Atome et mécanique de Newton | Limites classiques – Modèle planétaire
⚛️ Atome et mécanique de Newton
I – Limites de la mécanique de Newton – Modèle planétaire et insuffisance de la physique classique
🌍 1.a) Interaction gravitationnelle – Loi de Newton
Deux corps A et B de masses \( m_A \) et \( m_B \) exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction gravitationnelle de même intensité :
\[ F_{A/B} = F_{B/A} = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{r^2} \]
avec \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2·\text{kg}^{-2} \).
⚡ 1.b) Interaction électrostatique – Loi de Coulomb
La force d’attraction (ou de répulsion) entre deux charges \( q_1 \) et \( q_2 \) distantes de \( r \) s’écrit :
\[ F = K \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
avec \( K = 9 \times 10^9 \, \text{N·m}^2·\text{C}^{-2} \).
Dans le cas de l’atome d’hydrogène : force entre l’électron (charge \( -e \)) et le noyau (charge \( +e \)) : \[ F = K \cdot \frac{e^2}{r^2} \] (attractive car signes opposés).
Dans le cas de l’atome d’hydrogène : force entre l’électron (charge \( -e \)) et le noyau (charge \( +e \)) : \[ F = K \cdot \frac{e^2}{r^2} \] (attractive car signes opposés).
📌 Comparaison des ordres de grandeur :
- Interaction gravitationnelle électron-proton : \( F_g \approx 3,6 \times 10^{-47} \, \text{N} \)
- Interaction électrostatique électron-proton : \( F_e \approx 8,2 \times 10^{-8} \, \text{N} \)
- \( F_e / F_g \approx 2 \times 10^{39} \) → dans l’atome, l’interaction gravitationnelle est totalement négligeable devant l’interaction électrique.
🪐 2) Le modèle planétaire de l’atome (Rutherford, 1907)
En s’appuyant sur la loi de Coulomb (interaction électrostatique) et l’analogie avec la gravitation, Rutherford propose un modèle où les électrons gravitent autour d’un noyau central chargé positivement, comme les planètes autour du Soleil.
🔬 Modèle planétaire de l’atome :
L’électron tourne autour du noyau, maintenu par l’attraction coulombienne (analogue à la gravitation pour les planètes).
💡 À première vue, ce modèle semble cohérent : la force électrique joue le rôle de la force centripète comme la gravitation pour les planètes.
⚠️ Limites de la mécanique de Newton – Échec du modèle planétaire
Bien qu’élégant, le modèle planétaire classique se heurte à plusieurs contradictions expérimentales et théoriques.
🔴 1. Instabilité des orbites (rayonnement)
Selon l’électromagnétisme classique (Maxwell), une charge accélérée (électron en mouvement circulaire) rayonne de l’énergie. L’électron perdrait donc continuellement de l’énergie, sa trajectoire serait une spirale et il finirait par tomber sur le noyau en \( \approx 10^{-11} \, \text{s} \). Or l’atome est stable.
🔴 2. Spectres de raies discrets
La mécanique classique prédit un spectre continu (l’électron émettrait toutes les fréquences possibles en spirale). Mais l’expérience montre que les atomes émettent ou absorbent la lumière à des fréquences bien précises (spectre de raies) – par ex. l’hydrogène.
🔴 3. Non prise en compte du caractère aléatoire / quantique
Dans le modèle planétaire, on peut connaître à la fois la position et la vitesse exactes de l’électron (déterminisme de Newton). La mécanique quantique montre que cela est impossible (principe d’incertitude de Heisenberg). Les électrons n’ont pas d’orbites définies mais des orbitales (nuages de probabilité).
🧠 Conclusion : La mécanique de Newton (et l’électromagnétisme classique) échoue à décrire le monde atomique. Cela a conduit au début du XXe siècle à la révolution quantique (Bohr, Heisenberg, Schrödinger, Dirac).
📋 Comparaison des échelles et interactions
| Interaction | Loi | Portée | Rôle dans l’atome |
|---|---|---|---|
| Gravitationnelle | \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \) | infinie | négligeable (10⁻³⁹ × force électrique) |
| Électrostatique | \( F = K \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \) | infinie | force liant noyau et électrons |
| Quantique (moderne) | Équation de Schrödinger, principe d’incertitude | atomique | orbitales, niveaux d’énergie discrets |
🧪 Exemple numérique : comparaison des forces dans l’atome d’hydrogène
Données : \( e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C} \), \( m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \), \( m_p = 1,67 \times 10^{-27} \, \text{kg} \), \( r = 5,3 \times 10^{-11} \, \text{m} \) (rayon de Bohr).
