Satellites et Planètes | Lois de Kepler – Mécanique
🛰️ Satellites artificiels et planètes
1. Référentiel héliocentrique – Référentiel géocentrique
- Référentiel héliocentrique : origine au centre du Soleil, axes dirigés vers trois étoiles fixes lointaines.
- Référentiel géocentrique : origine au centre de la Terre, axes dirigés vers des étoiles fixes.
• Ces deux référentiels sont considérés comme galiléens (les lois de Newton y sont applicables).
• L’étude du mouvement des planètes se fait dans le référentiel héliocentrique.
• L’étude du mouvement des satellites de la Terre se fait dans le référentiel géocentrique.
2. Les lois de Kepler
📐 2.1 1ʳᵉ loi de Kepler : Loi des orbites elliptiques
📏 2.2 2ᵉ loi de Kepler : Loi des aires
\( \mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 \) pour des intervalles de temps \( \Delta t \) identiques.
⏱️ 2.3 3ᵉ loi de Kepler : Loi des périodes
• \( T \) : période de révolution (en secondes).
• \( a \) : demi-grand axe de l’ellipse (en mètres).
• Pour les planètes du système solaire, la constante vaut \( \frac{4\pi^2}{G M_{\text{Soleil}}} \).
Exemple : pour la Terre, \( T = 365,25 \) jours, \( r \approx 150\times10^6 \,\text{km} \).
🛸 Application : Satellite en orbite circulaire (géocentrique)
Pour un satellite terrestre, la 3ᵉ loi de Kepler se généralise avec la masse de l’astre attracteur :
- \( G = 6,67\times10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \) (constante gravitationnelle)
- \( M_T \) : masse de la Terre
- \( r \) : rayon de l’orbite (distance du centre de la Terre au satellite)
📋 Tableau récapitulatif – Lois de Kepler
| Loi | Énoncé simplifié | Conséquence / Formule |
|---|---|---|
| 1ʳᵉ loi | Orbite elliptique, Soleil à un foyer | Trajectoire fermée, excentricité e |
| 2ᵉ loi | Loi des aires : aires égales, durées égales | Vitesse maximale au périhélie |
| 3ᵉ loi | \( T^2 / a^3 = \) constante | \( \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M_{\text{astre}}} \) |
🧠 Questions de révision
- Pourquoi utilise-t-on le référentiel héliocentrique pour l’étude des planètes ?
- Que se passe-t-il pour la vitesse d’une planète lorsqu’elle s’approche du Soleil ?
- Écrire la 3ᵉ loi de Kepler pour une planète en orbite circulaire.
- La constante de la 3ᵉ loi est-elle la même pour Mars et pour la Terre ? Justifier.
🔍 Éléments de réponse
2. Sa vitesse augmente (conservation du moment cinétique / loi des aires).
3. \( \frac{T^2}{r^3} = \text{constante} \) (pour toutes les planètes autour du Soleil).
4. Oui, la constante est la même pour toutes les planètes du système solaire car elle dépend uniquement de la masse du Soleil.
3 Loi de la gravitation universelle (Rappel)
Deux corps ponctuels A et B de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par la distance \(d = AB\), exercent l’un sur l’autre des forces d’interactions \(\vec{F}_{A/B}\) et \(\vec{F}_{B/A}\) ayant :
- Même droite d’action (AB)
- Deux sens opposés
- Même intensité : \[ F_{A/B} = F_{B/A} = G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \]
Les expressions des forces d’interactions sont donc :
\[ \vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A} = -G \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \cdot \vec{u}_{AB} \]
{
\(G = 6,67 \times 10^{-11}\) (SI) :
la constante de gravitation universelle
\(\vec{u}_{AB}\) : vecteur unitaire
}
4 Etude du mouvement d’une Planète autour du Soleil
On considère une planète de masse \(m_P\) et de centre d’inertie P en mouvement autour du Soleil de masse \(M_S\) et de centre S.
4.1 Nature du mouvement
On choisit le référentiel héliocentrique pour étudier le mouvement.
