Chute libre d’un solide | Mouvement rectiligne uniformément varié
🪶 3 • La chute libre d’un corps solide
Mécanique – 2BAC SPF | Mouvement sans frottement sous l’effet du seul poids
① Définition
🚀 Chute libre : Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
(On néglige toute force de frottement et la poussée d’Archimède).
(On néglige toute force de frottement et la poussée d’Archimède).
Exemples : objet tombant dans le vide, mouvement d’un satellite en orbite (chute libre autour de la Terre). Ici on étudie la chute libre verticale.
② Étude de la chute libre d’un corps
Considérons une bille d’acier de masse \( m \) en chute libre verticale (sans vitesse initiale ou avec).
- Système étudié : {la bille}
- Bilan des forces : uniquement le poids \( \vec{P} = m \vec{g} \)
- Repère : axe \( (Oz) \) orienté vers le bas (sens de la chute).
📌 2ème loi de Newton : \( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \, \vec{a}_G \)
\( \vec{P} = m \, \vec{a}_G \) ⇒ \( m \vec{g} = m \vec{a}_G \) ⇒ \( \vec{a}_G = \vec{g} \).
\( \vec{P} = m \, \vec{a}_G \) ⇒ \( m \vec{g} = m \vec{a}_G \) ⇒ \( \vec{a}_G = \vec{g} \).
Par projection sur l’axe \( Oz \) vertical descendant :
\[ a_z = g \quad (\text{accélération constante}) \]
La trajectoire est rectiligne et l’accélération est constante → le mouvement est rectiligne uniformément varié (MRUV).
📈 Équations horaires & vitesse
On intègre \( a_z = g \) par rapport au temps :
\[ v_z(t) = g \cdot t + V_0 \]
\[ z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2 + V_0 \cdot t + z_0 \]
- \( V_0 = v_z(0) \) : vitesse initiale (selon orientation)
- \( z_0 = z(0) \) : position initiale
💡 Cas particulier fréquent : lâcher sans vitesse initiale (\( V_0 = 0 \)) et avec \( z_0 = 0 \) (origine au point de lâcher) :
\[ v_z(t) = g\,t \quad ; \quad z(t) = \frac{1}{2} g\,t^2 \]
\[ v_z(t) = g\,t \quad ; \quad z(t) = \frac{1}{2} g\,t^2 \]
🧠 Remarque importante – orientation de l’axe :
Si l’axe \( Oz \) est orienté vers le haut (sens inverse de la chute) :
\[ a_z = -g \quad ; \quad v_z(t) = -g\,t + V_0 \quad ; \quad z(t) = -\frac{1}{2}g\,t^2 + V_0\,t + z_0 \] La vitesse devient négative vers le bas, l’accélération reste constante égale à \( -g \).
Si l’axe \( Oz \) est orienté vers le haut (sens inverse de la chute) :
\[ a_z = -g \quad ; \quad v_z(t) = -g\,t + V_0 \quad ; \quad z(t) = -\frac{1}{2}g\,t^2 + V_0\,t + z_0 \] La vitesse devient négative vers le bas, l’accélération reste constante égale à \( -g \).
📊 Représentations graphiques (chute libre sans vitesse initiale)
📈 Évolution de la vitesse \( v(t) = g \cdot t \)
📌 Interprétation physique : La vitesse croît linéairement, la position croît de manière parabolique. L’accélération reste constante et égale à \( g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2 \).
🧪 Exemples & applications
🔹 Lâcher d’une balle depuis une hauteur h
Si \( v_0 = 0 \) et \( z_0 = h \) (origine à hauteur du sol ? attention repère). Avec axe vers le bas et origine au point de lâcher, \( z(t) = \frac{1}{2} g t^2 \) et \( t_{\text{chute}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \).
🔹 Lancement vers le haut (ex: projectile vertical) : axe orienté vers le haut → \( a = -g \) ; au sommet \( v=0 \), temps de montée \( t = V_0/g \).
🔹 Chute libre dans le vide (Galilée) : tous les corps tombent avec la même accélération quelle que soit leur masse (principe d’équivalence).
Si \( v_0 = 0 \) et \( z_0 = h \) (origine à hauteur du sol ? attention repère). Avec axe vers le bas et origine au point de lâcher, \( z(t) = \frac{1}{2} g t^2 \) et \( t_{\text{chute}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \).
🔹 Lancement vers le haut (ex: projectile vertical) : axe orienté vers le haut → \( a = -g \) ; au sommet \( v=0 \), temps de montée \( t = V_0/g \).
🔹 Chute libre dans le vide (Galilée) : tous les corps tombent avec la même accélération quelle que soit leur masse (principe d’équivalence).
📐 Relation indépendante du temps : \( v_z^2 – V_0^2 = 2 g (z – z_0) \) (valable pour MRUV).
Exemple : pour \( V_0 = 0 \), \( v = \sqrt{2 g h} \).
Exemple : pour \( V_0 = 0 \), \( v = \sqrt{2 g h} \).
📋 Récapitulatif – chute libre verticale
| Grandeur | Expression (axe Oz vers le bas) | Expression (axe Oz vers le haut) |
|---|---|---|
| Accélération \( a_z \) | \( +g \) | \( -g \) |
| Vitesse \( v_z(t) \) | \( g t + V_0 \) | \( -g t + V_0 \) |
| Position \( z(t) \) | \( \frac{1}{2} g t^2 + V_0 t + z_0 \) | \( -\frac{1}{2} g t^2 + V_0 t + z_0 \) |
| Condition de chute libre | Seul le poids s’exerce (pas de frottement, pas d’Archimède) | |
💡 Erreur fréquente à éviter : La chute libre n’implique pas forcément une vitesse initiale nulle. Un corps lancé vers le haut est aussi en chute libre dès que seule son poids agit (ex: fusée après extinction des moteurs, ballon en l’air).
✏️ Exercice d’application
Énoncé : Un objet est lâché sans vitesse initiale d’une hauteur de \( 20 \, \text{m} \) (on prend \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \), axe vertical descendant, origine au point de lâcher). Calculer :
- La vitesse après \( 1,5 \, \text{s} \) de chute.
- La hauteur parcourue à cet instant.
- Le temps mis pour atteindre le sol.
- La vitesse juste avant l’impact.
🔍 Voir correction
1. \( v(t) = g t = 10 \times 1,5 = 15 \, \text{m/s} \)
2. \( z(t) = \frac{1}{2} g t^2 = 0,5 \times 10 \times (1,5)^2 = 11,25 \, \text{m} \)
3. \( z(t) = 20 \Rightarrow \frac{1}{2} g t^2 = 20 \) → \( t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2,0 \, \text{s} \)
4. \( v_{\text{impact}} = g \times 2 = 20 \, \text{m/s} \) (soit \( 72 \, \text{km/h} \)).
2. \( z(t) = \frac{1}{2} g t^2 = 0,5 \times 10 \times (1,5)^2 = 11,25 \, \text{m} \)
3. \( z(t) = 20 \Rightarrow \frac{1}{2} g t^2 = 20 \) → \( t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2,0 \, \text{s} \)
4. \( v_{\text{impact}} = g \times 2 = 20 \, \text{m/s} \) (soit \( 72 \, \text{km/h} \)).
⚡ Dans la réalité, les frottements de l’air rendent la chute non libre : la vitesse limite est atteinte. Mais en première approximation, le modèle de la chute libre est valable pour des hauteurs faibles.