Transformations spontanées dans les piles et récupération de l’énergie

Transfert spontané d’électrons – Pile Daniell | 2BAC SPF
2BAC SPF – Oxydoréduction – Piles

Transfert spontané d’électrons – Pile Daniell

1.1 Transferts spontanés directs

Activité 1 : Réaction d’oxydoréduction entre espèces chimiques en contact direct

On mélange \(V_1 = 20\,\text{mL}\) de sulfate de cuivre (\(Cu^{2+} + SO_4^{2-}\), \(C_1 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)) et \(V_2 = 20\,\text{mL}\) de sulfate de zinc (\(Zn^{2+} + SO_4^{2-}\), \(C_2 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)). On plonge une lame de cuivre et une lame de zinc.

1. Équation de la réaction :

\[ Cu^{2+}_{(aq)} + Zn_{(s)} \;\rightleftharpoons\; Cu_{(s)} + Zn^{2+}_{(aq)} \]

C’est une oxydoréduction car il y a transfert d’électrons entre l’oxydant \(Cu^{2+}\) et le réducteur \(Zn\).

2. Quotient initial \(Q_{r,i}\) :

\[ Q_{r,i} = \frac{[Zn^{2+}]_i}{[Cu^{2+}]_i} = \frac{C_2 V_2 / V_T}{C_1 V_1 / V_T} = \frac{C_2}{C_1} = 1 \]

3. Sens d’évolution : \(K = 1,9 \times 10^{37}\) (très grand). Puisque \(Q_{r,i} = 1 < K\), le système évolue dans le sens direct.

4. Observations : Du cuivre métallique se dépose sur la lame de zinc → accord avec le sens direct.

5. Transfert d’électrons : Les électrons sont transférés directement du zinc aux ions \(Cu^{2+}\) au contact.

Conclusion : Lorsque les espèces de deux couples oxydant/réducteur sont mélangées, il y a transfert spontané direct d’électrons entre l’oxydant d’un couple et le réducteur de l’autre.

1.2 Transferts spontanés indirects – Pile Daniell

Activité 2 : réaction d’oxydoréduction avec espèces séparées

  • Bécher 1 : lame de cuivre dans \(V_1 = 20\,\text{mL}\) de \(CuSO_4\) (\(C_1 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Bécher 2 : lame de zinc dans \(V_2 = 20\,\text{mL}\) de \(ZnSO_4\) (\(C_2 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Les deux solutions sont reliées par un pont salin (tube en U contenant une solution gélifiée de KCl).

Le circuit extérieur (fils métalliques) permet aux électrons de circuler de l’anode (zinc) vers la cathode (cuivre).

🔌 Schéma de la pile Daniell

Solution ZnSO₄ Zn²⁺ / SO₄²⁻ Zn Solution CuSO₄ Cu²⁺ / SO₄²⁻ Cu Pont salin (KCl) K⁺ / Cl⁻ V e⁻

⚡ Fonctionnement de la pile

Demi‑réactions :

  • Pôle négatif (anode, oxydation) : \( Zn_{(s)} \rightarrow Zn^{2+}_{(aq)} + 2e^- \)
  • Pôle positif (cathode, réduction) : \( Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \rightarrow Cu_{(s)} \)

Bilan : \( Zn_{(s)} + Cu^{2+}_{(aq)} \rightarrow Zn^{2+}_{(aq)} + Cu_{(s)} \)

Les électrons circulent dans le circuit extérieur de l’anode (Zn) vers la cathode (Cu). Le pont salin assure la continuité électrique et la neutralité des solutions.

Conclusion : Lorsque les espèces oxydantes et réductrices sont séparées, le transfert d’électrons est indirect ; il se fait par l’intermédiaire d’un circuit extérieur : on obtient une pile électrochimique.

✎ À retenir :
• Un transfert direct d’électrons se produit au contact des réactifs (réaction chimique spontanée).
• Dans une pile, les oxydant et réducteur sont séparés ; le transfert d’électrons est forcé à passer par un circuit extérieur, produisant un courant électrique.
• La pile Daniell (\(Zn/Cu^{2+}\)) est un exemple classique de conversion d’énergie chimique en énergie électrique.

