Examen rattrapage 2024 PC

⚡ Pile Fer-Zinc & 🧪 Dosage d’une base organique

Exercice intégral corrigé – Électrochimie, thermodynamique, réactions acido-basiques, calculs de pH et avancement

🔋 Partie 1 : Pile électrochimique | 🧴 Partie 2 : Étude d’une base (R-NH₂)

🔋 Partie 1 – Étude de la pile fer – zinc

1. L’électrode positive de la pile est celle de Fe (fer), car \( I > 0 \) et elle est reliée à la borne A de l’ampèremètre. ✅

2. Réactions aux électrodes :

Anode (oxydation) : \( \text{Zn(s)} \rightarrow \text{Zn}^{2+}_{(aq)} + 2e^- \)
Cathode (réduction) : \( \text{Fe}^{2+}_{(aq)} + 2e^- \rightarrow \text{Fe(s)} \)

Équation bilan : \[ \text{Zn(s)} + \text{Fe}^{2+}_{(aq)} \rightarrow \text{Zn}^{2+}_{(aq)} + \text{Fe(s)} \]

3. Démonstration de la variation de masse du fer :

D’après la demi‑équation cathodique : \( \text{Fe}^{2+}_{(aq)} + 2e^- \rightarrow \text{Fe(s)} \)
La quantité de fer déposé : \( \Delta n = \frac{I \cdot \Delta t}{2F} \)
D’où \( \Delta m(\text{Fe}) = \Delta n \cdot M(\text{Fe}) = \dfrac{I \cdot \Delta t \cdot M(\text{Fe})}{2F} \)

Application numérique : \( I = 500\,\text{mA} = 0,500\,\text{A} \), \( \Delta t = 10\,\text{min} = 600\,\text{s} \), \( M(\text{Fe}) = 56\,\text{g/mol} \), \( F = 96500\,\text{C/mol} \)

\[ \Delta m(\text{Fe}) = \frac{0,500 \times 600 \times 56}{2 \times 96500} \approx 0,0870\,\text{g} = 87\,\text{mg} \]

💡 La masse de fer déposée à la cathode est proportionnelle à l’intensité et au temps (lois de Faraday).

🧪 Partie 2 – Étude d’une solution aqueuse d’une base \( R-NH_2 \)

1. Équation de la réaction avec l’eau :

\[ R-NH_2(aq) + H_2O(l) \rightleftharpoons R-NH_3^+(aq) + HO^-(aq) \]

1-2-1 Détermination du \( pK_A \) :

À l’intersection des courbes de distribution \( \alpha(A) = \alpha(B) \), on a : \[ [R-NH_2] = [R-NH_3^+] \]
La relation de Henderson‑Hasselbalch : \( pH = pK_A + \log\frac{[R-NH_2]}{[R-NH_3^+]} \)
Ainsi, quand les concentrations sont égales : \( pH = pK_A \) → d’après le graphique, \( pK_A = 10,8 \).

1-2-2 Espèce prédominante : \( pH = 11,88 \) et \( pK_A = 10,8 \) → \( pH > pK_A \) → la forme basique \( R-NH_2 \) prédomine. ✅

1-2-3 Valeur du pH pour \( [R-NH_3^+] = 4 \cdot [R-NH_2] \) :

\[ pH = pK_A + \log\left( \frac{[R-NH_2]}{[R-NH_3^+]} \right) = pK_A + \log\left( \frac{1}{4} \right) \] \[ pH = 10,8 + \log(0,25) = 10,8 – 0,602 = 10,2 \]

2-1 Équation du dosage par un acide fort :

\[ R-NH_2(aq) + H_3O^+(aq) \rightarrow R-NH_3^+(aq) + H_2O(l) \]

2-2 Volume équivalent \( V_{AE} \) : \( C_B = 9,0 \times 10^{-2}\,\text{mol/L} \), \( V_B = 10\,\text{mL} \), \( C_A = 4,5 \times 10^{-2}\,\text{mol/L} \)

À l’équivalence : \( C_B \cdot V_B = C_A \cdot V_{AE} \) → \[ V_{AE} = \frac{C_B \cdot V_B}{C_A} = \frac{9,0 \times 10^{-2} \times 10}{4,5 \times 10^{-2}} = 20\,\text{mL} \]

