Chute verticale avec frottement | Vitesse limite & méthode d’Euler
⚙️ 2 • Chute verticale avec frottement
Mécanique – Niveau 2BAC SPF | Étude expérimentale & modélisation
📊 1. Étude expérimentale
On réalise la chute, sans vitesse initiale, d’une bille d’acier dans un fluide (huile ou glycérine). L’enregistrement vidéo permet de tracer \( v(t) \).
📈 Courbe typique \( v = f(t) \)
↗️ La vitesse croît puis se stabilise : vitesse limite \( v_{lim} \)
- Évolution de la vitesse : La vitesse augmente (régime initial), puis se stabilise (régime permanent). La bille atteint une vitesse limite.
- Accélération : Graphiquement, l’accélération \( a = \frac{dv}{dt} \) est la pente de la tangente. Les pentes diminuent → l’accélération diminue jusqu’à s’annuler.
- Vitesse limite \( v_{lim} \)= 6 m·s⁻¹ (d’après la courbe donnée dans l’énoncé).
- Temps caractéristique \( \tau \) = 0,2 s (lu graphiquement).
- Accélération initiale : \[ a_0 = \left( \frac{\Delta v}{\Delta t} \right)_{t=0} = \frac{v_{lim}}{\tau} = \frac{6}{0,2} = 30 \, \text{m·s}^{-2} \]
💡 La méthode expérimentale permet d’identifier \( v_{lim} \) et \( \tau \), deux grandeurs fondamentales pour valider le modèle théorique.
📐 2.1 Étude théorique – Équation différentielle de la vitesse
Système : bille de masse \( m \) totalement immergée dans un fluide de masse volumique \( \rho_f \). Bilan des forces (axe Oz vers le bas) :
- Poids : \( P = m g \)
- Poussée d’Archimède : \( F_a = \rho_f \, V \, g \) (vers le haut, soit signe − dans l’équation)
- Frottement fluide : \( f = k v^2 \) (opposé au mouvement, n=2 pour les vitesses élevées)
2ᵉ loi de Newton : \( m \frac{dv}{dt} = mg – \rho_f V g – k v^2 \)
\[ \frac{dv}{dt} = \underbrace{g\left(1 – \frac{\rho_f V}{m}\right)}_{A} – \underbrace{\frac{k}{m}}_{B} v^2 \]
On pose : \( A = g\left(1 – \frac{\rho_f V}{m}\right) \) et \( B = \frac{k}{m} \). L’équation devient :
\[ \frac{dv}{dt} = A – B\,v^2 \]
🔁 Détermination de la vitesse limite \( v_{lim} \)
En régime permanent, \( \frac{dv}{dt} = 0 \) ⇒ \( A – B v_{lim}^2 = 0 \) ⇒ \( v_{lim} = \sqrt{\frac{A}{B}} \)
\[ v_{lim} = \sqrt{\frac{g\left(1 – \frac{\rho_f V}{m}\right)}{\frac{k}{m}}} = \sqrt{\frac{g\,m}{k}\left(1 – \frac{\rho_f V}{m}\right)} \]
✔️ La vitesse limite dépend de la masse, de la géométrie (volume) et du fluide (k, ρ_f). Si \( \rho_f V < m \) la chute est descendante.
📉 Accélération initiale \( a_0 \)
A \( t = 0 \), \( v_0 = 0 \) ⇒ \( a_0 = A – B·0 = A \) :
\[ a_0 = g \left( 1 – \frac{\rho_f V}{m} \right) \]
On retrouve bien que l’accélération initiale est la différence entre le poids et la poussée d’Archimède (avant les effets de frottement).
🔄 2.3 Méthode d’Euler – Résolution numérique
La méthode d’Euler permet de calculer pas à pas la vitesse et l’accélération à partir de l’équation différentielle \( \frac{dv}{dt} = A – B v^2 \).
🧮 Principe itératif :
À l’instant \( t_i \), on connaît \( v_i \). On calcule \( a_i = A – B v_i^2 \), puis on progresse :
\[ v_{i+1} = v_i + a_i \cdot \Delta t \] où \( \Delta t \) est le pas de temps (constant).
À l’instant \( t_i \), on connaît \( v_i \). On calcule \( a_i = A – B v_i^2 \), puis on progresse :
\[ v_{i+1} = v_i + a_i \cdot \Delta t \] où \( \Delta t \) est le pas de temps (constant).