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2BAC SPF – Oxydoréduction – Piles

Transfert spontané d’électrons – Pile Daniell

1.1 Transferts spontanés directs

Activité 1 : Réaction d’oxydoréduction entre espèces chimiques en contact direct

On mélange \(V_1 = 20\,\text{mL}\) de sulfate de cuivre (\(Cu^{2+} + SO_4^{2-}\), \(C_1 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)) et \(V_2 = 20\,\text{mL}\) de sulfate de zinc (\(Zn^{2+} + SO_4^{2-}\), \(C_2 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)). On plonge une lame de cuivre et une lame de zinc.

1. Équation de la réaction :

\[ Cu^{2+}_{(aq)} + Zn_{(s)} \;\rightleftharpoons\; Cu_{(s)} + Zn^{2+}_{(aq)} \]

C’est une oxydoréduction car il y a transfert d’électrons entre l’oxydant \(Cu^{2+}\) et le réducteur \(Zn\).

2. Quotient initial \(Q_{r,i}\) :

\[ Q_{r,i} = \frac{[Zn^{2+}]_i}{[Cu^{2+}]_i} = \frac{C_2 V_2 / V_T}{C_1 V_1 / V_T} = \frac{C_2}{C_1} = 1 \]

3. Sens d’évolution : \(K = 1,9 \times 10^{37}\) (très grand). Puisque \(Q_{r,i} = 1 < K\), le système évolue dans le sens direct.

4. Observations : Du cuivre métallique se dépose sur la lame de zinc → accord avec le sens direct.

5. Transfert d’électrons : Les électrons sont transférés directement du zinc aux ions \(Cu^{2+}\) au contact.

Conclusion : Lorsque les espèces de deux couples oxydant/réducteur sont mélangées, il y a transfert spontané direct d’électrons entre l’oxydant d’un couple et le réducteur de l’autre.

1.2 Transferts spontanés indirects – Pile Daniell

Activité 2 : réaction d’oxydoréduction avec espèces séparées

  • Bécher 1 : lame de cuivre dans \(V_1 = 20\,\text{mL}\) de \(CuSO_4\) (\(C_1 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Bécher 2 : lame de zinc dans \(V_2 = 20\,\text{mL}\) de \(ZnSO_4\) (\(C_2 = 0,1\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Les deux solutions sont reliées par un pont salin (tube en U contenant une solution gélifiée de KCl).

Le circuit extérieur (fils métalliques) permet aux électrons de circuler de l’anode (zinc) vers la cathode (cuivre).

🔌 Schéma de la pile Daniell

Solution ZnSO₄ Zn²⁺ / SO₄²⁻ Zn Solution CuSO₄ Cu²⁺ / SO₄²⁻ Cu Pont salin (KCl) K⁺ / Cl⁻ V e⁻

⚡ Fonctionnement de la pile

Demi‑réactions :

  • Pôle négatif (anode, oxydation) : \( Zn_{(s)} \rightarrow Zn^{2+}_{(aq)} + 2e^- \)
  • Pôle positif (cathode, réduction) : \( Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \rightarrow Cu_{(s)} \)

Bilan : \( Zn_{(s)} + Cu^{2+}_{(aq)} \rightarrow Zn^{2+}_{(aq)} + Cu_{(s)} \)

Les électrons circulent dans le circuit extérieur de l’anode (Zn) vers la cathode (Cu). Le pont salin assure la continuité électrique et la neutralité des solutions.

Conclusion : Lorsque les espèces oxydantes et réductrices sont séparées, le transfert d’électrons est indirect ; il se fait par l’intermédiaire d’un circuit extérieur : on obtient une pile électrochimique.

✎ À retenir :
• Un transfert direct d’électrons se produit au contact des réactifs (réaction chimique spontanée).
• Dans une pile, les oxydant et réducteur sont séparés ; le transfert d’électrons est forcé à passer par un circuit extérieur, produisant un courant électrique.
• La pile Daniell (\(Zn/Cu^{2+}\)) est un exemple classique de conversion d’énergie chimique en énergie électrique.

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Fonctionnement de la pile Daniell – Porteurs de charge, réactions, rôle du pont

Montage : Deux plaques (zinc et cuivre) plongées respectivement dans ZnSO₄ et CuSO₄, reliées par un pont salin. Un circuit extérieur (résistance, ampèremètre, interrupteur) est branché entre les deux plaques. Intensité mesurée : 0,76 mA.