2-3 Expression de l’avancement final \( x_f \) : À un instant donné, \( n_f(H_3O^+) = C_A V_A – x_f \) et \( [H_3O^+] = 10^{-pH} \)

\[ n_f(H_3O^+) = 10^{-pH} \cdot (V_A+V_B) \quad\Rightarrow\quad x_f = C_A V_A – 10^{-pH}(V_A+V_B) \] Application pour \( V_A = 16\,\text{mL} \) : \( pH = pK = 10,8 \) car solution tampon ? Non dans l’énoncé on donne directement \( pK = 10,8 \) → donc \( [H_3O^+] = 10^{-10,8} \)
\[ x_f = 4,5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-3} – 10^{-10,8} \times (26\times 10^{-3}) \approx 7,2 \times 10^{-4} \,\text{mol} \]

2-4 Taux d’avancement final \( \tau \) : Pour \( V_A = 16\,\text{mL} < V_{AE} \), le réactif limitant est \( H_3O^+ \), \( x_{max} = C_A V_A \).

\[ \tau = \frac{x_f}{x_{max}} = \frac{7,2 \times 10^{-4}}{4,5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-3}} = 1 \] ✅ La réaction de dosage est totale (transformation quantitative).

🔬 Simulateur – Dépôt de fer à la cathode (loi de Faraday)

Ajustez l’intensité et le temps pour visualiser la masse de fer déposée selon \( \Delta m = \frac{I \cdot \Delta t \cdot M(Fe)}{2F} \).

⚡ Intensité I (mA) : 500 mA

⏱️ Temps (min) : 10 min

Masse de fer déposée : 0.087 g ( 87 mg )

📌 Calcul : \( \Delta m = \frac{I(A) \cdot t(s) \cdot 56}{2 \times 96500} \) , avec t en secondes.

📝 Mini‑exercice – Prévision de pH et diagramme de prédominance

La base \( R-NH_2 \) a un \( pK_A = 10,8 \) (couple \( R-NH_3^+/R-NH_2 \)). À pH = 9,5, quelle est l’espèce prédominante ?

Physique : Ondes mécaniques & Noyaux radioactifs | Exercices corrigés

📡 Ondes mécaniques & ☢️ Physique nucléaire

Exercices corrigés – Propagation, retard temporel, désintégration radioactive, énergie et demi-vie

🧪 2BAC – Sciences Physiques | Sujets types

🌊 Exercice 2 : Les ondes mécaniques (2,5 points)

1. Une onde mécanique longitudinale : provoque une perturbation dans une direction parallèle à celle de la propagation de l’onde. ✅

2. Répondre par vrai ou faux :

a. FAUX b. FAUX c. VRAI d. FAUX

3. Retard temporel \( \tau \) :

On a : \( \tau = S_H \cdot x = 0,5 \cdot 10^{-3} \times 4 \)
\[ \tau = 2 \cdot 10^{-3} \, \text{s} \]

4. Détermination de la longueur \( l \) :

À partir de la relation : \( v = \frac{d – 2l}{\tau} \)
On obtient : \( l = \frac{d – v \cdot \tau}{2} \)
\[ l = 1,085 \, \text{m} \]

💡 Rappel : Dans une onde progressive, le retard \( \tau \) est lié à la distance parcourue et à la célérité. La formule \( v = \dfrac{d-2l}{\tau} \) est typique des dispositifs à échos ou réflexion.

☢️ Exercice 3 : Physique nucléaire – Radioactivité (2 points)

1. Désintégration \(\beta^-\)

1-1 Type de désintégration : \( \beta^- \) (émission d’un électron et d’un antineutrino).

1-2 Le nucléide \(^A_Z X\) : Le plomb \(^{208}_{82}\text{Pb}\).

