Satellites artificiels et planètes

Chapitre 13 – Satellites artificiels et planètes
Physique-Chimie – Safi
Chapitre 13

Satellites artificiels et planètes

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Référentiel héliocentrique – Référentiel géocentrique

❐ Référentiel héliocentrique : son origine est le centre du Soleil et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.

❐ Référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.

Remarques :
  • Ces deux référentiels sont considérés comme galiléens (les lois de Newton y sont applicables).
  • L’étude du mouvement des planètes s’effectue dans un référentiel héliocentrique.
  • L’étude du mouvement des satellites de la Terre se fait dans un référentiel géocentrique.

2 Les lois de Kepler

2.1 1ère loi de Kepler : Loi des orbites elliptiques

Dans un référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe l’un des foyers.
Orbite elliptique d'une planète autour du Soleil
Orbite elliptique

2.2 2ème loi de Kepler : Loi des aires

Le segment de droite [SP] reliant le Soleil S à une planète P balaie des aires égales pendant des durées égales.

Pendant la même durée \(\Delta t = t_2 – t_1 = t_4 – t_3\), les aires balayées sont égales :

\[ \boxed{\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2} \]
Loi des aires de Kepler
Loi des aires

2.3 3ème loi de Kepler : Loi des périodes

Le rapport entre le carré de \(T\), la période de révolution de la planète autour du Soleil, et le cube du demi-grand axe \(a\) de l’orbite elliptique est constant.

\[ \boxed{\frac{T^2}{a^3} = \text{Cte}} \quad \text{avec} \quad \begin{cases} T : \text{Période de révolution (s)} \\ a : \text{Demi-grand axe (m)} \end{cases} \]
Remarques :
  • La période de révolution d’une planète autour du Soleil est la durée pour qu’elle effectue un tour complet autour du Soleil.
  • La 3ème loi de Kepler pour les planètes dont les orbites sont circulaires de rayon \(r\) est : \(\dfrac{T^2}{r^3} = \text{Cte}\).

3 Loi de la gravitation universelle (Rappel)

Deux corps ponctuels A et B de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par la distance \(d = AB\), exercent l’un sur l’autre des forces d’interactions \(\overrightarrow{F}_{A/B}\) et \(\overrightarrow{F}_{B/A}\) ayant :

  • ☞ Même droite d’action (AB)
  • ☞ Deux sens opposés
  • ☞ Même intensité : \(F_{A/B} = F_{B/A} = G \cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2}\)

Les expressions des forces d’interactions sont donc :

\[ \boxed{\overrightarrow{F}_{A/B} = -\overrightarrow{F}_{B/A} = -G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \cdot \overrightarrow{u}_{AB}} \]

avec \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{SI}\) : constante de gravitation universelle et \(\overrightarrow{u}_{AB}\) : vecteur unitaire.
Forces d'interaction gravitationnelle
Loi de gravitation universelle

4 Étude du mouvement d’une planète autour du Soleil

On considère une planète de masse \(m_P\) et de centre d’inertie P en mouvement autour du Soleil de masse \(M_S\) et de centre S.

4.1 Nature du mouvement

On choisit le référentiel héliocentrique pour étudier le mouvement.

  • ❐ Le système étudié : {La planète P}
  • ❐ Bilan des forces : La force exercée par le Soleil
\[ \overrightarrow{F}_{S/P} = -G \cdot \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \overrightarrow{u}_{SP} = G \cdot \frac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \overrightarrow{n} \]

❐ Application de la deuxième loi de Newton :

\[ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m_P \cdot \overrightarrow{a}_P \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{F}_{S/P} = m_P \cdot \overrightarrow{a}_P \]

Donc :

\[ \overrightarrow{a}_P = G \cdot \frac{M_S}{r^2} \cdot \overrightarrow{n} \quad (\star) \]
Mouvement d'une planète autour du Soleil
Planète autour du Soleil

Dans le repère de Frenet, on a :

\[ \overrightarrow{a}_P = \frac{dV}{dt} \cdot \overrightarrow{u} + \frac{V^2}{r} \cdot \overrightarrow{n} \quad (\star\star) \]

D’après (\(\star\)) et (\(\star\star\)) on a :

\[ \frac{V^2}{r} = G \cdot \frac{M_S}{r^2} \quad \Leftrightarrow \quad r = \frac{G \cdot M_S}{V^2} = \text{Cte} \quad \text{donc le mouvement est circulaire}. \]
\[ \frac{dV}{dt} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad V = \text{Cte} \quad \text{donc le mouvement est uniforme}. \]
Remarque :

Puisque \(\overrightarrow{F}_{S/P} = G \cdot \dfrac{m_P \cdot M_S}{r^2} \cdot \overrightarrow{n}\), alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie de la planète, est centripète.

