Rotation d’un solide | Abscisse angulaire, vitesse angulaire

Rotation d’un solide | Abscisse angulaire, vitesse angulaire
🔄 DĂ©finition 📐 Abscisse angulaire ⚡ Vitesse angulaire 📏 Relation V-R-ω

🔄 Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe

Abscisse angulaire – Vitesse angulaire – AccĂ©lĂ©ration angulaire | MĂ©canique 2BAC

📌 DĂ©finition : Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Un corps solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe (Δ) si tous ses points dĂ©crivent des trajectoires circulaires centrĂ©es sur l’axe de rotation (Δ).
🔧 SchĂ©ma d’un solide en rotation :

📐 1.1 RepĂ©rage d’un point d’un solide en rotation

Pour dĂ©crire la position d’un point M du solide Ă  l’instant \( t \), on utilise :

  • L’abscisse angulaire \( \theta(t) = \widehat{(\overrightarrow{OM_0}, \overrightarrow{OM})} \) (angle repĂ©rĂ© par rapport Ă  une direction de rĂ©fĂ©rence).
  • L’abscisse curviligne \( s(t) = \overset{\frown}{M_0M} \) (longueur de l’arc parcouru sur le cercle de rayon \( R \)).
\[ s(t) = R \cdot \theta(t) \]
📌 L’abscisse angulaire \( \theta \) s’exprime en radians (rad). L’abscisse curviligne \( s \) en mùtres (m). Le rayon \( R \) est la distance du point M à l’axe de rotation.
📐 Abscisse angulaire et curviligne :

⚡ 1.2 Vitesse angulaire

La vitesse angulaire \( \omega \) est la dĂ©rivĂ©e par rapport au temps de l’abscisse angulaire \( \theta \) : \[ \omega = \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} \] UnitĂ© : radian par seconde (rad/s).
📌 La vitesse angulaire est une grandeur algĂ©brique :
  • \( \omega > 0 \) → rotation dans le sens trigonomĂ©trique (sens positif choisi).
  • \( \omega < 0 \) → rotation dans le sens horaire.
\[ \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \quad \text{(si mouvement uniforme)} \]
💡 Cas particulier : Mouvement de rotation uniforme → \( \omega = \text{constante} \) ⇒ \( \theta(t) = \omega \cdot t + \theta_0 \).

📏 Relation entre vitesse linĂ©aire et vitesse angulaire

Pour un point M du solide situĂ© Ă  une distance \( R \) de l’axe de rotation, la vitesse linĂ©aire (tangentielle) est liĂ©e Ă  la vitesse angulaire par : \[ V = R \cdot \omega \]
🧠 Explication : En une durĂ©e \( dt \), le point parcourt un arc \( ds = R \cdot d\theta \). La vitesse linĂ©aire \( V = \frac{ds}{dt} = R \frac{d\theta}{dt} = R \omega \).
La vitesse linĂ©aire est donc d’autant plus grande que le point est Ă©loignĂ© de l’axe.
🌀 DiffĂ©rence de vitesse linĂ©aire selon R :

📈 AccĂ©lĂ©ration angulaire

L’accĂ©lĂ©ration angulaire \( \alpha \) est la dĂ©rivĂ©e de la vitesse angulaire par rapport au temps : \[ \alpha = \dot{\omega} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \] UnitĂ© : radian par seconde carrĂ©e (rad/sÂČ).
🧠 Lien avec l’accĂ©lĂ©ration linĂ©aire tangentielle : \( a_t = R \cdot \alpha \).
Dans le cas d’un mouvement de rotation uniformĂ©ment variĂ© (\( \alpha = \text{constante} \)) : \[ \omega(t) = \alpha t + \omega_0 \quad ; \quad \theta(t) = \frac12 \alpha t^2 + \omega_0 t + \theta_0 \]

1.3   AccĂ©lĂ©ration angulaire

L’accĂ©lĂ©ration angulaire \(\ddot{\theta}\) est la dĂ©rivĂ©e par rapport au temps de la vitesse angulaire :

\[ \ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \]

Elle s’exprime en : \[ \text{rad.s}^{-2} \]

Dans la base de Frenet, le vecteur accĂ©lĂ©ration s’écrit :

\[ \vec{a} = a_T \vec{u} + a_N \vec{n} \]

Tel que :

\[ \left\{ \begin{aligned} a_T &= \frac{dV}{dt} \\ a_N &= \frac{V^2}{R} \end{aligned} \right. \]

Et puisque :

\[ V = R\dot{\theta} \]

alors :

\[ \left\{ \begin{aligned} a_T &= R\ddot{\theta} \\ a_N &= R\dot{\theta}^2 \end{aligned} \right. \]

4   Les Ă©quations horaires du mouvement

2.4   Mouvement de rotation uniforme

On dit qu’un mouvement de rotation est uniforme si :

\[ \omega = \dot{\theta} = \text{Cte} \]

c’est-à-dire :

\[ \ddot{\theta} = 0 \]

Équation horaire du mouvement :

\[ \theta(t) = \dot{\theta}\,t + \theta_0 \]

avec :

\[ \theta_0 = \theta(t=0) \]

📋 Analogie entre translation et rotation

GrandeurTranslation (ligne droite)Rotation (autour d’un axe fixe)
Position\( x(t) \) (m)\( \theta(t) \) (rad)
Vitesse\( v = \dot{x} \) (m/s)\( \omega = \dot{\theta} \) (rad/s)
AccĂ©lĂ©ration\( a = \dot{v} \) (m/sÂČ)\( \alpha = \dot{\omega} \) (rad/sÂČ)
Lien distance – angle—\( s = R\theta \), \( v = R\omega \), \( a_t = R\alpha \)

✏ Exercice d’application

Un disque tourne autour de son axe central. Un point situĂ© Ă  \( R = 0,20 \, \text{m} \) de l’axe a une vitesse linĂ©aire \( V = 1,5 \, \text{m/s} \).