- Force gravitationnelle : \( F_g = G \frac{m_e m_p}{r^2} \approx 6,67 \times 10^{-11} \times \frac{9,1\times10^{-31} \times 1,67\times10^{-27}}{(5,3\times10^{-11})^2} \approx 3,6 \times 10^{-47} \, \text{N} \)
- Force électrostatique : \( F_e = K \frac{e^2}{r^2} \approx 9\times10^9 \times \frac{(1,6\times10^{-19})^2}{(5,3\times10^{-11})^2} \approx 8,2 \times 10^{-8} \, \text{N} \)
- Rapport \( F_e / F_g \approx 2,3 \times 10^{39} \) → la gravitation est complètement négligeable.
📌 Même si l’analogie planétaire est séduisante (force centrale en \( 1/r^2 \)), l’origine et l’intensité diffèrent totalement. La physique quantique est indispensable pour décrire l’atome.
📜 Brève synthèse historique
- 1907 : Rutherford propose le modèle planétaire, mais il ne rend pas compte de la stabilité ni des spectres.
- 1913 : Niels Bohr postule des orbites quantifiées (niveaux d’énergie discrets) – premier modèle quantique.
- 1920-1930 : Mécanique ondulatoire (Schrödinger, Heisenberg) : notion d’orbitale, équation de Schrödinger, principe d’incertitude.
- Aujourd’hui : La mécanique quantique décrit avec une grande précision les atomes, molécules et particules.
💡 La mécanique de Newton reste parfaitement valable à l’échelle macroscopique (planètes, satellites, voitures…), mais échoue à l’échelle atomique et subatomique.
⚛️ 2) Quantification de l’énergie dans les atomes
Niveaux d’énergie – Photon – Postulats de Bohr – Spectre de l’hydrogène
📊 Niveaux d’énergie de l’atome
L’atome ne peut exister que dans des états d’énergie bien définis : les niveaux d’énergie.
L’état de plus basse énergie est l’état fondamental (le plus stable).
Les niveaux d’énergie supérieurs sont appelés états excités.
L’état de plus basse énergie est l’état fondamental (le plus stable).
Les niveaux d’énergie supérieurs sont appelés états excités.
🔬 Pour l’atome d’hydrogène, Niels Bohr a proposé la formule :
\[ \boxed{ E_n = -\frac{E_0}{n^2} } \]
avec \( E_0 = 13,6 \, \text{eV} \) et \( n \) nombre quantique principal (entier ≥ 1).
\[ E_1 = -13,6 \, \text{eV} \quad (\text{fondamental}) \]
\( n=2 \; \Rightarrow \; E_2 = -3,40 \, \text{eV} \), \( n=3 \; \Rightarrow \; E_3 = -1,51 \, \text{eV} \), etc.
💡 Lorsque \( n \to \infty \), \( E_n \to 0 \) (atome ionisé, électron libre). L’énergie de l’atome est quantifiée : elle ne peut prendre que des valeurs discrètes.
📈 Diagramme énergétique de l’atome d’hydrogène
🌀 Niveaux d’énergie (échelle non linéaire) :
Transition d’un niveau excité vers un niveau inférieur → émission d’un photon.
📌 Les raies spectrales correspondent aux différences d’énergie entre niveaux. Exemple : raie Lyman (\( n \to 1 \)), Balmer (\( n \to 2 \)), Paschen (\( n \to 3 \)).
💡 Le photon – Nature corpusculaire de la lumière
Pour expliquer l’effet photoélectrique, Albert Einstein (1905) postule que la lumière est constituée de photons, grains d’énergie.
L’énergie d’un photon de fréquence \( \nu \) est : \[ \boxed{ E_{\text{photon}} = h \nu } \] avec \( h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{J·s} \) (constante de Planck).
L’énergie d’un photon de fréquence \( \nu \) est : \[ \boxed{ E_{\text{photon}} = h \nu } \] avec \( h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{J·s} \) (constante de Planck).
