Cours : Mouvement de rotation d’un solide

Chapitre 14 – Mécanique : Mouvement de rotation d’un solide
Physique-Chimie
Chapitre 14

Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Abscisse angulaire – Vitesse angulaire – Accélération angulaire

Rappel : Un corps solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe (Δ) si tous les points du solide décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe de rotation (Δ).

1.1 Repérage d’un point d’un solide

On repère la position d’un point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) en utilisant :

  • L’abscisse angulaire : \(\theta(t) = (\overrightarrow{OM_0}, \overrightarrow{OM})\)
  • L’abscisse curviligne : \(s(t) = \overset{\frown}{M_0M}\)

Remarque : la relation entre l’abscisse curviligne et l’abscisse angulaire est : \(s = R\,\theta\)

Repérage d'un point M d'un solide en rotation avec abscisse angulaire theta et abscisse curviligne s
Abscisse angulaire \(\theta\) et abscisse curviligne \(s\)

1.2 Vitesse angulaire

  • La vitesse angulaire \(\omega\) est la dérivée par rapport au temps de l’abscisse angulaire \(\theta\) :
    \[ \omega = \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} \]
    \(\omega\) s’exprime en \((\mathrm{rad\,s^{-1}})\)
  • La relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire est :
    \[ V = R\,\omega \]

1.3 Accélération angulaire

  • L’accélération angulaire \(\dot{\omega}\) est la dérivée par rapport au temps de la vitesse angulaire :
    \[ \dot{\omega} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \]
    \(\dot{\omega}\) s’exprime en \((\mathrm{rad\,s^{-2}})\)
  • Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :
    \[ \vec{a} = a_T\,\vec{u} + a_N\,\vec{n} \]

Tel que :

\[ \begin{cases} a_T = \dfrac{dV}{dt} \\[4pt] a_N = \dfrac{V^2}{R} \end{cases} \]

et puisque \(V=R\,\omega\), alors :

\[ \begin{cases} a_T = R\,\dot{\omega} \\ a_N = R\,\omega^2 \end{cases} \]
Vecteur accélération dans la base de Frenet avec aT, aN, u, n
Accélération dans la base de Frenet

2 Les équations horaires du mouvement

2.1 Mouvement de rotation uniforme

On dit qu’un mouvement de rotation est uniforme si : \(\omega=\dot{\theta}=Cte\), c’est-à-dire \(\dot{\omega}=0\).

☞ Équation horaire du mouvement :

\[ \theta(t) = \omega\,t + \theta_0 \qquad\text{avec : } \theta_0=\theta(t=0) \]

2.2 Mouvement de rotation uniformément varié

On dit qu’un mouvement est uniformément varié si l’accélération angulaire \(\dot{\omega}\) est constante : \(\dot{\omega}=Cte\)

☞ Équation horaire de la vitesse :

\[ \omega(t) = \dot{\omega}\,t + \omega_0 \qquad\text{avec : } \omega_0=\omega(t=0)\text{ la vitesse angulaire initiale} \]

☞ Équation horaire du mouvement :

\[ \theta(t) = \frac{1}{2}\dot{\omega}\,t^2 + \omega_0\,t + \theta_0 \qquad\text{avec : } \theta_0=\theta(t=0) \]

3 La relation fondamentale de la dynamique (RFD)

3.1 Moment d’une force (Rappel)

Le moment par rapport à un axe (Δ) d’une force \(\vec{F}\) est le produit de l’intensité \(F\) de cette force et la distance \(d\) qui sépare la droite d’action de la force \(\vec{F}\) et l’axe de rotation :

\[ M_\Delta(\vec{F}) = \pm F\cdot d \qquad\text{avec : } d=OH \]

Le signe (±) dépend du sens positif de rotation.

3.2 Énoncé de la relation fondamentale de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la somme des moments des forces, appliquées à un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ), est égale au moment d’inertie \(J_\Delta\) du solide multiplié par l’accélération angulaire \(\dot{\omega}\) :

\[ \boxed{\sum M_\Delta(\vec{F}_{ext}) = J_\Delta\cdot\dot{\omega}} \]

Avec :

  • \(J_\Delta\) : moment d’inertie du corps solide en \((\mathrm{kg\,m^2})\) ;
  • \(\dot{\omega}\) : accélération angulaire en \((\mathrm{rad\,s^{-2}})\).

3.3 Expression du moment d’inertie de quelques corps solides

Tige
((Δ) passe par son extrémité)
Tige avec axe Delta passant par son extrémité, longueur l
\(J_\Delta = \dfrac{1}{3}m\,l^2\)
Tige
((Δ) passe par son centre)
Tige avec axe Delta passant par son centre, longueur l
\(J_\Delta = \dfrac{1}{12}m\,l^2\)
Sphère pleine
Sphère pleine avec axe Delta et rayon r
\(J_\Delta = \dfrac{2}{5}m\,r^2\)
Disque ou cylindre plein
Disque ou cylindre plein avec axe Delta et rayon r
\(J_\Delta = \dfrac{1}{2}m\,r^2\)
Anneau ou cylindre creux
Anneau ou cylindre creux avec axe Delta et rayon r
\(J_\Delta = m\,r^2\)
Chapitre 14 : Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe 2BACSPF

📚 D'autres cours : A14 : Mouvement de rotation 2+4h

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