Cours : L’atome et la mécanique de Newton
L’atome et la mécanique de Newton
1 Limites de la mécanique newtonienne
Un satellite peut graviter à une distance quasi quelconque d’un astre ; il n’en est pas de même pour l’espace occupé par les électrons autour du noyau d’un atome.
1.1 Hypothèse de Planck (1900)
Les échanges énergétiques par un atome se font par des « quantums d’énergie ».
1.2 Hypothèse des photons (Einstein, 1905)
L’énergie d’une lumière monochromatique de fréquence \(\nu\) est portée par des photons (quanta).
Chaque photon a pour énergie :
- \(h\) : constante de Planck, \(h = 6{,}62\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\)
- \(\lambda\) : longueur d’onde dans le vide.
1.3 Postulats de Bohr (1913)
L’énergie d’un atome d’un élément donné ne peut pas prendre n’importe quelle valeur, mais uniquement des valeurs discontinues propres à l’élément considéré. On dit que l’énergie de l’atome est quantifiée.
Les différents niveaux d’énergie d’un élément peuvent être représentés sur un diagramme énergétique :
- le niveau le plus bas correspond au niveau d’énergie fondamentale ;
- les niveaux intermédiaires correspondent aux différents états excités.
2 Spectre d’émission
Quand l’atome passe (en général, spontanément) d’un niveau d’énergie \(E_a\) à un niveau d’énergie \(E_b\) inférieur, il perd de l’énergie. Soit \(\Delta E\) l’énergie perdue, on a :
Cette énergie est perdue sous forme d’énergie lumineuse : il y a émission d’un photon de longueur d’onde \(\lambda\) telle que :
2.1 Spectre d’absorption
Quand l’atome est dans un niveau d’énergie \(E_c\), s’il reçoit un photon de longueur d’onde \(\lambda\) telle que son énergie est exactement l’énergie qu’il faut pour que l’atome passe dans un niveau d’énergie supérieur \(E_d\), c’est-à-dire :
le photon est absorbé.
Les longueurs d’onde des radiations absorbées ne peuvent avoir que des valeurs bien déterminées ; elles constituent le spectre de raies d’absorption de l’atome.
Le diagramme ci-dessous représente quelques niveaux d’énergie de l’atome de mercure.
| Niveau | Énergie (eV) |
|---|---|
| \(E_4\) | \(-0{,}90\) |
| \(E_3\) | \(-3{,}73\) |
| \(E_2\) | \(-5{,}54\) |
| \(E_1\) | \(-4{,}99\) |
| \(E_0\) | \(-10{,}44\) |
1. Comment désigne-t-on le niveau le plus bas \(E_0\) sur le diagramme énergétique ?
2. Un électron cède une partie de son énergie à un atome de mercure. L’énergie de celui-ci passe du niveau \(E_0\) au niveau \(E_1\). Comment qualifie-t-on l’état dans lequel se trouve alors l’atome de mercure ?
3. Retour vers \(E_0\). Lors de la transition du niveau \(E_1\) vers le niveau \(E_0\), l’atome de mercure perd de l’énergie.
On donne : \(h=6{,}63\times10^{-34}\ \mathrm{S.I}\) ; \(c=3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) ; \(1\ \mathrm{eV}=1{,}60\times10^{-19}\ \mathrm{J}\).
a. Comment se manifeste cette perte d’énergie ?
b. Calculer la longueur d’onde \(\lambda_{1\to0}\) correspondante dans le vide.
c. Après avoir rappelé les limites des longueurs d’onde dans le vide du spectre visible, dire dans quel domaine, ultraviolet (U.V.), visible ou infrarouge (I.R.), se situe la radiation de longueur d’onde \(\lambda_{1\to0}\).
4. Les niveaux d’énergie de l’atome de mercure sont quantifiés.
a. Que signifie cette phrase ?
b. Justifier à partir de ce terme la discontinuité du spectre d’émission de l’atome de mercure.
1. Le niveau le plus bas est appelé niveau fondamental.
2. L’atome de mercure passe dans un état excité.
3.a L’atome de mercure perd cette énergie sous forme d’énergie lumineuse : il y a émission d’un photon.