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \quad \Rightarrow \quad E_{\text{photon}} = \frac{h c}{\lambda} \]
📌 Unités utiles : \( h c \approx 1240 \, \text{eV·nm} \) → \( E(\text{eV}) = \frac{1240}{\lambda(\text{nm})} \).
📜 Postulats de Bohr (1913)
- 1. L’électron tourne autour du noyau sur des orbites stables sans rayonner d’énergie (contrairement à l’électromagnétisme classique).
- 2. L’atome ne peut exister que dans des états d’énergie bien déterminés (niveaux quantifiés).
- 3. Les variations d’énergie de l’atome sont quantifiées : l’électron ne peut passer d’un niveau à un autre qu’en absorbant ou émettant un photon d’énergie exactement égale à la différence entre les deux niveaux.
- 4. Lors de la transition d’un niveau \( E_p \) (excité) à un niveau \( E_n \) (inférieur, \( p > n \)), l’atome émet un photon de fréquence \( \nu \) vérifiant : \[ \boxed{ E_p – E_n = h \nu } \] (Absorption : \( h\nu = E_p – E_n \) avec \( E_p > E_n \)).
🧠 Conséquences : Les spectres de raies (discrets) sont expliqués : chaque transition correspond à une longueur d’onde précise. Les séries de raies (Lyman, Balmer, Paschen) sont parfaitement décrites par la formule de Rydberg.
📋 Exemples de transitions dans l’atome d’hydrogène
| Transition | \( \Delta E = E_p – E_n \) (eV) | Domaine spectral | \( \lambda \) (nm) |
|---|---|---|---|
| \( n=2 \to n=1 \) (Lyman-α) | \( -3,40 – (-13,6) = 10,2 \) eV | UV | 121,6 |
| \( n=3 \to n=2 \) (Balmer-α) | \( -1,51 – (-3,40) = 1,89 \) eV | Rouge visible | 656 |
| \( n=4 \to n=2 \) | \( -0,85 – (-3,40) = 2,55 \) eV | Bleu-vert | 486 |
| \( n=5 \to n=3 \) (Paschen) | \( -0,54 – (-1,51) = 0,97 \) eV | IR | ~1280 |
💡 Ces longueurs d’onde correspondent exactement aux raies observées expérimentalement. C’est une vérification spectaculaire de la quantification de l’énergie.
✏️ Exercice d’application – Transition électronique
Un atome d’hydrogène passe du niveau \( n=4 \) au niveau \( n=2 \).
Données : \( E_4 = -0,85 \, \text{eV} \), \( E_2 = -3,40 \, \text{eV} \), \( h = 6,63 \times 10^{-34} \, \text{J·s} \), \( 1 \, \text{eV} = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{J} \).
- Calculer l’énergie du photon émis en eV puis en joules.
- Déterminer la fréquence et la longueur d’onde du rayonnement émis. À quel domaine spectral appartient-il ?
🔍 Voir correction
1. \( \Delta E = E_4 – E_2 = (-0,85) – (-3,40) = 2,55 \, \text{eV} \).
\( \Delta E = 2,55 \times 1,6 \times 10^{-19} = 4,08 \times 10^{-19} \, \text{J} \).
2. \( \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{4,08 \times 10^{-19}}{6,63 \times 10^{-34}} \approx 6,15 \times 10^{14} \, \text{Hz} \).
\( \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3,00 \times 10^8}{6,15 \times 10^{14}} \approx 4,88 \times 10^{-7} \, \text{m} = 488 \, \text{nm} \) → lumière bleue-vert (visible).
✔ Transition Balmer-α (raie H\(_\beta\)).
\( \Delta E = 2,55 \times 1,6 \times 10^{-19} = 4,08 \times 10^{-19} \, \text{J} \).
2. \( \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{4,08 \times 10^{-19}}{6,63 \times 10^{-34}} \approx 6,15 \times 10^{14} \, \text{Hz} \).
\( \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3,00 \times 10^8}{6,15 \times 10^{14}} \approx 4,88 \times 10^{-7} \, \text{m} = 488 \, \text{nm} \) → lumière bleue-vert (visible).
✔ Transition Balmer-α (raie H\(_\beta\)).
🧠 À retenir
- L’énergie de l’atome est quantifiée : seuls des niveaux discrets sont permis (\( E_n = -E_0 / n^2 \) pour H).
