Résumé : mouvement d’un projectile
1-Chute libre verticale : bahenni
Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
1cas : sans vitesse initial vers le bas
La 2eme loi de Newton
$\sum\vec F=m\vec a\to\vec P=m\vec a$
$m\vec g=m\vec a\to\vec a=\vec g$
La projection sur Oz
a=g
L’accélération est indépendante de la masse
L’équation différentielle de la v : $\dfrac{dv}{dt}=g$
l’équation différentielle du mvt : $\dfrac{d^2z}{dt^2}=g$
● l’équation de la vitesse :
$v=at+v_0\ \to\ \boxed{v=gt}$ ①
● l’équation du mouvement :
$z=\dfrac12at^2+v_0t+z_0\to\ \boxed{z=\dfrac12gt^2}$ ②
●détermine $t_H$ l’instant pour atteindre le sol
à $t_H\ \to\ Z_H$=H
② $H=\dfrac12gt_H^2\ \ \to\ t_H=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$
●la vitesse de l’arrivée au sol $v_H$:
on remplace $t_H$ en ①
$v_H=gt_H$
2cas : avec vitesse initial vers le haut
La 2eme loi de Newton
$\sum\vec F=m\vec a\to\vec P=m\vec a$
$m\vec g=m\vec a\to\vec a=\vec g$
La projection sur Oz
a=−g
l’équation différentielle de la v : $\dfrac{dv}{dt}=-g$
L’équation différentielle du mvt : $\dfrac{d^2z}{dt^2}=-g$
● l’équation de la vitesse :
$v=at+v_0\ \to\ \boxed{v=-gt+v_0}$ ①
● l’équation du mouvement :
$\boxed{z=-\dfrac12gt^2+v_0t}$ ②
●La flèche : l’altitude H la plus élevée atteinte par (S)
●l’instant d’arrivée au point H :
au point H → $v_H=0$
① → $-gt_H+v_0=0\ \to\ t_H=\dfrac{v_0}{g}$
on remplace $t_H$ dans ②
$z_H=-\dfrac12g\left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2+v_0\left(\dfrac{v_0}{g}\right)\ \to\ z_H=\dfrac{v_0^2}{2g}$
2-mouvement d’un projectile :
●Les conditions initiales:
$\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=0\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}v_{0x}=v_0\cos\alpha\\v_{0y}=v_0\sin\alpha\end{vmatrix}$
d’après la 2eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a$
$\vec P=m\vec a\ \ \to\ \ \vec a=\vec g$
On projete la relation :
OX/: $\begin{vmatrix}a_x=0\end{vmatrix}$ (M.R.U)
OY/: $\begin{vmatrix}a_y=-g\end{vmatrix}$ (M.R.U.V)
●les équations différentielles de la vitesse :
| $\dfrac{dv_x}{dt}=0$ | $\dfrac{dv_y}{dt}=-g$ |
●les équations différentielles du mvt :
| $\dfrac{d^2x}{dt^2}=0$ | $\dfrac{d^2y}{dt^2}=-g$ |
● les équations horaires de la vitesse :
| $v_x=v_{0x}$ | $v_y=-gt+v_{0y}$ |
| $v_x=v_0\cos\alpha$ | $v_y=-gt+v_0\sin\alpha$ |
● les équations horaires du mvt :
| $x=v_0.\cos\alpha.t$ ① | |
| $y=-\dfrac12gt^2+v_0.\sin\alpha.t$ ② |
●Équation de la trajectoire y=f(x)
On élimine t entre x et y :
① → $t=\dfrac{x}{v_0.\cos\alpha}$ on remplace dans ②
| $y=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}.x^2+\tan\alpha.x$ ③ |
●La flèche : F (ou le sommée)
au point F : $v_{Fy}=0$
Déterminons $t_F$:
| $-gt_F+v_0\sin\alpha=0$ | $t_F=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$ |
Les coordonnées de la flèche (F) ($x_F$,$y_F$)
On remplace $t_F$ dans ① et ②
| $x_F=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}$ | $y_F=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ |
avec : $\sin2\alpha=2\sin\alpha.\cos\alpha$
●La portée : OP =$x_P$
au point P : $y_P=0$
② $\ -\dfrac12gt_P^2+v_0.\sin\alpha.t_P=0$
$t_P=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$
on remplace $t_P$ dans ① :
$OP=x_P=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$
La portée est maximale si $\alpha=\dfrac\pi4$ ($\sin2\alpha=1$)
Projectile horizontale : $\vec v_0$ horiz
$\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=h\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}v_{0x}=v_0\\v_{0y}=0\end{vmatrix}$
● les équations horaires de la vitesse :
| $v_x=v_{0x}$ | $v_y=-gt+v_{0y}$ |
| $v_x=v_0$ | $v_y=-gt$ |
● les équations horaires du mvt :
| $x=v_0.t$ ① |
| $y=-\dfrac12gt^2+h$ ② |
●Équation de la trajectoire y=f(x)
éliminons t entre x et y :
① → $t=\dfrac x{v_0}$ ② → $y=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+h$
●$t_I$ l’instant d’arrivé de (S) au sol :
au point I : $y_I=0\ \to\ t_I=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
$v_{Ix}=v_0$ et $v_{Iy}=-gt_I$
$\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=h\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}v_{Dx}=v_0\cos\alpha\\v_{Dy}=v_0\sin\alpha\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=0\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix}v_{Bx}=v_B\cos\alpha\\v_{By}=v_B\sin\alpha\end{vmatrix}$
La vitesse du proj a un instant donne :
$v_I=\sqrt{v_{Ix}^2+v_{Iy}^2}$
| $v_x=v_0\cos\alpha$ | $v_y=-gt+v_0\sin\alpha$ |