3.b On a :
Attention, pour calculer \(\lambda\), il faut convertir les énergies données en joules. Or :
Alors :
3.c Il faut penser à convertir la longueur d’onde en nm pour pouvoir comparer sa valeur aux longueurs d’onde du visible. Les longueurs d’onde du spectre visible sont comprises entre 400 et 800 nm. Ici, \(\lambda_{1\to0}<400\ \mathrm{nm}\), donc la longueur d'onde \(\lambda_{1\to0}\) correspond à un rayonnement situé dans le domaine U.V.
4.a « Les niveaux d’énergie de l’atome sont quantifiés » signifie que l’énergie de l’atome ne peut prendre que des valeurs bien déterminées.
4.b Alors, quand l’atome passe d’un état d’énergie \(E_a\) à un état d’énergie \(E_b\) inférieur, il perd une énergie \(\Delta E=E_a-E_b\) qui ne peut prendre que des valeurs bien déterminées. Or \(\Delta E=\dfrac{h\,c}{\lambda}\), donc les radiations émises ne peuvent avoir que des longueurs d’onde bien déterminées. Ce qui explique la discontinuité du spectre d’émission.
Dans le spectre de l’hydrogène, la série de Balmer contient des radiations visibles dont trois correspondent aux longueurs d’onde 656,3 nm, 486,1 nm et 434,1 nm.
Les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés en eV par la formule :
où \(n\) est un nombre entier positif (ou nombre quantique). Les 3 raies citées correspondent à une transition d’un niveau \(n=k\) vers le niveau \(n=2\).
Données : \(c=3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) et \(h=6{,}62\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\).
1. Indiquer les fréquences des rayonnements correspondant à ces trois raies.
2. Exprimer la relation liant la fréquence \(\nu_k\) au nombre \(k\).
3. En déduire les nombres quantiques \(k\) des niveaux d’énergie de départ correspondant à chacune de ces raies.
1. On utilise la relation \(\nu=\dfrac{c}{\lambda}\) pour compléter le tableau ci-dessous :
| Longueur d’onde (nm) | 656,3 | 486,1 | 434,1 |
|---|---|---|---|
| Fréquence (Hz) | \(4{,}57\times10^{14}\) | \(6{,}17\times10^{14}\) | \(6{,}91\times10^{14}\) |
2. Puisque les transitions se font vers le niveau \(n=2\) et que \(E_k>E_2\), la relation de Bohr s’écrit :
Or \(E_n=-\dfrac{13{,}6}{n^2}\), on a donc :
soit :
3. La relation précédente peut se mettre sous la forme :
| Fréquence (Hz) | \(4{,}57\times10^{14}\) | \(6{,}17\times10^{14}\) | \(6{,}91\times10^{14}\) |
|---|---|---|---|
| Nombre quantique \(k\) | 3 | 4 | 5 |
On utilise les lampes à vapeur de sodium pour éclairer des tunnels routiers. Ces lampes contiennent de la vapeur de sodium à très faible pression. Cette vapeur est excitée par un faisceau d’électrons qui traverse le tube. Les atomes de sodium absorbent l’énergie des électrons. L’énergie est restituée lors du retour à l’état fondamental sous forme de radiations lumineuses. Les lampes à vapeur de sodium émettent surtout de la lumière jaune.
Données : \(h=6{,}62\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) ; \(c=3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) ; \(e=1{,}60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\).
1. L’analyse du spectre d’émission d’une lampe à vapeur de sodium révèle la présence de raies de longueur d’onde \(\lambda\) bien définie :
Spectre d’émission : raies à 330,3 nm · 568,8 nm · doublet 589,0/589,6 nm · 615,4 nm · 819,5 nm · 1138,2 nm
1. Que représentent les grandeurs \(h\), \(c\) et \(e\) (données présentées en début de l’exercice) ?
2. Quelles sont les longueurs d’onde des raies appartenant au domaine du visible ? au domaine des ultraviolets ? au domaine de l’infrarouge ?
3. S’agit-il d’une lumière polychromatique ou monochromatique ? Justifier la réponse.
4. Quelle est la valeur de la fréquence \(f\) de la raie de longueur d’onde \(\lambda=589{,}0\ \mathrm{nm}\) ?
1. \(h\) est la constante de Planck, \(c\) la vitesse de la lumière dans le vide et \(e\) la charge électrique élémentaire (ou valeur absolue de la charge de l’électron).