4.2 Vitesse de la planète

On a : \(r = \dfrac{G \cdot M_S}{V^2}\) donc :

\[ \boxed{V = \sqrt{\frac{G \cdot M_S}{r}}} \]
Cette expression montre que la vitesse de la planète est indépendante de sa masse.

4.3 Période de révolution de la planète

Le mouvement du centre d’inertie de la planète est circulaire uniforme de période :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \cdot r}{V} \]

Et puisque \(V = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_S}{r}}\), alors :

\[ \boxed{T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_S}}} \]
Remarque :

On a \(T = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{r^3}{G \cdot M_S}}\) donc :

\[ \boxed{\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_S} = \text{Cte}} \quad \text{Cette relation représente la 3ème loi de Kepler.} \]

5 Étude du mouvement d’un satellite autour de la Terre

On considère un satellite de masse \(m_s\) et de centre d’inertie S en mouvement autour de la Terre de masse \(M_T\) et de centre T.

5.1 Nature du mouvement

On choisit le référentiel géocentrique pour étudier le mouvement.

  • ❐ Le système étudié : {Le satellite S}
  • ❐ Bilan des forces : La force exercée par la Terre
\[ \overrightarrow{F}_{T/S} = -G \cdot \frac{m_s \cdot M_T}{r^2} \cdot \overrightarrow{u}_{TS} = G \cdot \frac{m_s \cdot M_T}{r^2} \cdot \overrightarrow{n} \quad \text{avec} \quad r = R_T + h \]

❐ Application de la deuxième loi de Newton :

\[ \sum \overrightarrow{F}_{ext} = m_s \cdot \overrightarrow{a}_S \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{F}_{T/S} = m_s \cdot \overrightarrow{a}_S \]

Donc :

\[ \overrightarrow{a}_S = G \cdot \frac{M_T}{r^2} \cdot \overrightarrow{n} \quad (\star) \]
Mouvement d'un satellite autour de la Terre
Satellite autour de la Terre

Dans le repère de Frenet, on a :

\[ \overrightarrow{a}_S = \frac{dV}{dt} \cdot \overrightarrow{u} + \frac{V^2}{r} \cdot \overrightarrow{n} \quad (\star\star) \]

D’après (\(\star\)) et (\(\star\star\)) on a :

\[ \frac{V^2}{r} = G \cdot \frac{M_T}{r^2} \quad \Leftrightarrow \quad r = \frac{G \cdot M_T}{V^2} = \text{Cte} \quad \text{donc le mouvement est circulaire}. \]
\[ \frac{dV}{dt} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad V = \text{Cte} \quad \text{donc le mouvement est uniforme}. \]
Remarque :

Puisque \(\overrightarrow{F}_{T/S} = G \cdot \dfrac{m_s \cdot M_T}{r^2} \cdot \overrightarrow{n}\), alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie du satellite, est centripète.

5.2 Vitesse du satellite

On a : \(r = R_T + h = \dfrac{G \cdot M_T}{V^2}\) donc :

\[ \boxed{V = \sqrt{\frac{G \cdot M_T}{R_T + h}}} \]
Cette expression montre que la vitesse du satellite est indépendante de sa masse.

5.3 Période de révolution du satellite

Le mouvement du satellite est circulaire uniforme de période :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \cdot (R_T + h)}{V} \]

Et puisque \(V = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_T}{R_T + h}}\), alors :

\[ \boxed{T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}}} \]

5.4 Satellites géostationnaires

Un satellite est géostationnaire s’il reste immobile pour un observateur terrestre.

Pour qu’un satellite soit géostationnaire par rapport à la Terre, il faut :

  • ✍ Qu’il décrive un mouvement circulaire uniforme dans un plan contenant l’équateur.
  • ✍ Qu’il tourne dans le même sens que la Terre.
  • ✍ Que sa période de révolution soit égale à la période de rotation de la Terre (\(T \approx 24\ \text{h}\)).

On peut calculer la hauteur \(h\) à laquelle un satellite soit géostationnaire par rapport à la Terre :

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}} \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt[3]{\frac{T^2 \cdot G \cdot M_T}{4\pi^2}} – R_T \approx 36\,000\ \text{km} \]
Chapitre 13 : Satellites artificiels et planètes 2BACSPF

📚 D'autres cours : A13 : Satellites artificiels et planètes 1+4h