- L’échange d’énergie avec l’extérieur se fait par absorption ou émission de photons.
- Transition entre niveaux : \( \Delta E = |E_p – E_n| = h \nu \).
- Le modèle de Bohr marque la naissance de la mécanique quantique, même s’il a été ensuite remplacé par la théorie plus générale de Schrödinger/Heisenberg.
🌈 III – Spectre d’émission et spectre d’absorption
Atome d’hydrogène – Raies de Balmer – Constante de Rydberg – Transitions quantiques
📡 1) Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
Un spectre d’émission est obtenu en analysant la lumière émise par des atomes excités (par décharge électrique ou chauffage). Pour l’hydrogène, le spectre est discontinu : il est composé de raies fines à des longueurs d’onde spécifiques.
⚡ Schéma du dispositif (expérience de Balmer) :
💡 L’hydrogène gazeux soumis à une décharge électrique émet une lumière qui, décomposée par un prisme, révèle plusieurs raies colorées (discontinues).
🔬 a) Expérience de Balmer – Série de Balmer (visible)
Balmer a étudié les quatre raies visibles du spectre de l’hydrogène :
- 🔴 Rouge : \( \lambda = 656,3 \, \text{nm} \)
- 🔵 Bleue : \( \lambda = 486,1 \, \text{nm} \)
- 🟣 Indigo : \( \lambda = 434,0 \, \text{nm} \)
- 🟣 Violet : \( \lambda = 410,2 \, \text{nm} \)
📌 Ces quatre raies correspondent aux transitions depuis les niveaux \( n=3,4,5,6 \) vers le niveau \( n=2 \) (série de Balmer).
📖 b) Interprétation quantique (modèle de Bohr)
Sous l’effet de la décharge électrique, les atomes d’hydrogène sont excités : leurs électrons passent à des niveaux d’énergie supérieurs (\( E_p \)).
Lorsqu’ils retournent à un niveau inférieur (\( E_n \)), ils émettent un photon d’énergie : \[ \boxed{ E_p – E_n = h\nu } \]
Lorsqu’ils retournent à un niveau inférieur (\( E_n \)), ils émettent un photon d’énergie : \[ \boxed{ E_p – E_n = h\nu } \]
\[ \frac{hc}{\lambda} = E_0 \left( \frac{1}{n^2} – \frac{1}{p^2} \right) \]
Avec \( E_n = -\frac{E_0}{n^2} \), \( E_0 = 13,6 \, \text{eV} \), \( p > n \).
🧠 Chaque transition correspond à une longueur d’onde précise, d’où le spectre de raies. La série de Balmer correspond à \( n=2 \) et \( p = 3,4,5,6 \) donnant les quatre raies visibles.
🌀 Diagramme des transitions (série de Balmer) :
📐 Constante de Rydberg – Formule générale
On pose \( R_H = \dfrac{E_0}{h c} \) : constante de Rydberg pour l’hydrogène.
\[ R_H \approx 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \]
La longueur d’onde d’une raie d’émission correspondant à une transition \( p \to n \) (\( p > n \)) est :
\[ \boxed{ \frac{1}{\lambda_{n \to p}} = R_H \left( \frac{1}{n^2} – \frac{1}{p^2} \right) } \]
📌 Familles de raies :
- Série de Lyman : \( n=1 \) (ultraviolet)
- Série de Balmer : \( n=2 \) (visible)
- Série de Paschen : \( n=3 \) (infrarouge)
- Série de Brackett : \( n=4 \) (infrarouge lointain)
💡 Cette formule permet de calculer avec une très grande précision les longueurs d’onde des raies spectrales de l’hydrogène, confirmant ainsi la quantification des niveaux d’énergie.
🌑 Spectre d’absorption de l’hydrogène
Si un faisceau de lumière blanche traverse un gaz d’hydrogène froid, certaines longueurs d’onde sont absorbées : on observe un spectre d’absorption, constitué de raies noires aux mêmes longueurs d’onde que les raies d’émission.
🧠 Explication : les atomes d’hydrogène dans leur état fondamental peuvent absorber des photons dont l’énergie correspond exactement à la différence entre le fondamental (\( n=1 \)) et un niveau excité (\( n=2,3,… \)) : raies d’absorption de Lyman (UV). Les raies de Balmer en absorption sont plus faibles car à température ambiante très peu d’atomes sont sur \( n=2 \).