📋 Tableau de valeurs (schéma d’Euler)
| Instant \( t_i \) | Vitesse \( v_i \) | Accélération \( a_i = A – B v_i^2 \) |
|---|---|---|
| \( t_0 = 0 \) | \( v_0 \) (connue) | \( a_0 = A – B v_0^2 \) |
| \( t_1 = t_0 + \Delta t \) | \( v_1 = v_0 + a_0 \Delta t \) | \( a_1 = A – B v_1^2 \) |
| \( t_2 = t_1 + \Delta t \) | \( v_2 = v_1 + a_1 \Delta t \) | \( a_2 = A – B v_2^2 \) |
| … | … | … |
🧪 Exemple numérique (valeurs types) :
Bille acier : \( m = 0,020\,\text{kg} \), \( V = 2,5\times10^{-6} \text{m}^3 \), \( \rho_f = 900\,\text{kg/m}^3 \) (huile), \( k = 0,02 \).
\( A = 9,81 \times (1 – \frac{900\times2,5\times10^{-6}}{0,02}) \approx 9,81 \times (1 – 0,1125) = 8,70 \,\text{m/s}^2 \), \( B = 0,02/0,02 = 1 \).
Avec \( \Delta t = 0,02\,\text{s} \), \( v_0=0 \) → \( a_0=8,70 \), \( v_1=0,174 \), \( a_1=8,70 – (0,174)^2 \approx 8,67 \) … convergence vers \( v_{lim} = \sqrt{A/B} \approx 2,95\,\text{m/s} \).
Bille acier : \( m = 0,020\,\text{kg} \), \( V = 2,5\times10^{-6} \text{m}^3 \), \( \rho_f = 900\,\text{kg/m}^3 \) (huile), \( k = 0,02 \).
\( A = 9,81 \times (1 – \frac{900\times2,5\times10^{-6}}{0,02}) \approx 9,81 \times (1 – 0,1125) = 8,70 \,\text{m/s}^2 \), \( B = 0,02/0,02 = 1 \).
Avec \( \Delta t = 0,02\,\text{s} \), \( v_0=0 \) → \( a_0=8,70 \), \( v_1=0,174 \), \( a_1=8,70 – (0,174)^2 \approx 8,67 \) … convergence vers \( v_{lim} = \sqrt{A/B} \approx 2,95\,\text{m/s} \).
📌 La méthode d’Euler est très utilisée en physique pour modéliser des mouvements lorsque l’équation différentielle n’a pas de solution analytique simple. Ici, elle confirme la croissance rapide vers la vitesse limite.
🖥️ Résultat de la simulation numérique (Euler)
L’intégration numérique reproduit fidèlement la courbe expérimentale.
🎯 Synthèse & applications directes
❓ Questions typiques d’examen :
- À partir d’une courbe \( v(t) \), déterminer \( v_{lim} \) et le temps caractéristique \( \tau \).
- Établir l’équation différentielle du mouvement en présence de frottement quadratique.
- Exprimer la vitesse limite en fonction des paramètres \( m, g, \rho_f, V, k \).
- Utiliser la méthode d’Euler pour calculer \( v(0,1\,\text{s}) \) si \( A=9,0 \, \text{m/s}^2 \) et \( B=1,2 \).
💡 Point clé : La force de frottement fluide limite la vitesse. Plus \( k \) est grand (fluide visqueux), plus la vitesse limite est faible. La méthode d’Euler offre un pont entre le modèle théorique et la simulation numérique.
📖 Réponse rapide – Exemple Euler
Application : \( A=9,0, B=1,2, \Delta t=0,02\,s, v_0=0 \)
\( a_0 = 9,0 \) → \( v_1 = 0 + 9,0 \times 0,02 = 0,18 \, \text{m/s} \)
\( a_1 = 9,0 – 1,2 \times (0,18)^2 = 9,0 – 0,0389 = 8,961 \) → \( v_2 = 0,18 + 8,961 \times 0,02 = 0,359 \, \text{m/s} \) … etc.
\( a_0 = 9,0 \) → \( v_1 = 0 + 9,0 \times 0,02 = 0,18 \, \text{m/s} \)
\( a_1 = 9,0 – 1,2 \times (0,18)^2 = 9,0 – 0,0389 = 8,961 \) → \( v_2 = 0,18 + 8,961 \times 0,02 = 0,359 \, \text{m/s} \) … etc.