- Le système étudié : {La planète P}
- Bilan des forces : La force exercée par le Soleil
\[ \vec{F}_{S/P} = -G \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{u}_{SP} = G \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n} \]
Application de la deuxième loi de Newton :
\[ \sum \vec{F}_{ext} = m_P \cdot \vec{a}_P \quad \Rightarrow \quad \vec{F}_{S/P} = m_P \cdot \vec{a}_P \]
\[ G \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n} = m_P \cdot \vec{a}_P \]
D’où :
\[ \vec{a}_P = G \frac{M_S}{r^2} \cdot \vec{n} \qquad (*) \]
Dans le repère de Frenet, on a :
\[ \vec{a}_P = \frac{dV}{dt}\vec{u} + \frac{V^2}{r}\vec{n} \qquad (**) \]
D’après (*) et (**), on a :
- \[ \frac{V^2}{r} = G \frac{M_S}{r^2} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{G \cdot M_S}{V^2} = \text{Cte} \] donc le mouvement est circulaire.
- \[ \frac{dV}{dt} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad V = \text{Cte} \] donc le mouvement est uniforme.
Remarque :
Puisque
\[ \vec{F}_{S/P} = G \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \vec{n} \]
alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie de la planète, est centripète.
4.2 Vitesse de la planète
On a :
\[ r = \frac{G \cdot M_S}{V^2} \]
donc :
➡ Cette expression montre que la vitesse de la planète est indépendante de sa masse.
4.3 Période de révolution de la planète
Le mouvement du centre d’inertie de la planète est circulaire uniforme de période :
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{V} \]
Et puisque :
\[ V = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{r}} \]
alors :
Remarque :
\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G \cdot M_S} } \]
donc :
Cette relation représente la 3ème loi de Kepler.
5.1 Nature du mouvement
——————————
On choisit le référentiel géocentrique pour étudier le mouvement.
- Le système étudié : {Le satellite (S)}
- Bilan des forces : La force exercée par la terre
\[ \vec{F}_{T/S} = -G \frac{m_S \cdot M_T}{r^2} \cdot \vec{u}_{TS} = G \frac{m_S \cdot M_T}{r^2} \cdot \vec{n} \qquad \text{avec } r = R_T + h \]
Application de la deuxième loi de Newton :
\[ \sum \vec{F}_{ext} = m_S \cdot \vec{a}_S \quad \Rightarrow \quad \vec{F}_{T/S} = m_S \cdot \vec{a}_S \]
\[ G \frac{m_S \cdot M_T}{r^2} \cdot \vec{n} = m_S \cdot \vec{a}_S \]
D’où :
\[ \vec{a}_T = G \frac{M_T}{r^2} \cdot \vec{n} \qquad (**) \]
Dans le repère de Frenet, on a :
\[ \vec{a} = \frac{dV}{dt}\vec{u} + \frac{V^2}{r}\vec{n} \qquad (***) \]
D’après (**) et (***), on a :
- \[ \frac{V^2}{r} = G \frac{M_T}{r^2} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{G \cdot M_T}{V^2} = \text{Cte} \] donc le mouvement est circulaire.
- \[ \frac{dV}{dt} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad V = \text{Cte} \] donc le mouvement est uniforme.
Remarque :
Puisque
\[ \vec{F}_{T/S} = G \frac{m_S \cdot M_T}{r^2} \cdot \vec{n} \]
alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie du satellite, est centripète.
5.2 Vitesse du satellite
On a :
\[ r = R_T + h = \frac{G \cdot M_T}{V^2} \]
donc :
➡ Cette expression montre que la vitesse du satellite est indépendante de sa masse.
5.3 Période de révolution du satellite
Le mouvement du satellite est circulaire uniforme de période :
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi (R_T + h)}{V} \]
Et puisque :
\[ V = \sqrt{ \frac{G \cdot M_T}{R_T + h} } \]
alors :
5.4 Satellites géostationnaires
Un satellite est géostationnaire s’il reste immobile pour un observateur terrestre.
Pour qu’un satellite soit géostationnaire par rapport à la terre, il faut :
- Qu’ils décrivent un mouvement circulaire uniforme dans un plan contenant l’équateur.
- Qu’ils tournent dans le même sens que la terre.
- Que leur période de révolution soit égale à la période de rotation de la terre \[ (T \approx 24\ h) \]
On peut calculer la hauteur \(h\) à laquelle le satellite soit géostationnaire par rapport à la terre :
\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T} } \]
d’où :