1. Porteurs de charge responsables du courant

  • Dans les plaques métalliques et le conducteur ohmique : les électrons.
  • Dans les solutions aqueuses : les ions (cations et anions).

2. Polarité de la pile – Anode et cathode

L’ampèremètre indique une valeur positive → sa borne COM est reliée au pôle négatif de la pile.

  • Pôle positif (+) : plaque de cuivre → cathode (réduction).
  • Pôle négatif (–) : plaque de zinc → anode (oxydation).

3. Sens de déplacement des porteurs de charge

Courant électrique (sens conventionnel) : du pôle positif (+) vers le pôle négatif (–) à l’extérieur de la pile → va de la plaque de cuivre vers la plaque de zinc.

Électrons : se déplacent en sens inverse du courant, donc de la plaque de zinc (anode) vers la plaque de cuivre (cathode).

Dans les solutions :

  • Cations (\(Cu^{2+}, Zn^{2+}, K^+\)) → se déplacent dans le sens du courant (vers la cathode).
  • Anions (\(SO_4^{2-}, Cl^-\)) → se déplacent en sens inverse du courant (vers l’anode).

4. Réactions aux électrodes

À l’anode (zinc) : oxydation – la masse de zinc diminue.

\[ Zn_{(s)} \;\rightarrow\; Zn^{2+}_{(aq)} + 2e^- \]

À la cathode (cuivre) : réduction – du cuivre se dépose, la masse de l’électrode augmente.

\[ Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \;\rightarrow\; Cu_{(s)} \]

5. Bilan de la réaction – Équation globale

\[ Cu^{2+}_{(aq)} + Zn_{(s)} \;\longrightarrow\; Cu_{(s)} + Zn^{2+}_{(aq)} \]
Transfert spontané d’électrons du zinc métallique vers les ions \(Cu^{2+}\) , mais de façon indirecte via le circuit extérieur.

6. Rôle du pont ionique

  • Fermer le circuit électrique (assurer la continuité ionique).
  • Maintenir la neutralité électrique des solutions en permettant la migration des ions : les cations se déplacent vers la cathode, les anions vers l’anode.

7. Critère d’évolution spontanée

Constante d’équilibre de la réaction : \(K = 1,9 \times 10^{37}\).

Quotient initial (concentrations identiques : \(C_1 = C_2\), volumes égaux) :

\[ Q_{r,i} = \frac{[Zn^{2+}]_i}{[Cu^{2+}]_i} = 1 \]

Puisque \(Q_{r,i} < K\), le système évolue spontanément dans le sens direct (formation de \(Cu\) et \(Zn^{2+}\)).

La pile, lorsqu’elle débite, constitue un système hors équilibre qui évolue spontanément vers l’équilibre en fournissant du courant électrique.

✎ À retenir :
• Dans une pile, l’oxydation se produit à l’anode (–) et la réduction à la cathode (+).
• Le courant circule du + vers le – à l’extérieur ; les électrons circulent en sens inverse.
• Le pont salin assure la continuité ionique et la neutralité électrique.
• La réaction globale est spontanée (\(Q_{r,i} < K\)) et s’arrête lorsque l’équilibre est atteint.

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Constitution d’une pile électrochimique – Représentation, force électromotrice

Conclusion : Un transfert spontané d’électrons peut se produire entre les espèces chimiques de deux couples oxydant/réducteur, que ces deux couples soient mélangés ou séparés par un circuit électrique.

2. Constitution d’une pile électrochimique

Une pile électrochimique est constituée de deux demi‑piles :

  • Demi‑pile 1 : une plaque de métal \(M_1\) plongée dans une solution contenant les ions \(M_1^{n+}\).
  • Demi‑pile 2 : une plaque de métal \(M_2\) plongée dans une solution contenant les ions \(M_2^{m+}\).
  • Les deux solutions sont reliées par un pont salin (ou une paroi poreuse).

Le circuit extérieur (fils métalliques) permet la circulation des électrons.

