Circuit LC idéal – Oscillations non amorties

Circuit LC idéal – Oscillations non amorties

2 Oscillations non amorties dans un circuit idéal LC

Association en série d’un condensateur de capacité \( C \) et d’une bobine d’inductance \( L \) et de résistance nulle.

20.1 Equation différentielle vérifiée par la tension \( u_c \)

D’après la loi d’additivité des tensions :

\[ u_c + u_L = 0 \]

Avec :

\[ u_c = L \frac{di}{dt} \quad \text{et} \quad i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_c}{dt} \]

Donc :

\[ L \frac{di}{dt} + u_c = 0 \iff LC \frac{d^2u_c}{dt^2} + u_c = 0 \]

L’équation différentielle vérifiée par la tension \( u_c \) dans un circuit LC idéal en régime libre s’écrit alors :

\[ \frac{d^2u_c}{dt^2} + \frac{1}{LC}u_c = 0 \]

Remarque

On a :

\[ u_L + u_c = 0 \]

Avec :

\[ u_L = L \frac{di}{dt}, \quad i = \frac{dq}{dt}, \quad u_c = \frac{q}{C} \]

Donc :

\[ L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0 \iff L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0 \]

Soit finalement :

\[ \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0 \]

C’est l’équation différentielle vérifiée par la charge \( q(t) \).

20.2 Solution de l’équation différentielle

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ u_c(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right) \]

Avec :
\( U_m, T_0 \) et \( \varphi \) étant des constantes à déterminer.

  • \( U_m \) : tension maximale aux bornes du condensateur, elle s’exprime en (V) ;
  • \( T_0 \) : est la période propre du circuit LC, elle s’exprime en seconde (s) ;
  • \( \varphi \) : la phase à l’origine, elle s’exprime en radian (rad).

(a) Expression de \( T_0 \)

En dérivant deux fois l’expression :

\[ u_c(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right) \]

Rappel mathématique :

\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{d}{dt}\left[\cos(a.t + b)\right] &= -a.\sin(a.t + b) \\ \frac{d}{dt}\left[\sin(a.t + b)\right] &= a.\cos(a.t + b) \end{aligned} \right. \]

On a donc :

\[ \frac{du_c}{dt} = -U_m\left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right) \]
\[ \iff \frac{d^2u_c}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot U_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right) \]

Par identification avec l’équation différentielle, on trouve :

\[ \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC} \]

Finalement :

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{LC} \]

Remarques :

Analyse dimensionnelle de la période propre \( T_0 \) :

On a :

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{LC} \iff [T_0] = \sqrt{[L][C]} \]

On a :

\[ u_c = L \frac{di}{dt} \iff [L] = \frac{[u_c][t]}{[i]} = \frac{U \cdot T}{I} \]

et

\[ i = C \frac{du_c}{dt} \iff [C] = \frac{[i][t]}{[u_c]} = \frac{I \cdot T}{U} \]

Donc :

\[ [T_0] = \sqrt{\frac{U \cdot T}{I} \cdot \frac{I \cdot T}{U}} = \sqrt{T^2} = T \]

D’où la période propre \( T_0 \) a une dimension d’un temps, elle s’exprime en seconde (s).

Dans le cas du régime pseudo-périodique, on considère que :

\[ T = T_0 = 2\pi \sqrt{LC} \]
Circuit LC idéal — Oscillations non amorties — Période propre \( T_0 = 2\pi \sqrt{LC} \)
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