Chute verticale d’un solide – Mécanique des fluides
⚛️ Chute verticale d’un solide
4ème partie : La mécanique — Niveau : 2BACSPF
Lorsqu’un solide tombe verticalement dans un fluide (liquide ou gaz), trois forces principales agissent sur lui :
- ✔️ Son poids \( \vec{P} \) (vers le bas)
- ✔️ La poussée d’Archimède \( \vec{F_A} \) (vers le haut)
- ✔️ La force de frottement fluide \( \vec{f} \) (opposée à la vitesse)
🧪 Schéma du système
⬇️ Poids (mg) ⬆️ Poussée d’Archimède + Frottement vers le haut si vitesse descendante
📌 Le mouvement dépend de la résultante de ces forces.
1.1 Le poids du corps
Dans le champ de pesanteur terrestre, tout corps est soumis à une force exercée par la Terre : le poids \( \vec{P} \).
\[ \vec{P} = m \cdot \vec{g} \]
- \( m \) : masse du corps en \( \text{kg} \)
- \( g \) : intensité de la pesanteur (\( \approx 9,81 \, \text{N·kg}^{-1} \) ou \( \text{m·s}^{-2} \))
- Direction : verticale, sens : vers le centre de la Terre.
💡 À retenir : Le poids est la force motrice dans une chute libre. Dans un fluide, il est partiellement compensé par Archimède.
1.2 La poussée d’Archimède
Tout corps immergé (totalement ou partiellement) dans un fluide subit une force verticale, dirigée vers le haut, appelée poussée d’Archimède.
📖 Caractéristiques :
• Direction : verticale
• Sens : du bas vers le haut
• Intensité : égale au poids du fluide déplacé.
• Direction : verticale
• Sens : du bas vers le haut
• Intensité : égale au poids du fluide déplacé.
\[ F_A = m_f \cdot g = \rho_f \cdot V \cdot g \]
\[ \vec{F_A} = -\rho_f \, V \, \vec{g} \]
- \( \rho_f \) : masse volumique du fluide (\( \text{kg·m}^{-3} \))
- \( V \) : volume du fluide déplacé (\( \text{m}^3 \)) (égal au volume immergé du corps)
- \( F_A \) en newtons (N)
⚓ Exemple concret : Une bouée dans l’eau subit une poussée d’Archimède qui la fait remonter. Pour une bille en acier, \( \rho_{\text{bille}} > \rho_{\text{eau}} \), le poids l’emporte.
1.3 La force de frottement fluide
Lorsqu’un solide se déplace dans un fluide, celui-ci oppose une résistance : la force de frottement fluide \( \vec{f} \).
Direction : celle du vecteur vitesse \( \vec{v} \)
Sens : opposé au mouvement
Sens : opposé au mouvement
Intensité : \( f = k \cdot v^n \)
\( k \) : constante positive (dépend du fluide et de la forme)
\( k \) : constante positive (dépend du fluide et de la forme)
\[ \vec{f} = -k \, v^n \, \frac{\vec{v}}{v} \]
📌 Cas particuliers selon la vitesse
- Faible vitesse (écoulement laminaire) → \( n = 1 \) : frottement linéaire
\( f = k \cdot v \) - Grande vitesse (écoulement turbulent) → \( n = 2 \) : frottement quadratique
\( f = k \cdot v^2 \)
🧠 Interprétation physique : La force de frottement s’oppose à la chute et tend à rendre la vitesse limite (quand le poids est équilibré par Archimède + frottement).
📊 Bilan des forces & équation du mouvement
Pour une chute verticale selon un axe \( z \) orienté vers le bas, la deuxième loi de Newton s’écrit :
\[ m \, a = P – F_A – f \]
Avec :
- \( P = m g \)
- \( F_A = \rho_f \, V \, g \)
- \( f = k v^n \) (opposée au mouvement, donc signe – si vitesse vers le bas)
L’équation différentielle du mouvement devient :
\[ m \frac{dv}{dt} = mg – \rho_f V g – k v^n \]
✨ Vitesse limite \( v_{\text{lim}} \) : lorsque l’accélération s’annule (\( dv/dt = 0 \))
\[ mg – \rho_f V g – k v_{\text{lim}}^n = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{\text{lim}} = \left( \frac{mg – \rho_f V g}{k} \right)^{1/n} \] La vitesse limite dépend du fluide, de la masse et du volume du solide.
\[ mg – \rho_f V g – k v_{\text{lim}}^n = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{\text{lim}} = \left( \frac{mg – \rho_f V g}{k} \right)^{1/n} \] La vitesse limite dépend du fluide, de la masse et du volume du solide.
🧪 Exemple numérique typique (bille dans l’huile) :
• Masse \( m = 10 \, \text{g} = 0,01\,\text{kg} \), rayon \( r = 1\,\text{cm} \), \( V = 4,19\times10^{-6}\,\text{m}^3 \)
• Huile : \( \rho_f = 900\,\text{kg/m}^3 \), \( k = 0,1 \) (régime linéaire)
→ Poids \( P \approx 0,098\,\text{N} \), Poussée \( F_A \approx 0,037\,\text{N} \), \( v_{\text{lim}} \approx 0,61\,\text{m/s} \).
• Masse \( m = 10 \, \text{g} = 0,01\,\text{kg} \), rayon \( r = 1\,\text{cm} \), \( V = 4,19\times10^{-6}\,\text{m}^3 \)
• Huile : \( \rho_f = 900\,\text{kg/m}^3 \), \( k = 0,1 \) (régime linéaire)
→ Poids \( P \approx 0,098\,\text{N} \), Poussée \( F_A \approx 0,037\,\text{N} \), \( v_{\text{lim}} \approx 0,61\,\text{m/s} \).
🎯 Représentation des forces sur un solide en chute verticale
📌 Le poids tire vers le bas, la poussée d’Archimède et le frottement s’opposent à la chute.
📋 Tableau récapitulatif des forces
| Force | Expression (intensité) | Direction / Sens | Origine |
|---|---|---|---|
| Poids \( \vec{P} \) | \( P = m g \) | Verticale vers le bas | Attraction terrestre |
| Poussée d’Archimède \( \vec{F_A} \) | \( F_A = \rho_f V g \) | Verticale vers le haut | Fluide déplacé |
| Frottement fluide \( \vec{f} \) | \( f = k v^n \) (n=1 ou 2) | Opposée à \( \vec{v} \) | Viscosité du fluide |
🧠 Questions pour vérifier la compréhension
- Comment évolue la vitesse d’un solide lors de sa chute dans un fluide ?
- Que se passe-t-il si la masse volumique du solide est inférieure à celle du fluide ?
- Pourquoi la force de frottement dépend-elle de la forme de l’objet ?
🔍 Voir réponses rapides
1. La vitesse augmente puis tend vers une vitesse limite (équilibre des forces).
2. Le corps remonte (ex: bulle d’air dans l’eau) car la poussée d’Archimède dépasse le poids.
3. Le coefficient \( k \) dépend de la traînée aérodynamique, donc de la forme (sphère, cylindre…).
2. Le corps remonte (ex: bulle d’air dans l’eau) car la poussée d’Archimède dépasse le poids.
3. Le coefficient \( k \) dépend de la traînée aérodynamique, donc de la forme (sphère, cylindre…).