📝 Représentation conventionnelle d’une pile

\[ \ominus \; M_1 \;|\; M_1^{n+} \;||\; M_2^{m+} \;|\; M_2 \; \oplus \]
  • Le trait vertical simple \(|\) représente la séparation entre le métal et sa solution.
  • Le double trait \(||\) représente le pont salin (séparation entre les deux demi‑piles).
  • Le pôle négatif (anode) est écrit à gauche, le pôle positif (cathode) à droite.

⚡ Exemple : pile Daniell

\[ \ominus \; \mathrm{Zn} \;|\; \mathrm{Zn}^{2+} \;||\; \mathrm{Cu}^{2+} \;|\; \mathrm{Cu} \; \oplus \]

Zn²⁺ Zn (anode –) pont salin (KCl) Cu²⁺ Cu (cathode +) V

🔋 Rôle des électrodes – Anode et cathode

  • Anode (pôle négatif –) : oxydation du métal \(M_1\) : \( M_1 \rightarrow M_1^{n+} + n_1 e^- \).
  • Cathode (pôle positif +) : réduction des ions \(M_2^{m+}\) : \( M_2^{m+} + m e^- \rightarrow M_2 \).

Équation globale : \( m\,M_1 + n_1\,M_2^{m+} \rightarrow m\,M_1^{n+} + n_1\,M_2 \) (après équilibrage des électrons).

Remarque : La pile électrochimique convertit l’énergie chimique (résultant d’un transfert spontané d’électrons entre deux couples) en énergie électrique.

3. Force électromotrice (f.e.m.) d’une pile

La force électromotrice (f.e.m.) \(E\) d’une pile est la tension mesurée entre ses bornes lorsqu’elle ne débite pas (circuit ouvert).

Pour mesurer la f.e.m., on branche un voltmètre (ou un multimètre en position voltmètre) entre les deux électrodes, en respectant la polarité.

\[ E = V_{(\text{cathode})} – V_{(\text{anode})} \quad (>0) \]

La f.e.m. dépend de la nature des couples, des concentrations et de la température.

✎ À retenir :
• Une pile est constituée de deux demi‑piles séparées par un pont salin.
• Représentation conventionnelle : \( \ominus M_1 | M_1^{n+} || M_2^{m+} | M_2 \oplus \).
• L’anode (–) est le siège de l’oxydation, la cathode (+) de la réduction.
• La f.e.m. se mesure à circuit ouvert ; elle traduit la tendance spontanée à l’échange d’électrons.

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Évolution spontanée d’une pile – Exercice : pile Argent / Cuivre

Mesure de la polarité avec un voltmètre

Si le voltmètre indique une valeur positive, sa borne COM est reliée au pôle négatif de la pile.
S’il indique une valeur négative, la borne COM est reliée au pôle positif.

📉 Évolution spontanée d’une pile

Au cours du fonctionnement, la pile constitue un système hors équilibre (\(Q_{r,i} < K\) ou \(Q_{r,i} > K\)).
À l’équilibre (\(Q_r = K\)), la pile ne débite plus (pile usée).

On utilise le critère d’évolution pour déterminer le sens de la réaction spontanée, donc l’électrode où se produit l’oxydation (anode, pôle –) et celle où se produit la réduction (cathode, pôle +).

🧪 Exercice d’application : pile Argent / Cuivre

Données :

  • Demi-pile 1 : électrode de cuivre \(Cu\) dans \(Cu^{2+}\) (concentration \([Cu^{2+}] = 0,05\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Demi-pile 2 : électrode d’argent \(Ag\) dans \(Ag^+\) (concentration \([Ag^+] = 0,01\,\text{mol·L}^{-1}\)).
  • Réaction d’équilibre (écrite dans le sens direct) :
\[ 2Ag_{(s)} + Cu^{2+}_{(aq)} \rightleftharpoons 2Ag^+_{(aq)} + Cu_{(s)} \quad ; \quad K = 2,6 \times 10^{-16} \]

1️⃣ Sens d’évolution spontanée – Équation globale de la pile

Calcul du quotient initial \(Q_{r,i}\) :

\[ Q_{r,i} = \frac{[Ag^+]^2}{[Cu^{2+}]} = \frac{(0,01)^2}{0,05} = \frac{1,0 \times 10^{-4}}{5,0 \times 10^{-2}} = 2,0 \times 10^{-3} \]

Comparaison : \(Q_{r,i} = 2,0 \times 10^{-3} \quad \text{et} \quad K = 2,6 \times 10^{-16}\).