  1. Calculer la vitesse angulaire \( \omega \) du disque.
  2. Quelle est la vitesse linĂ©aire d’un point situĂ© Ă  \( R’ = 0,35 \, \text{m} \) ?
🔍 Voir correction
1. \( \omega = \frac{V}{R} = \frac{1,5}{0,20} = 7,5 \, \text{rad/s} \).
2. \( V’ = R’ \cdot \omega = 0,35 \times 7,5 = 2,625 \, \text{m/s} \).
✔ Tous les points ont la mĂȘme vitesse angulaire, mais la vitesse linĂ©aire augmente avec la distance Ă  l’axe.
📚 **Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe** – Abscisse angulaire Ξ, vitesse angulaire ω = dΞ/dt, accĂ©lĂ©ration angulaire α = dω/dt.
🔗 Relation fondamentale : \( V = R \cdot \omega \), \( a_t = R \cdot \alpha \). Applications : roues, engrenages, mouvement des pales.

1.3   AccĂ©lĂ©ration angulaire

L’accĂ©lĂ©ration angulaire \(\ddot{\theta}\) est la dĂ©rivĂ©e de la vitesse angulaire par rapport au temps :

\[ \ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \]

Elle s’exprime en : \[ \text{rad.s}^{-2} \]

Dans la base de Frenet, le vecteur accĂ©lĂ©ration s’écrit :

\[ \vec{a} = a_T \vec{u} + a_N \vec{n} \]

Avec :

\[ \left\{ \begin{aligned} a_T &= \frac{dV}{dt} \\ a_N &= \frac{V^2}{R} \end{aligned} \right. \]

Or :

\[ V = R\dot{\theta} \]

Donc :

\[ \left\{ \begin{aligned} a_T &= R\ddot{\theta} \\ a_N &= R\dot{\theta}^2 \end{aligned} \right. \]

4   Les Ă©quations horaires du mouvement

2.4   Mouvement de rotation uniforme

Un mouvement de rotation est dit uniforme si :

\[ \omega = \dot{\theta} = \text{Cte} \]

donc :

\[ \ddot{\theta} = 0 \]

L’équation horaire du mouvement est :

\[ \theta(t) = \dot{\theta}\,t + \theta_0 \]

avec :

\[ \theta_0 = \theta(t=0) \]

2.5   Mouvement de rotation uniformĂ©ment variĂ©

Un mouvement est uniformĂ©ment variĂ© si l’accĂ©lĂ©ration angulaire est constante :

\[ \ddot{\theta} = \text{Cte} \]

Équation horaire de la vitesse :

\[ \dot{\theta}(t) = \ddot{\theta}\,t + \dot{\theta}_0 \]

avec :

\[ \dot{\theta}_0 = \dot{\theta}(t=0) \]

Équation horaire du mouvement :

\[ \theta(t) = \frac{1}{2}\ddot{\theta}\,t^2 + \dot{\theta}_0\,t + \theta_0 \]

avec :

\[ \theta_0 = \theta(t=0) \]

5   La relation fondamentale de la dynamique (RFD)

3.1   Moment d’une force (Rappel)

Le moment d’une force \(\vec{F}\) par rapport Ă  un axe \((\Delta)\) est le produit de l’intensitĂ© de cette force et de la distance \(d\) sĂ©parant la droite d’action de la force et l’axe de rotation.

\[ M_{\Delta}(\vec{F}) = \pm F \cdot d \]

avec :

\[ d = OH \]

Le signe \((\pm)\) dépend du sens positif de rotation.

4.3   ÉnoncĂ© de la relation fondamentale de la dynamique

Dans un rĂ©fĂ©rentiel galilĂ©en, la somme des moments des forces appliquĂ©es Ă  un solide en rotation autour d’un axe fixe \((\Delta)\) est Ă©gale au moment d’inertie du solide multipliĂ© par l’accĂ©lĂ©ration angulaire :

\[ \sum M_{\Delta}(\vec{F}_{ext}) = J_{\Delta}\,\ddot{\theta} \]

Avec :

  • \(J_{\Delta}\) : moment d’inertie du solide \[ (\text{kg.m}^2) \]
  • \(\ddot{\theta}\) : accĂ©lĂ©ration angulaire \[ (\text{rad.s}^{-2}) \]

Expression du moment d’inertie de quelques solides

Tige (axe passant par une extrémité) Tige (axe passant par le centre) SphÚre pleine Disque ou cylindre plein Anneau ou cylindre creux
\[ J_{\Delta} = \frac{1}{3}ml^2 \] \[ J_{\Delta} = \frac{1}{12}ml^2 \] \[ J_{\Delta} = \frac{2}{5}mr^2 \] \[ J_{\Delta} = \frac{1}{2}mr^2 \] \[ J_{\Delta} = mr^2 \]

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