Les ondes mécaniques progressives périodiques
Les ondes mécaniques progressives périodiques
Définition, exemples sonores, période, fréquence et onde sinusoïdale.
1.1 Définition – Activité expérimentale
Activité 1 : Visualisation du son
Le son est une onde mécanique longitudinale qui se propage par compression-dilatation du milieu matériel (air, eau, solide). À l’aide d’un microphone relié à un oscilloscope, on visualise le signal émis par un instrument de musique puis par un diapason.
🔍 Exploitation des observations
Oui, les deux signaux (instrument et diapason) sont périodiques car ils se répètent de manière identique à intervalles de temps constants. Les ondes sonores sont donc des ondes mécaniques progressives périodiques.
L’onde émise par l’instrument de musique est une onde mécanique progressive périodique non sinusoïdale (forme complexe mais répétitive).
L’onde émise par le diapason est une onde mécanique progressive sinusoïdale : la variation de la perturbation en fonction du temps suit une fonction sinusoïdale pure.
📏 Détermination de la période et de la fréquence (diapason)
Sur l’oscillogramme du diapason, la sensibilité horizontale (base de temps) est réglée à :
\(S_h = 0,5\ \text{ms/div}\) (milliseconde par division).
On mesure 4 divisions pour une période complète \(T\).
La fréquence \(N\) (ou \(f\)) est l’inverse de la période :
Mesure de la période sur l’oscillogramme : nombre de divisions × sensibilité horizontale.
📖 Proposition de définition
Une onde mécanique progressive est dite périodique si la perturbation qui la caractérise se répète identique à intervalles de temps égaux. La plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se reproduit identique à lui-même est appelée période temporelle \(T\) (exprimée en secondes).
Une onde périodique peut être sinusoïdale (cas particulier où la forme d’onde suit un sinus ou cosinus) ou non sinusoïdale (signal complexe mais périodique).
📐 Grandeurs caractéristiques
Pour une onde mécanique progressive périodique, on définit :
- Période temporelle \(T\) (s) : durée d’un motif élémentaire.
- Fréquence \(f\) ou \(N\) (Hz) : nombre de motifs par seconde, \(f = \dfrac{1}{T}\).
- Longueur d’onde \(\lambda\) (m) : distance parcourue par l’onde pendant une période \(T\) : \(\lambda = V \times T = \dfrac{V}{f}\).
Pour une onde sinusoïdale, l’élongation d’un point peut s’écrire : \(y(t) = A \cos\left(2\pi f t + \varphi\right)\) (ou \( \sin \)).
🔊 Application : onde sonore périodique
Un diapason émet un son de fréquence \(f = 440\ \text{Hz}\) (La standard). La célérité du son dans l’air à 20 °C est \(V = 340\ \text{m·s}^{-1}\).
- Période : \(T = \dfrac{1}{440} \approx 2,27\ \text{ms}\).
- Longueur d’onde : \(\lambda = V \times T = 340 \times 2,27\times 10^{-3} \approx 0,77\ \text{m}\).
📊 Synthèse – Onde mécanique progressive périodique
| Propriété | Expression / Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Période \(T\) | \(T = \dfrac{1}{f}\) | s (seconde) |
| Fréquence \(f\) | \(f = \dfrac{1}{T}\) | Hz (hertz) |
| Célérité \(V\) | \(V = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f\) | m·s⁻¹ |
| Longueur d’onde \(\lambda\) | \(\lambda = V \cdot T\) | m |
| Nature sinusoïdale | Perturbation : \(y(t) = A \sin(2\pi f t + \varphi)\) | — |
🧠 Testez vos connaissances
- Une onde sonore périodique a une période \(T = 2\ \text{ms}\). Quelle est sa fréquence ? ➜ \(f = 500\ \text{Hz}\).
- Quelle est la différence entre une onde périodique quelconque et une onde sinusoïdale ? ➜ L’onde sinusoïdale a une forme mathématique pure (sinus), l’onde périodique peut avoir une forme complexe mais répétitive.
- Un oscilloscope réglé sur \(1\ \text{ms/div}\) affiche 5 divisions pour une période. Calculer \(T\) et \(f\). ➜ \(T = 5\ \text{ms} = 0,005\ \text{s}\) ; \(f = 200\ \text{Hz}\).
- La célérité des ondes sur une corde est \(20\ \text{m/s}\) et la fréquence d’excitation est \(50\ \text{Hz}\). Quelle longueur d’onde ? ➜ \(\lambda = V/f = 20/50 = 0,4\ \text{m}\).
🎯 Ce qu’il faut retenir :
- ✔ Une onde mécanique progressive est périodique si son motif se répète identique au cours du temps (période \(T\)).
- ✔ Un cas particulier : l’onde sinusoïdale (diapason, onde pure).