2. Désintégration α du Bismuth

2-1 Équation de désintégration :

\[ \frac{212}{83}\text{Bi} \;\rightarrow\; \frac{208}{81}\text{Tl} + \frac{4}{2}\text{He} \]

2-2 Énergie libérée par cette désintégration :

On a : \( E_{\text{libérée}} = |\Delta E| = \big[ m(\text{Tl}) + m(\text{He}) – m(\text{Bi}) \big] \cdot c^2 \)
Application numérique : \[ E_{\text{libérée}} = 6,21 \, \text{MeV} \]

2-3 Démonstration de la demi-vie \( t_{1/2} \) :

Soit \( N_1(\text{Tl}) \) le nombre de noyaux de thallium formés à la date \( t_1 \).
On a : \( N_1(\text{Tl}) = N_0(\text{Bi}) – N_1(\text{Bi}) \) avec \( N_1(\text{Bi}) = N_0(\text{Bi}) \cdot e^{-\lambda t_1} \).
\[ N_1(\text{Tl}) = N_0(\text{Bi}) – N_0(\text{Bi}) e^{-\lambda t_1} \] \[ \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 1 – \frac{N_1(\text{Tl})}{N_0(\text{Bi})} = \frac{N_0(\text{Bi}) – N_1(\text{Tl})}{N_0(\text{Bi})} \] En posant \( N_1 = N_1(\text{Tl}) \) et \( N_0 = N_0(\text{Bi}) \), on obtient : \[ \lambda t_1 = \ln\left( \frac{N_0}{N_0 – N_1} \right) \] Or \( t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} \), d’où : \[ t_{1/2} = \frac{t_1 \cdot \ln 2}{\ln\left( \frac{N_0}{N_0 – N_1} \right)} \] Application numérique : \( t_{1/2} = 60,5 \, \text{min} \).

📌 La désintégration α transforme un noyau en un autre avec émission d’un noyau d’hélium. L’énergie libérée provient du défaut de masse.

⚛️ Simulateur interactif – Loi de décroissance radioactive

Visualisez la décroissance du Bismuth-212 (²¹²Bi) avec une demi-vie \( t_{1/2} = 60,5 \, \text{min} \).

⏱️ Temps écoulé (min) :

t = 0 min

Proportion restante \( N/N_0 \) :

1.00

💡 La loi \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \) avec \( \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \). Le simulateur calcule la fraction restante à chaque instant.

✏️ Exercice suplimentaire: Application directe

Énoncé : Un échantillon contient initialement \( N_0 = 8,0 \times 10^{15} \) noyaux de Bismuth-212 (²¹²Bi). Après 121 minutes, combien de noyaux de Thallium-208 se sont-ils formés ? (On rappelle la demi-vie \( t_{1/2} = 60,5 \, \text{min} \))

⚡ Régimes transitoires : Circuit RC & RLC

Équations différentielles, constante de temps, énergie électromagnétique — Exercice complet corrigé

📉 Décharge d’un condensateur | 🔁 Circuit RLC série libre

🔌 1 – Étude du circuit RC (décharge)

1-1 Équation différentielle vérifiée par \( U_R(t) \) :

Loi des mailles : \( u_C + u_R = E \) (à t=0⁻, condensateur chargé). Pendant la décharge \( E=0 \) → \( u_C + u_R = 0 \)
\( i = \frac{u_R}{R} = C \frac{du_C}{dt} \) ⇒ \( \frac{du_C}{dt} = \frac{u_R}{RC} \)
En dérivant \( u_C = -u_R \) : \( \frac{du_R}{dt} + \frac{1}{RC} u_R = 0 \) ✅

1-2-1 Valeur de \( E \) : à \( t=0 \), la tension aux bornes du condensateur est \( u_C(0)=E \) et \( u_R(0)=E \). Graphique → \( u_R(0)=5\,V \) ⇒ \( E = 5\,\text{V} \).

1-2-2 Détermination de la capacité \( C \) :

Constante de temps \( \tau = RC \). Graphiquement, \( \tau = 5\,\mu\text{s} \) (tangente à l’origine).
\( R = 50\,\Omega \) ⇒ \( C = \frac{\tau}{R} = \frac{5\times10^{-6}}{50} = 0,1\times10^{-6}\,\text{F} = 0,1\,\mu\text{F} \)

💡 La constante de temps \( \tau \) correspond à l’abscisse de l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote.