Puisque \(Q_{r,i} > K\), le système évolue spontanément dans le sens inverse de l’équation écrite.

Équation globale de la réaction dans la pile :

\[ 2Ag^+_{(aq)} + Cu_{(s)} \;\longrightarrow\; 2Ag_{(s)} + Cu^{2+}_{(aq)} \]

2️⃣ Demi‑équations et polarité de la pile

On décompose l’équation globale :

  • Réduction (gain d’électrons) : \( Ag^+_{(aq)} + e^- \rightarrow Ag_{(s)} \) → se produit à l’électrode d’argent → celle-ci est la cathode (pôle positif +).
  • Oxydation (perte d’électrons) : \( Cu_{(s)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \) → se produit à l’électrode de cuivre → celle-ci est l’anode (pôle négatif –).

Polarité : Cu (anode, –) et Ag (cathode, +).

3️⃣ Représentation symbolique conventionnelle de la pile


\[\ominus \; Cu \;|\; Cu^{2+} \;||\; Ag^+ \;|\; Ag \; \oplus \]

L’anode (métal qui s’oxyde) s’écrit à gauche, la cathode à droite. Le pont salin est symbolisé par \(||\).

Rappel : La pile convertit l’énergie chimique en énergie électrique. Le sens spontané est celui pour lequel \(Q_r\) tend vers \(K\).

✎ À retenir :
• Pour une pile, on calcule \(Q_{r,i}\) à partir des concentrations initiales.
• Si \(Q_{r,i} < K\) → évolution dans le sens direct ; si \(Q_{r,i} > K\) → évolution dans le sens inverse.
• Le sens de la réaction donne l’anode (oxydation, pôle –) et la cathode (réduction, pôle +).
• La représentation conventionnelle s’écrit toujours : anode | solution anodique || solution cathodique | cathode.

⚡ 2BAC SPF – Pile Argent/Cuivre : calcul de \(Q_{r,i}\), comparaison avec \(K\), sens d’évolution, polarité, schéma conventionnel
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Quantité d’électricité et bilan de matière – Pile Cu/Ag

5.1 Quantité d’électricité débitée par une pile

Pour une pile débitant un courant d’intensité constante \(I\) pendant une durée \(\Delta t\), la quantité d’électricité qui traverse le circuit est :

\[ Q = I \cdot \Delta t \]

Cette charge électrique est transportée par les électrons. Si \(N\) est le nombre d’électrons ayant circulé :

\[ Q = N \cdot e \quad\Rightarrow\quad N = \frac{Q}{e} \]

La quantité de matière d’électrons correspondante est :

\[ n(e^-) = \frac{N}{N_A} = \frac{I \cdot \Delta t}{N_A \cdot e} = \frac{Q}{F} \]

où \(F = N_A \cdot e \approx 96500\,\text{C·mol}^{-1}\) est la constante de Faraday.

\[ Q = n(e^-) \cdot F \quad\text{et}\quad n(e^-) = \frac{Q}{F} \]
Remarque : Si la pile débite un courant \(I\) pendant une durée \(\Delta t_{\text{max}}\) avant de s’épuiser, elle délivre la charge maximale \(Q_{\text{max}} = I \cdot \Delta t_{\text{max}} = n_{\text{max}}(e^-) \cdot F\).

5.2 Bilan de matière – Exemple de la pile Cu/Ag

On considère la pile dont la représentation conventionnelle est :

\[ \ominus \; Cu \;|\; Cu^{2+} \;||\; Ag^+ \;|\; Ag \; \oplus \]

La pile débite pendant un temps \(\Delta t = 1,5\,\text{min}\) un courant d’intensité \(I = 86\,\text{mA}\).

Données : \(F = 96500\,\text{C·mol}^{-1}\), \(M(Ag) = 108\,\text{g·mol}^{-1}\), \(M(Cu) = 63,5\,\text{g·mol}^{-1}\).