📉 Schéma : raies d’absorption (série de Lyman) :
📋 Principales séries de l’hydrogène
| Série | \( n \) (niveau final) | \( p \) (niveau initial) | Domaine |
|---|---|---|---|
| Lyman | 1 | 2,3,4,5,… | Ultraviolet (UV) |
| Balmer | 2 | 3,4,5,6 | Visible (et proche UV) |
| Paschen | 3 | 4,5,6,… | Infrarouge (IR) |
| Brackett | 4 | 5,6,7,… | IR lointain |
✨ La formule \( \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} – \frac{1}{p^2} \right) \) est universelle pour l’hydrogène. Elle a été étendue aux ions hydrogénoïdes (He⁺, Li²⁺, etc.) en remplaçant \( R_H \) par \( R = R_H \cdot Z^2 \) où \( Z \) est le numéro atomique.
✏️ Exercice – Calcul d’une longueur d’onde (série de Balmer)
Calculer la longueur d’onde de la raie \( H_\alpha \) correspondant à la transition \( p=3 \to n=2 \) de l’atome d’hydrogène.
Données : \( R_H = 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \).
🔍 Voir correction
\( \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{3^2} \right) = 1,097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{9} \right) = 1,097 \times 10^7 \times \frac{9-4}{36} = 1,097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} \)
\( \frac{5}{36} \approx 0,13889 \) ⇒ \( \frac{1}{\lambda} \approx 1,097 \times 10^7 \times 0,13889 \approx 1,523 \times 10^6 \, \text{m}^{-1} \).
\( \lambda = \frac{1}{1,523 \times 10^6} \approx 6,565 \times 10^{-7} \, \text{m} = 656,5 \, \text{nm} \) → raie rouge caractéristique.
\( \frac{5}{36} \approx 0,13889 \) ⇒ \( \frac{1}{\lambda} \approx 1,097 \times 10^7 \times 0,13889 \approx 1,523 \times 10^6 \, \text{m}^{-1} \).
\( \lambda = \frac{1}{1,523 \times 10^6} \approx 6,565 \times 10^{-7} \, \text{m} = 656,5 \, \text{nm} \) → raie rouge caractéristique.
🧠 La formule de Rydberg est en excellent accord avec les mesures expérimentales de Balmer (656,3 nm). Cet accord a été un triomphe pour le modèle de Bohr.
🔬 1) Les séries de spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
a) Série de Balmer – Transitions vers le niveau n=2 – Raies visibles
📖 Série de Balmer (visible)
Après plusieurs recherches, Balmer a déterminé que les longueurs d’onde des radiations émises par l’atome d’hydrogène excité correspondent aux transitions des électrons depuis un niveau d’énergie \( p \) (avec \( p > 2 \)) vers le deuxième niveau \( n = 2 \).
La relation générale (formule de Rydberg) s’écrit : \[ \frac{1}{\lambda_{p \to 2}} = R_H \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{p^2} \right) \] où \( R_H \approx 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \) est la constante de Rydberg pour l’hydrogène.
La relation générale (formule de Rydberg) s’écrit : \[ \frac{1}{\lambda_{p \to 2}} = R_H \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{p^2} \right) \] où \( R_H \approx 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \) est la constante de Rydberg pour l’hydrogène.
📐 Expression de la longueur d’onde
\[ \frac{1}{\lambda_{p \to 2}} = R_H \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{p^2} \right) = R_H \cdot \frac{p^2 – 4}{4p^2} \]
\[ \boxed{ \lambda_{p \to 2} = \frac{1}{R_H} \cdot \frac{4p^2}{p^2 – 4} } \]
📌 Avec \( \frac{1}{R_H} \approx 91,18 \, \text{nm} \) (c’est la limite de la série de Lyman pour \( p \to \infty \)).
Pour la série de Balmer, la limite converge vers \( \lambda_{\infty \to 2} = \frac{4}{R_H} \approx 364,7 \, \text{nm} \) (ultraviolet proche).
Pour la série de Balmer, la limite converge vers \( \lambda_{\infty \to 2} = \frac{4}{R_H} \approx 364,7 \, \text{nm} \) (ultraviolet proche).