🌀 2 – Circuit RLC série réel (résistance interne \( r \))

2-1-1 Valeur de \( u_L(t_0) \) :

Loi des mailles : \( u_C + u_R + u_L = 0 \) ⇒ \( u_L = -(u_C+u_R) \).
À \( t_0 \) : \( u_R(t_0)=0\,\text{V} \), \( u_C(t_0)=5\,\text{V} \) (état initial) ⇒ \( u_L(t_0) = -5\,\text{V} \).

2-1-2 Équation différentielle en \( u_C \) :

Avec \( u_R = R\,i = RC\frac{du_C}{dt} \); \( u_L = r\,i + L\frac{di}{dt} = rC\frac{du_C}{dt} + LC\frac{d^2u_C}{dt^2} \)
\( u_C + (R+r)C\frac{du_C}{dt} + LC\frac{d^2u_C}{dt^2} = 0 \) ⇒ \[ \frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R+r}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0 \]

2-2 Expression de l’énergie totale \( E_t \) en fonction de \( u_C, u_R, C, L, R \) :

\( E_t = \frac12 C u_C^2 + \frac12 L i^2 \) avec \( i = \frac{u_R}{R} \) ⇒ \[ E_t = \frac12 C u_C^2 + \frac12 \frac{L}{R^2} u_R^2 \]

2-3 Énergie dissipée par effet Joule entre \( t_0 \) et \( t_1 \) : \( E_j = |\Delta E| \approx 1,1\,\mu\text{J} \)

\( E_j = |E_t(t_1)-E_t(t_0)| \). Graphiquement : \( u_R(t_1)=4,5\,\text{mV} \), \( u_C(t_1)=-1,4\,\text{V} \), \( u_R(t_0)=0 \), \( u_C(t_0)=5\,\text{V} \).
\( C=0,1\,\mu\text{F} \), \( L \) inconnue mais cohérente avec les données ; le calcul mène à \( E_j \approx 1,1\,\mu\text{J} \). ✅

📉 La décroissance de l’énergie totale correspond à la dissipation Joule dans \( R+r \). Le régime est pseudopériodique.

📊 Simulateur – Décharge RC (visualisation)

Paramètres : \( R = 50\,\Omega \), \( C = 0,1\,\mu\text{F} \) → \( \tau = 5\,\mu\text{s} \).
Tension \( u_R(t) = E \cdot e^{-t/RC} \) avec \( E = 5\,\text{V} \).

⏱️ Temps \( t \) (µs) : 0.0 µs

\( u_R(t) = \) 5.00 V | \( u_C(t) = \) 0.00 V

📈 \( u_R(t) = E e^{-t/RC} \) ; \( u_C(t) = E(1-e^{-t/RC}) \) pendant la charge. Ici on simule la décharge (\( u_R \) initial = E puis décroît).

✏️ Vérification rapide – Constante de temps

Si \( R = 100\,\Omega \) et \( C = 0,22\,\mu\text{F} \), quelle est la constante de temps \( \tau \) ?

💡 Pour un circuit RC, \( \tau = R C \). Pour la décharge, \( u_R(t) = E e^{-t/\tau} \).

🔄 Énergie totale dans le circuit RLC

Calculez l’énergie totale initiale et finale selon les données du graphique (circuit oscillant).
Valeurs : \( C = 0,1\,\mu\text{F} \), \( L = 8,2\,\text{mH} \), \( R = 50\,\Omega \).

État 0 (t₀) : \( u_C=5\,\text{V} \), \( u_R=0 \) État 1 (t₁) : \( u_C=-1,4\,\text{V} \), \( u_R=4,5\,\text{mV} \)

Cliquez pour calculer \( |\Delta E| \).

📉 \( E_j \) correspond à l’énergie dissipée par effet Joule entre \( t_0 \) et \( t_1 \).

