Leçon N°6 :
Équilibre d’un corps solide sous l’action de trois forces non parallèles

Situation problème

Le schéma ci-contre représente un alpiniste qui est en équilibre sous l’action de 3 forces non parallèles : son poids P⃗, la réaction R⃗, et la tension de la corde T⃗.

Quelles sont les conditions d’équilibre d’un corps solide soumis à 3 forces non parallèles ?

Comment utiliser ces conditions pour déterminer les intensités de quelques forces, et aussi les valeurs d’autres grandeurs ?

I.Conditions d’équilibre d’un corps solide sous l’action de trois forces non parallèles

1. Activité

On réalise l’équilibre d’une plaque très légère avec trois dynamomètres, comme l’indique le schéma ci-contre.

Faire l’inventaire des forces appliquées sur la plaque, puis déterminer la force qu’on peut négliger : son intensité est négligeable devant l’intensité des autres.
Tracer les lignes d’action des forces appliquées sur la plaque. Que constatez-vous sur ces lignes d’action ?
Copier le schéma ci-contre sur votre cahier, et tracer les forces appliquées sur la plaque en choisissant une échelle appropriée.
Tracer la ligne polygonale des forces appliquées sur la plaque. Que peut-on dire sur la somme vectorielle des forces appliquées sur la plaque ?
Conclure les conditions d’équilibre nécessaires d’un corps solide soumis à trois forces non parallèles.

2. Conclusion

Lorsqu’un corps solide est en équilibre sous l’action de trois forces non parallèles, alors :

La ligne polygonale de ces trois forces est fermée, c-à-d sa somme vectorielle est nulle : ΣF⃗ = 0⃗

Les lignes d’action de ces trois forces sont coplanaires et concourantes.

II.Applications

1. Rappel : la réaction R⃗

Contact sans frottement	Contact avec frottement
La réaction R⃗ est perpendiculaire au plan de contact.	La réaction R⃗ est inclinée dans le sens contraire du mouvement. Dans ce cas, on peut décomposer la force R⃗ en deux composantes : – R⃗_N : composante normale – R⃗_T = f⃗ : composante tangentielle, appelée encore force de frottement tel que : R⃗ = R⃗_N + f⃗ On appelle coefficient de frottement : k = tan φ = fR_N avec φ : angle de frottement

2. Application 1 : équilibre d’un corps solide sur un plan incliné sans frottement

On considère un corps (S) de masse m = 400 g maintenu en équilibre sans frottement sur un plan incliné d’un angle α = 30° grâce à un fil fixé à un support.

Faire l’inventaire des forces appliquées sur le corps (S).
Déterminer en utilisant la méthode géométrique et la méthode analytique, l’intensité de la tension du fil T et de la réaction R.

3. Application 2 : équilibre d’un corps solide sur un plan avec frottement

Sur un plan horizontal, on exerce sur un corps (S) de masse m = 400 g une force par un dynamomètre de sorte que ce corps reste en équilibre. Le dynamomètre indique la valeur T = 2 N.

Faire l’inventaire des forces appliquées sur le corps (S).
Tracer la ligne polygonale de ces forces, et déduire géométriquement l’angle de frottement φ.
Déterminer en utilisant la méthode analytique, l’intensité de la composante normale R_N et de la force de frottement f.
Déduire le coefficient de frottement k, et retrouver l’angle de frottement φ.

Exercice d’application 1

Une boule de fer de masse m = 400 g est attachée à un fil incliné d’un angle α = 45° par rapport à la verticale. La boule est soumise à l’action d’un aimant comme l’indique le schéma ci-contre.

Faire l’inventaire des forces appliquées sur la boule, et les représenter sur le schéma.
Énoncer les deux conditions d’équilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles.
Calculer le poids P de la boule. On prend g = 10 N·kg⁻¹.
Déterminer en utilisant la méthode géométrique et la méthode analytique, l’intensité de la tension du fil T et de la force appliquée par l’aimant F.

Exercice d’application 2

Un solide (S) de masse m = 350 g est maintenu à l’équilibre sur un plan incliné d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale par l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k = 20 N·m⁻¹. On considère que le contact entre le corps (S) et le plan incliné se fait avec frottement, et qu’à l’équilibre l’allongement du ressort est Δl = 5 cm.

Faire l’inventaire des forces appliquées sur le corps (S), et les représenter.
Calculer le poids P de la boule et la tension du ressort T. On prend g = 10 N·kg⁻¹.
Déterminer en utilisant la méthode analytique, l’intensité de la composante normale R_N et de la force de frottement f.
Déduire le coefficient de frottement k, et trouver l’angle de frottement φ.

Leçon N°6 : Équilibre d’un corps solide sous l’action de trois forces non parallèles