- ✔ \(f = 1/T\) : fréquence en Hz, période en secondes.
- ✔ À l’oscilloscope, \(T = \text{nb de divisions} \times \text{base de temps}\).
- ✔ Les ondes sonores sont des ondes mécaniques périodiques longitudinales.
❶❷ Double périodicité temporelle et spatiale الدورية الزمانية و الدورية المكانية
L’onde mécanique progressive périodique se caractérise par :
| Périodicité temporelle الدورية الزمانية (la période | Périodicité spatiale (la longueur d’onde |
| La période est la petite durée au bout de laquelle la perturbation se reproduit identique à elle-même. | C’est la petite distance séparant deux points successifs ayant le même état de vibration. (ou : c’est la distance parcourue par l’onde pendant une période T) |
Exercice d’application : période, fréquence, longueur d’onde
Mesures sur oscillogramme et sur une corde — exploitation des figures.
Unités : \(T\) en secondes (s), \(N\) en hertz (Hz).
📊 Exercice d’application 1 – Figure 1
Figure 1 : Visualisation à l’oscilloscope.
Base de temps : \(2\ \text{ms/div}\).
Figure 2 : Onde progressive sur une corde.
Distance \(AB = 12\ \text{cm}\).
🔹 1️⃣ Déterminer à partir de la figure 1 : la période \(T\) et la fréquence \(N\).
Analyse de l’oscillogramme :
- Sensibilité horizontale (base de temps) : \(2\ \text{ms/div}\).
- On mesure 4 divisions pour une période complète (entre deux motifs identiques successifs).
\[ N = \frac{1}{T} = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = 125\ \text{Hz} \]
📌 Rappel : La période représente la durée minimale après laquelle le signal se répète identiquement.
🔹 2️⃣ Déterminer à partir de la figure 2 : la longueur d’onde \(\lambda\). (Donnée : \(AB = 12\ \text{cm}\))
Interprétation de la figure 2 :
La figure représente une onde progressive sinusoïdale à un instant donné. La distance \(AB\) correspond à 3 motifs élémentaires, c’est-à-dire 3 longueurs d’onde.
📌 La longueur d’onde \(\lambda\) est la distance parcourue par l’onde pendant une période \(T\).
✨ Question bonus (extension) : Calculer la célérité \(V\) de l’onde sur la corde (figure 2).
On connaît la fréquence \(N = 125\ \text{Hz}\) (d’après la figure 1, le signal est cohérent avec la même source) et \(\lambda = 0,04\ \text{m}\).
Si l’on utilise la relation : célérité = longueur d’onde × fréquence.
📚 Formulaires essentiels – Ondes mécaniques périodiques
| Grandeur | Notation | Formule / relation | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Période temporelle | \(T\) | \(T = \dfrac{1}{f}\) | s (seconde) |
| Fréquence | \(f\) ou \(N\) | \(f = \dfrac{1}{T}\) | Hz (hertz) |
| Longueur d’onde | \(\lambda\) | \(\lambda = V \times T = \dfrac{V}{f}\) | m (mètre) |
| Célérité (vitesse de propagation) | \(V\) | \(V = \lambda \cdot f\) | m·s⁻¹ |
| Mesure oscilloscope (période) | \(T\) | \(T = \text{nb divisions} \times \text{base de temps}\) | s |
🏋️ Exercice d’entraînement supplémentaire
Énoncé : Sur un oscilloscope réglé sur \(0,5\ \text{ms/div}\), on visualise un signal périodique dont 3 périodes occupent 6 divisions. Calculer \(T\) et \(f\).
👉 3 périodes → 6 divisions ⇒ 1 période = \(6/3 = 2\) divisions.
\[ T = 2 \times 0,5 = 1\ \text{ms} = 1 \times 10^{-3}\ \text{s} \] \[ f = \frac{1}{1 \times 10^{-3}} = 1000\ \text{Hz} = 1\ \text{kHz} \]⚠️ Erreurs fréquentes à éviter :
- Confondre période (durée) et longueur d’onde (distance).
- Oublier de convertir les millisecondes en secondes avant de calculer la fréquence.
- Mal interpréter la distance \(AB\) : bien compter le nombre de longueurs d’onde sur la figure (ex : \(AB = k \lambda\)).
- Inverser \(f\) et \(T\) dans la relation \(V = \lambda f\).
🎯 Synthèse de l’exercice corrigé :
- ✔ Figure 1 : \(T = 4\ \text{div} \times 2\ \text{ms/div} = 8\ \text{ms}\) → \(N = \dfrac{1}{8\times10^{-3}} = 125\ \text{Hz}\).
- ✔ Figure 2 : \(AB = 3\lambda\) → \(\lambda = \dfrac{12\ \text{cm}}{3} = 4\ \text{cm} = 0,04\ \text{m}\).