📊 Calcul des longueurs d’onde (raies visibles)
| Transition \( p \to 2 \) | \( p^2 – 4 \) | \( \lambda = \frac{4p^2}{p^2 – 4} \times \frac{1}{R_H} \) (nm) | Couleur / nom |
|---|---|---|---|
| \( 3 \to 2 \) | \( 9-4=5 \) | \( \lambda = \frac{4\times9}{5} \times 91,18 = \frac{36}{5} \times 91,18 = 7,2 \times 91,18 \approx 656,5 \) | 🔴 Hα (rouge) |
| \( 4 \to 2 \) | \( 16-4=12 \) | \( \lambda = \frac{64}{12} \times 91,18 \approx 5,333 \times 91,18 \approx 486,1 \) | 🔵 Hβ (bleu-vert) |
| \( 5 \to 2 \) | \( 25-4=21 \) | \( \lambda = \frac{100}{21} \times 91,18 \approx 4,7619 \times 91,18 \approx 434,0 \) | 🟣 Hγ (indigo) |
| \( 6 \to 2 \) | \( 36-4=32 \) | \( \lambda = \frac{144}{32} \times 91,18 = 4,5 \times 91,18 \approx 410,2 \) | 🟣 Hδ (violet) |
💡 Les valeurs obtenues (656,5 nm ; 486,1 nm ; 434,0 nm ; 410,2 nm) coïncident parfaitement avec les mesures expérimentales de Balmer. La série se poursuit avec des raies de plus en plus rapprochées jusqu’à la limite 364,7 nm (UV).
🌈 Représentation des raies de Balmer (visible)
🌀 Diagramme des transitions (série de Balmer) :
📌 Chaque transition depuis un niveau \( p \ge 3 \) vers \( n=2 \) libère un photon dont la longueur d’onde est donnée par la formule ci-dessus. Plus \( p \) est grand, plus les raies sont rapprochées et tendent vers la limite \( \lambda_{\infty} = 364,7 \, \text{nm} \) (UV).
✏️ Exemple de calcul – raie Hα (p=3 → n=2)
Appliquons la formule : \( \lambda = \frac{1}{R_H} \cdot \frac{4p^2}{p^2 – 4} \) avec \( R_H = 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \).
Pour \( p=3 \) : \( \frac{4p^2}{p^2-4} = \frac{4 \times 9}{9-4} = \frac{36}{5} = 7,2 \)
\( \frac{1}{R_H} = \frac{1}{1,097 \times 10^7} \approx 9,118 \times 10^{-8} \, \text{m} = 91,18 \, \text{nm} \)
Donc \( \lambda = 7,2 \times 91,18 \approx 656,5 \, \text{nm} \).
✔ On retrouve exactement la raie rouge de l’hydrogène.
Pour \( p=3 \) : \( \frac{4p^2}{p^2-4} = \frac{4 \times 9}{9-4} = \frac{36}{5} = 7,2 \)
\( \frac{1}{R_H} = \frac{1}{1,097 \times 10^7} \approx 9,118 \times 10^{-8} \, \text{m} = 91,18 \, \text{nm} \)
Donc \( \lambda = 7,2 \times 91,18 \approx 656,5 \, \text{nm} \).
✔ On retrouve exactement la raie rouge de l’hydrogène.
🧠 La formule de Balmer a été historiquement la première relation empirique reliant les longueurs d’onde des raies de l’hydrogène. Elle a ensuite été généralisée par Rydberg à l’ensemble des séries.
📋 Extension : les autres séries de l’hydrogène
| Série | Transition | Domaine | Formule \( 1/\lambda = R_H (1/n^2 – 1/p^2) \) |
|---|---|---|---|
| Lyman | \( p \to 1 \) | Ultraviolet | \( n=1 \) |
| Balmer | \( p \to 2 \) | Visible + UV proche | \( n=2 \) |
| Paschen | \( p \to 3 \) | Infrarouge | \( n=3 \) |
| Brackett | \( p \to 4 \) | Infrarouge lointain | \( n=4 \) |
💡 La série de Balmer est la seule située en partie dans le domaine visible, ce qui explique pourquoi elle a été découverte en premier (Balmer, 1885). Les autres séries nécessitent des instruments adaptés (UV, IR).