2. Les radiations qui sont dans le domaine :
- du visible (\(400\ \mathrm{nm}<\lambda<800\ \mathrm{nm}\)) sont 568,8 nm ; 589,0/589,6 nm et 615,4 nm ;
- des UV (\(\lambda<400\ \mathrm{nm}\)) sont 330,3 nm ;
- des IR (\(\lambda>800\ \mathrm{nm}\)) sont 819,5 nm et 1138,2 nm.
3. Il s’agit d’une lumière polychromatique, car elle contient plusieurs radiations (de longueurs d’onde différentes).
4. On a \(\lambda=\dfrac{c}{f}\), donc la fréquence :
On rappelle que l’atome d’hydrogène peut exister à différents niveaux d’énergie ; les énergies de ces niveaux sont données par la relation :
\(E_n\) est mesurée en électron-volt ; \(n\) est un entier positif.
Indiquez si les affirmations suivantes sont exactes ou fausses en justifiant votre réponse éventuellement par un calcul.
Données : \(1\ \mathrm{eV}=1{,}60\times10^{-19}\ \mathrm{J}\) ; \(1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}\).
1. La valeur de l’énergie de l’atome d’hydrogène au niveau \(n=3\) est de \(-2{,}42\times10^{-19}\) joule.
2. L’atome d’hydrogène peut avoir une énergie égale à \(-2{,}8\ \mathrm{eV}\).
3. Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène est continu.
4. Le niveau d’énergie \(0\ \mathrm{(eV)}\) correspond à l’atome d’hydrogène dans son état non excité (état fondamental).
5. L’atome d’hydrogène peut émettre la radiation de longueur d’onde dans le vide \(\lambda=103\ \mathrm{nm}\) en passant du niveau d’énergie \(n=3\) au niveau d’énergie \(n=1\).
6. On peut exciter l’atome d’hydrogène grâce à une radiation de longueur d’onde dans le vide \(\lambda=103\ \mathrm{nm}\).
7. L’énergie minimale d’un électron capable de provoquer par choc l’excitation d’un atome d’hydrogène à partir de son état fondamental vaut \(11\ \mathrm{eV}\).
1. D’après la relation donnant l’énergie des niveaux de l’atome d’hydrogène : \(E_n=-\dfrac{13{,}6}{n^2}\) (en eV), pour \(n=3\) : \(E_3=-1{,}51\ \mathrm{eV}\), soit en joules : \(E_3=-2{,}42\times10^{-19}\ \mathrm{J}\).
L’affirmation est exacte.
2. D’après la relation, le rapport \(\left|-\dfrac{13{,}6}{E_n}\right|\) est égal au carré d’un nombre entier, ce qui n’est pas vrai pour \(|E_n|=2{,}8\ \mathrm{eV}\).
L’affirmation est fausse.
3. Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène qui revient à son état fondamental est discontinu : chaque photon émis correspond à la transition entre deux niveaux.
L’affirmation est fausse.
4. L’état fondamental (état stable) correspond à la valeur minimale de l’énergie (\(n=1\), \(E_0=-13{,}6\ \mathrm{eV}\)). Le niveau d’énergie \(0\ \mathrm{eV}\) est la plus grande valeur que puisse prendre \(E_n\) (\(n\to\infty\) ; \(E=0\)) : l’atome est ionisé. Conventionnellement, l’énergie d’un atome est toujours négative. Attention, l’énergie est d’autant plus petite que \(n\) est plus petit.
L’affirmation est fausse.
5. Lors du passage du niveau 3 au niveau 1, l’atome émet un photon d’énergie \(E=E_3-E_1\) avec \(E=\dfrac{h\,c}{\lambda}\). On en déduit :
L’affirmation est exacte.
6. Le processus inverse fait passer l’atome du niveau 1 au niveau 3 par absorption d’un photon \(\lambda=103\ \mathrm{nm}\).
L’affirmation est exacte.
7. Pour le passage du niveau 1 au niveau 2, \(E=E_2-E_1\), soit \(E=10{,}2\ \mathrm{eV}\).
L’affirmation est fausse.
La figure suivante donne les valeurs approchées des niveaux d’énergie de l’ion \(He^+\) comparés à ceux de l’atome \(H\).
