
| (M,$\vec u$,$\vec n$) : repère $\vec u$ : tangent (sens du mouvement) $\vec n$ : normal centripète |  |
| $\vec a=\vec a_n+\vec a_u$ $\vec a=a_n\vec n+a_u\vec u$ | $a_T=\dfrac{dv}{dt}$ $a_n=\dfrac{v^2}{r}$ |
r : le rayon de courbure de la trajectoire
2- Mouvement rect unif varié
●accélération constante a = Cte
● l’équation de la vitesse :
$\dfrac{dv}{dt}=a\ \to\ \boxed{v=at+v_0}$
● l’équation horaire du mouvement :
$\dfrac{d^2x}{dt^2}=a\to\ \boxed{x=\dfrac12at^2+v_0t+x_0}$
►exploitation la courbe v en fonction de t :
 | fonction linéaire : $v=at+v_0$ $v_0=0$ vites initial $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_2-0}{t_2-0}$ $a=\dfrac{1}{0{,}2}=5\,m.s^{-2}$ mvt accéléré |
 | fonction affine : $v=at+v_0$ $v_0=1m.s^{-1}$ v initial $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$ $a=\dfrac{2-1}{0{,}2}=5\,m.s^{-2}$ mvt accéléré |
 | mvt décéléré $v=at+v_0$ $v_0=4m.s^{-1}$ v initial $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$ $a=\dfrac{1-4}{0{,}6-0}=-5\,m.s^{-2}<0$ $t_B=0{,}8s$ L’instant d’arrêt |
►exploitation Des équations horaires du mvt
1cas : un solide se déplace de A vers B sans vitesse initial $v_A=0$.
● l’équation de la vitesse : $v_B=at_B+v_A$
● l’équation du mvt : $x_B=\dfrac12at_B^2+v_At_B+x_A$
| $v_B=at_B$ | $AB=\dfrac12at_B^2$ |
| $AB=x_B-x_A$ | $\Delta t=t_B-t_A$ |
● si l’instant d’arrivée $t_B$ est donnée:
-la distance $AB=\dfrac12at_B^2$- la vitesse $v_B$: $v_B=at_B$
● si la distance AB est donnée :
-On peut calculer l’instant $t_B$: $t_B=\sqrt{\dfrac{2AB}{a}}$
– la vitesse $v_B$: $v_B=at_B$
● si la vitesse $v_B$ est donnée :
-On peut calculer l’instant $t_B$: $t_B=\dfrac{v_B}{a}$
– la distance AB : $AB=\dfrac12at_B^2$
2cas : déplacement avec vitesse initial $v_A\neq0$
Pour déterminer AB ou $v_B$ ?
● l’équation de la vitesse : $v_B=at_B+v_A$
● l’équation du mvt : $AB=x_B-x_A=\dfrac12at_B^2+v_At_B$
$v_B^2=(at_B+v_A)^2=a^2t_B^2+2at_Bv_A+v_A^2$
$v_B^2-v_A^2=2a\left(\dfrac12at_B^2+v_At_B\right)$
donc : $v_B^2-v_A^2=2aAB$ ( Rel indpt du temps)
2-Les lois de Newton :
● 1er loi de Newton (Principe d’inertie)
● 2eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a$
● 3eme loi de Newton : $\vec F_{A/B}=-\vec F_{B/A}$
●Coordonnées d’un vecteur :
 | $\vec P\begin{vmatrix}P_x=0\\P_y=-P\end{vmatrix}$ | $\vec R\begin{vmatrix}R_x=0\\R_y=R\end{vmatrix}$ |
| $\vec F\begin{vmatrix}F_x=F\\F_y=0\end{vmatrix}$ | $\vec T\begin{vmatrix}T_x=-T\\T_y=0\end{vmatrix}$ | |
 | $\vec F\begin{vmatrix}F_x=F\cos\beta\\F_y=F\sin\beta\end{vmatrix}$ | |
●Coordonnées du poids $\vec P$ :
| Mouvement sur un plan horizontal | |
 | $\vec P\begin{vmatrix}P_x=0\\P_y=-mg\end{vmatrix}$ |
| mvt sur un | Plan incliné |
| $P_x=+mg\sin\alpha$ Si le Mvt vers le bas $P_x=-mg\sin\alpha$ Si le Mvt vers le haut |  |
| $P_x=mg\sin\alpha$ | $P_y=-mg\cos\alpha$ |
●Coordonnées de la réaction $\vec R$ :
→Contact sans frottement :
 | $\vec R\begin{vmatrix}R_x=0\\R_y=R\end{vmatrix}$ |
→Contact avec frottement :
 | $\vec R\begin{vmatrix}R_x=-f\\R_y=R_N\end{vmatrix}$ $R=\sqrt{f^2+R_N^2}$ K=tanφ=f/$R_N$ |
K : Coefficient de frottement
φ : Angle de frottement
f : force de frottement
Nature du mouvement :
| $\vec a>0$ | Mvt accéléré | $\vec a.\vec v>0$ |
| $\vec a<0$ | Mvt décéléré retardé | $\vec a.\vec v<0$ |
| $\vec a=0$ | Mvt uniforme | $\vec a.\vec v=0$ |
NB :
| L’équation différentielle de la vitesse : | $\dfrac{dv}{dt}=a$ |
| L’équation différentielle du mouvement : | $\dfrac{d^2x}{dt^2}=a$ |
Exploitation du 2eme loi de newton :
1-Préciser le système étudié
2-Faire le bilan des forces extérieures
3- représenter les forces
4- écrire la relation vectorielle de la 2éme loi de newton $\sum\vec F=m\vec a$
5- projeter cette relation sur un repère orthonormé lié à un référentiel Galiléen.
NB :un référentiel Galiléen est un repère immobile ou en mvt rectiligne uniforme