- ✔ Célérité : \(V = \lambda \cdot N = 0,04 \times 125 = 5\ \text{m/s}\).
- ✔ Relation fondamentale : \(N = \dfrac{1}{T}\) et \(\lambda = \dfrac{V}{N}\).
L’onde mécanique progressive sinusoïdale
Définition, équation, amplitude, période, célérité et longueur d’onde.
2.1 Définition
Une onde mécanique progressive périodique est dite sinusoïdale si l’évolution temporelle de la source peut être associée à une fonction sinusoïdale (sinus ou cosinus). Dans ce cas, l’élongation d’un point quelconque du milieu de propagation s’écrit :
- \(A\) : l’amplitude (maximale valeur de l’élongation) – unité : mètre (m) selon la nature de l’onde.
- \(T\) : la période temporelle (durée d’un cycle complet) – unité : seconde (s).
- \(\varphi\) : la phase à l’origine (constante déterminée par les conditions initiales) – unité : radian (rad).
- \(\frac{2\pi}{T}\) = \(\omega\) : pulsation (rad·s⁻¹).
Figure : représentation temporelle d’une onde sinusoïdale. L’amplitude \(A\) est la valeur maximale, la période \(T\) est l’intervalle entre deux pics successifs.
2.2 Célérité d’une onde mécanique sinusoïdale
Une onde mécanique progressive sinusoïdale parcourt la distance d’une longueur d’onde \(\lambda\) pendant une durée égale à la période \(T\). Par définition :
- \(V\) : célérité de l’onde (m·s⁻¹) – constante dans un milieu homogène.
- \(\lambda\) : longueur d’onde (m) – distance entre deux points consécutifs en phase.
- \(T\) : période temporelle (s).
- \(N\) (ou \(f\)) : fréquence (Hz).
🎵 Exemple : onde sonore sinusoïdale (diapason)
Un diapason émet un son pur de fréquence \(f = 440\ \text{Hz}\) (La de concert). La célérité du son dans l’air à 20 °C est \(V = 340\ \text{m·s}^{-1}\).
- Période : \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{440} \approx 2,27\ \text{ms}\).
- Longueur d’onde : \(\lambda = \dfrac{V}{f} = \dfrac{340}{440} \approx 0,773\ \text{m}\) (environ 77 cm).
L’équation temporelle au niveau de la source (\(x=0\)) peut s’écrire : \(y(t) = A \sin(2\pi \cdot 440 \cdot t + \varphi)\).
📊 Récapitulatif – Grandeurs d’une onde sinusoïdale
| Grandeur | Symbole | Définition / Relation | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Amplitude | \(A\) | Valeur maximale de l’élongation | m (selon onde) |
| Période | \(T\) | Durée d’un cycle complet | s |
| Fréquence | \(f\) ou \(N\) | \(f = 1/T\) | Hz |
| Pulsation | \(\omega\) | \(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\) | rad·s⁻¹ |
| Longueur d’onde | \(\lambda\) | Distance parcourue pendant \(T\) | m |
| Célérité | \(V\) | \(V = \lambda / T = \lambda f\) | m·s⁻¹ |
| Phase à l’origine | \(\varphi\) | Déphasage à \(t=0\) | rad |
🔁 Onde périodique non sinusoïdale vs sinusoïdale
Forme complexe mais répétitive (ex : instrument de musique).
Signal harmonique unique (diapason, onde monochromatique).
❓ Vérification des acquis
- Quelle est l’équation temporelle générale d’une onde sinusoïdale ?
➜ \(y(t) = A \sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t + \varphi\right)\). - Une onde a pour amplitude \(A = 0,02\ \text{m}\), \(T = 0,005\ \text{s}\). Calculer sa fréquence.
➜ \(f = 1/T = 200\ \text{Hz}\). - La célérité d’une onde sinusoïdale est \(V = 300\ \text{m/s}\) et \(f = 150\ \text{Hz}\). Quelle est \(\lambda\) ?
➜ \(\lambda = V/f = 300/150 = 2\ \text{m}\). - Que représente la phase à l’origine \(\varphi\) ?
➜ La valeur de la phase lorsque \(t = 0\) ; elle détermine la position initiale du point source.
🎯 Ce qu’il faut retenir :
- ✔ Une onde sinusoïdale est décrite par \(y(t) = A \sin(\omega t + \varphi)\) avec \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\).
- ✔ La célérité \(V\) est liée à la longueur d’onde et à la fréquence : \(V = \lambda \cdot f = \dfrac{\lambda}{T}\).
- ✔ Dans un milieu non dispersif, \(V\) est constante quelle que soit la fréquence.
- ✔ L’amplitude \(A\) caractérise l’intensité de la perturbation (énergie transportée \(\propto A^2\)).