📐 Relation entre la charge et les quantités de matière transformées

L’équation globale de la réaction dans la pile (déterminée par le critère d’évolution spontanée) est :

\[ Cu_{(s)} + 2Ag^+_{(aq)} \;\rightarrow\; Cu^{2+}_{(aq)} + 2Ag_{(s)} \]

Les demi‑équations :

  • Oxydation (anode, Cu) : \( Cu_{(s)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \)
  • Réduction (cathode, Ag) : \( Ag^+_{(aq)} + e^- \rightarrow Ag_{(s)} \)

Le nombre d’électrons échangés par mole de cuivre oxydé est \(n(e^-) = 2\) (pour 1 mol de Cu, 2 mol d’e⁻ circulent).

⚡ Calcul de la quantité d’électricité débitée

Durée : \(\Delta t = 1,5\,\text{min} = 90\,\text{s}\) ; \(I = 86\,\text{mA} = 86 \times 10^{-3}\,\text{A}\).

\[ Q = I \cdot \Delta t = 86 \times 10^{-3} \times 90 = 7,74\,\text{C} \]
\(Q = 7,74\ \text{C}\)

🧪 Bilan de matière – Quantité de cuivre oxydé et d’argent déposé

Quantité de matière d’électrons :

\[ n(e^-) = \frac{Q}{F} = \frac{7,74}{96500} \approx 8,02 \times 10^{-5}\,\text{mol} \]

D’après la demi‑équation du cuivre : \( Cu \rightarrow Cu^{2+} + 2e^- \), pour 2 moles d’e⁻, 1 mole de Cu est oxydée.

\[ n_{\text{ox}}(Cu) = \frac{n(e^-)}{2} = \frac{8,02 \times 10^{-5}}{2} \approx 4,01 \times 10^{-5}\,\text{mol} \]

Masse de cuivre oxydé :

\[ m_{\text{ox}}(Cu) = n_{\text{ox}}(Cu) \times M(Cu) = 4,01 \times 10^{-5} \times 63,5 \approx 2,55 \times 10^{-3}\,\text{g} = 2,55\,\text{mg} \]

Pour l’argent, la demi‑équation est : \( Ag^+ + e^- \rightarrow Ag \). Donc \(n(e^-) = n_{\text{dép}}(Ag)\).

\[ n_{\text{dép}}(Ag) = n(e^-) = 8,02 \times 10^{-5}\,\text{mol} \]

Masse d’argent déposé :

\[ m_{\text{dép}}(Ag) = n_{\text{dép}}(Ag) \times M(Ag) = 8,02 \times 10^{-5} \times 108 \approx 8,66 \times 10^{-3}\,\text{g} = 8,66\,\text{mg} \]
Interprétation : Pendant le fonctionnement de la pile, la masse de l’électrode de cuivre diminue (oxydation) et celle de l’électrode d’argent augmente (dépôt métallique). Les variations de masse sont directement liées à la quantité d’électricité débitée via la loi de Faraday.

✎ À retenir :
• La charge électrique est \(Q = I \cdot \Delta t = n(e^-) \cdot F\) avec \(F = 96500\ \text{C·mol}^{-1}\).
• La quantité d’électrons est liée aux quantités de matière transformées par les demi‑équations redox.
• On peut calculer la masse d’un métal oxydé ou déposé à partir de \(Q\) et de la stœchiométrie.

⚡ 2BAC SPF – Piles : quantité d’électricité, constante de Faraday, bilan de matière (exemple pile Cu/Ag)
2BAC SPF – Oxydoréduction – Piles

Bilan de matière – Pile Cu/Ag : avancement, variation de masse

Pile étudiée : \(\ominus \; Cu \;|\; Cu^{2+} \;||\; Ag^+ \;|\; Ag \; \oplus\)

Durée de fonctionnement : \(\Delta t = 1,5\,\text{min} = 90\,\text{s}\) ; intensité \(I = 86\,\text{mA} = 86 \times 10^{-3}\,\text{A}\).

Données : \(F = 96500\,\text{C·mol}^{-1}\), \(M(Ag) = 108\,\text{g·mol}^{-1}\), \(M(Cu) = 63,5\,\text{g·mol}^{-1}\).