⚙️ Mécanique : Plan incliné & Chute parabolique

Lois de Newton, MRUV, équations horaires, trajectoire – Exercice complet (5 points)

📐 Mouvement rectiligne avec frottement | 🪁 Chute libre avec vitesse initiale

📉 1 – Mouvement sur plan incliné (solide soumis à frottement)

1-1 Expression de l’accélération \(a_{x1}\) :

Deuxième loi de Newton : \(\sum \vec{F} = m \vec{a}_G\). Projection sur l’axe parallèle au plan :
\( m g \sin\alpha – f = m a_{x1} \) ⇒ \[ a_{x1} = g \sin\alpha – \frac{f}{m} \]

1-2-1 Détermination graphique de \(a_{x1}\) :

À partir du graphe \(v_x(t)\) : pente \( a_{x1} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{0,42 – 0,1}{0,5 – 0} = 0,64 \, \text{m/s}^2 \)

1-2-2 Intensité de la force de frottement \(f\) :

\( f = m \left( g \sin\alpha – a_{x1} \right) \) → \( f = 0,28 \, \text{N} \)

1-3 Vitesse \(V_B\) au point B :

Mouvement uniformément accéléré : \( v_B = a_{x1} \cdot t_{AB} + v_0 \) avec \(v_0 = 0,1 \, \text{m/s}\)
\( V_B \approx 0,8 \, \text{m/s} \)

💡 La force de frottement s’oppose au mouvement ; l’accélération est constante → MRUV.

🪁 2 – Mouvement de chute parabolique (projectile)

2-1 Équations horaires paramétriques :

À partir du point B, avec vitesse initiale \( \vec{V}_0 \) faisant un angle \(\alpha\), et \( \vec{a} = \vec{g} \):
\[ \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = g \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v_x(t) = V_0 \cos\alpha \\ v_y(t) = g t + V_0 \sin\alpha \end{cases} \] \[ \begin{cases} x(t) = (V_0 \cos\alpha)\, t \\ y(t) = \frac12 g t^2 + (V_0 \sin\alpha)\, t \end{cases} \]

2-2 Équation de la trajectoire \(y(x)\) :

\( t = \frac{x}{V_0 \cos\alpha} \) avec \( V_0 \cos\alpha = 0,752 \, \text{m/s} \).
\[ y(x) = \frac12 g \left( \frac{x}{0,752} \right)^2 + (V_0 \sin\alpha) \frac{x}{0,752} \] Application numérique : \( y(x) = 8,85\,x^2 + 0,36\,x \) (avec \(x\) en mètres)

2-3-1 Passage par le point \(N(0,2 ; 0,426)\) :

\( y(0,2) = 8,85\times(0,04) + 0,36\times0,2 = 0,354 + 0,072 = 0,426 \, \text{m} \) ⇒ \(N\) appartient à la trajectoire ✅

2-3-2 Vitesse au point \(N\) :

\( V_{xN} = 0,75 \, \text{m/s} \) ; \( t_N = \frac{x_N}{0,752} = 0,266 \, \text{s} \)
\( V_{yN} = g t_N + V_0\sin\alpha = 10\times0,266 + 0,27 = 2,93 \, \text{m/s} \)
\[ V_N = \sqrt{0,75^2 + 2,93^2} \approx 3,03 \, \text{m/s} \]

📌 La trajectoire parabolique est la composition d’un mouvement horizontal uniforme et d’un mouvement vertical uniformément accéléré.

📊 Simulateur – Mouvement sur plan incliné (MRUV)

Ajustez le temps pour visualiser la vitesse selon \( v(t) = a\cdot t + v_0 \) avec \(a = 0,64\,\text{m/s}^2\), \(v_0 = 0,1\,\text{m/s}\).

⏱️ Temps \(t\) (s) : 0.00 s

Vitesse instantanée : 0.10 m/s

📈 \( v(t) = 0,64\cdot t + 0,10 \) (m/s). La pente correspond à l’accélération.

🎯 Visualisation de la trajectoire parabolique \( y(x) = 8,85x^2 + 0,36x \)

Le point \(N(0,2 ; 0,426)\) est bien sur la courbe (cercle rouge).

💡 La trajectoire est une parabole : \( y(x) = 8,85 x^2 + 0,36 x \) (x en m, y en m).

✏️ Vérification – Point d’impact

Si le projectile retombe à la même altitude que le point de lancement (\(y=0\)), quelle est la portée \(x\) ? (Utiliser \(y(x)=0\))

📚 D'autres cours : Examen PC 2023-2024

Examen normal 2024 correction