1. Quantité d’électricité transportée

\[ Q = I \cdot \Delta t = 86 \times 10^{-3} \times 90 = 7,74\,\text{C} \]
\(Q = 7,74\ \text{C}\)

2. Équation globale de la réaction

Anode (oxydation) : \( Cu_{(s)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + 2e^- \)

Cathode (réduction) : \( Ag^+_{(aq)} + e^- \rightarrow Ag_{(s)} \)

En multipliant la demi‑équation de l’argent par 2 pour équilibrer les électrons :

\[ 2Ag^+_{(aq)} + Cu_{(s)} \;\longrightarrow\; 2Ag_{(s)} + Cu^{2+}_{(aq)} \]

3. Tableau d’avancement – Expression de \(x\)

ÉtatAvancement\(2Ag^+\)\(Cu_{(s)}\)\(2Ag_{(s)}\)\(Cu^{2+}\)\(e^-\) (circuit)
Initial0\(n_i(Ag^+)\)\(n_i(Cu)\)\(n_i(Ag)\)\(n_i(Cu^{2+})\)0
Intermédiaire\(x\)\(n_i(Ag^+)-2x\)\(n_i(Cu)-x\)\(n_i(Ag)+2x\)\(n_i(Cu^{2+})+x\)\(2x\)
Final\(x_f\)…………\(2x_f\)

Quantité d’électricité : \(Q = I \cdot \Delta t = n(e^-) \cdot F\).

D’après le tableau, \(n(e^-) = 2x\), donc :

\[ I \cdot \Delta t = 2x \cdot F \quad\Rightarrow\quad x = \frac{I \cdot \Delta t}{2F} \]

Application numérique :

\[ x = \frac{86 \times 10^{-3} \times 90}{2 \times 96500} = \frac{7,74}{193000} \approx 4,01 \times 10^{-5}\,\text{mol} \]
\(x \approx 4,01 \times 10^{-5}\ \text{mol}\)

(Attention : dans l’énoncé original, la valeur donnée était \(4,01 \times 10^{-4}\) mol, ce qui correspondrait à \(Q = 77,4\) C. Vérification : avec nos données, on obtient \(4,01 \times 10^{-5}\) mol. Le calcul ci-dessous est cohérent avec \(Q = 7,74\) C.)

4. Variation de masse des électrodes

📈 Électrode d’argent (cathode) – dépôt

La masse d’argent déposé : \(\Delta m(Ag) = n_{\text{dép}}(Ag) \cdot M(Ag)\).

D’après la demi‑équation \(Ag^+ + e^- \rightarrow Ag\), \(n_{\text{dép}}(Ag) = n(e^-) = 2x\).

\[ \Delta m(Ag) = 2x \cdot M(Ag) = 2 \times 4,01 \times 10^{-5} \times 108 \] \[ \Delta m(Ag) \approx 8,66 \times 10^{-3}\,\text{g} = 8,66\,\text{mg} \]
La masse de l’électrode d’argent augmente de \(8,66\ \text{mg}\).

📉 Électrode de cuivre (anode) – oxydation

Le cuivre s’oxyde selon \(Cu \rightarrow Cu^{2+} + 2e^-\). La quantité de cuivre consommée est \(n_{\text{ox}}(Cu) = x\).

\[ \Delta m(Cu) = -\,x \cdot M(Cu) = -\,4,01 \times 10^{-5} \times 63,5 \] \[ \Delta m(Cu) \approx -2,55 \times 10^{-3}\,\text{g} = -2,55\,\text{mg} \]
La masse de l’électrode de cuivre diminue de \(2,55\ \text{mg}\).
Interprétation : Pendant \(\Delta t = 1,5\,\text{min}\), la pile débite \(7,74\,\text{C}\). L’oxydation du cuivre libère des électrons qui, après avoir traversé le circuit extérieur, permettent la réduction des ions argent. La variation de masse des électrodes est directement proportionnelle à l’avancement \(x\) et à la masse molaire des métaux.

✎ À retenir :
• L’avancement \(x\) se calcule à partir de la charge \(Q = I\Delta t\) et de la stoechiométrie : \(x = \dfrac{I\Delta t}{n \cdot F}\) où \(n\) est le nombre d’électrons échangés par mole de réaction.
• La variation de masse d’une électrode est \(\Delta m = \pm \nu \cdot x \cdot M\) (signe + pour un dépôt, – pour une dissolution).
• La loi de Faraday relie la quantité d’électricité à la quantité de matière transformée.

⚡ 2BAC SPF – Pile Cu/Ag : bilan de matière, tableau d’avancement, avancement \(x\), variation de masse des électrodes
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