Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe

Chapitre 14 – Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe
Physique-Chimie
Chapitre 14

Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Abscisse angulaire – Vitesse angulaire – Accélération angulaire

Rappel :

Un corps solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe (Δ) si tous les points du solide décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe de rotation (Δ).

1.1 Repérage d’un point d’un solide

On repère la position d’un point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) en utilisant :

  • ☞ L’abscisse angulaire :
    \[ \theta(t) = \left(\widehat{\overrightarrow{OM}_0, \overrightarrow{OM}}\right) \]
  • ☞ L’abscisse curviligne : \(s(t) = \widehat{M_0M}\)
Remarque :

La relation entre l’abscisse curviligne et l’abscisse angulaire est : \(s = R \cdot \theta\)

Repérage d'un point en rotation
Repérage d’un point M

1.2 Vitesse angulaire

\[ \omega = \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} \quad \text{avec } \omega \text{ en (rad·s}^{-1}\text{)} \]
\[ \boxed{V = R \cdot \omega} \quad \text{Relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire} \]

1.3 Accélération angulaire

L’accélération angulaire \(\ddot{\theta}\) est la dérivée par rapport au temps de la vitesse angulaire :

\[ \ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \quad \text{en (rad·s}^{-2}\text{)} \]

Dans la base de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :

\[ \overrightarrow{a} = a_T \cdot \overrightarrow{u} + a_N \cdot \overrightarrow{n} \]

Tel que :

\[ \begin{cases} a_T = \dfrac{dV}{dt} \\ a_N = \dfrac{V^2}{R} \end{cases} \quad \text{et puisque } V = R \cdot \dot{\theta} \quad \text{alors :} \quad \begin{cases} a_T = R \cdot \ddot{\theta} \\ a_N = R \cdot \dot{\theta}^2 \end{cases} \]
Accélération dans la base de Frenet
Base de Frenet

2 Les équations horaires du mouvement

2.1 Mouvement de rotation uniforme

On dit qu’un mouvement de rotation est uniforme si :

\[ \omega = \dot{\theta} = \text{Cte} \quad \text{c-à-d} \quad \ddot{\theta} = 0 \]

☞ Equation horaire du mouvement :

\[ \boxed{\theta(t) = \dot{\theta} \cdot t + \theta_0} \quad \text{avec } \theta_0 = \theta(t=0) \]

2.2 Mouvement de rotation uniformément varié

On dit qu’un mouvement est uniformément varié si l’accélération angulaire \(\ddot{\theta}\) est constante :

\[ \boxed{\ddot{\theta} = \text{Cte}} \]

☞ Equation horaire de la vitesse :

\[ \boxed{\dot{\theta}(t) = \ddot{\theta} \cdot t + \dot{\theta}_0} \quad \text{avec } \dot{\theta}_0 = \dot{\theta}(t=0) \text{ (vitesse angulaire initiale)} \]

☞ Equation horaire du mouvement :

\[ \boxed{\theta(t) = \frac{1}{2} \cdot \ddot{\theta} \cdot t^2 + \dot{\theta}_0 \cdot t + \theta_0} \quad \text{avec } \theta_0 = \theta(t=0) \]

3 La relation fondamentale de la dynamique (RFD)

3.1 Moment d’une force (Rappel)

Le moment par rapport à un axe (Δ) d’une force \(\overrightarrow{F}\) est le produit de l’intensité \(F\) de cette force et la distance \(d\) qui sépare la droite d’action de la force \(\overrightarrow{F}\) et l’axe de rotation :

\[ \mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F}) = \pm F \cdot d \quad \text{avec } d = OH \]

Le signe (\(\pm\)) dépend du sens positif de rotation.

Moment d'une force
Moment d’une force

3.2 Énoncé de la relation fondamentale de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la somme des moments des forces, appliquées à un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ), est égale au moment d’inertie \(J_\Delta\) du solide multiplié par l’accélération angulaire \(\ddot{\theta}\) :

\[ \boxed{\sum \mathcal{M}_\Delta\left(\overrightarrow{F}_{ext}\right) = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}} \]

Avec :

  • \(J_\Delta\) : Moment d’inertie du corps solide en (kg·m²) ;
  • \(\ddot{\theta}\) : Accélération angulaire en (rad·s\(^{-2}\)).

Expression du moment d’inertie de quelques corps solides :

Tige avec axe à l'extrémité
Tige (Δ passe par son extrémité)
\(J_\Delta = \frac{1}{3} \cdot m \cdot l^2\)
Tige avec axe au centre
Tige (Δ passe par son centre)
\(J_\Delta = \frac{1}{12} \cdot m \cdot l^2\)
Sphère pleine
Sphère pleine
\(J_\Delta = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2\)
Disque ou cylindre plein
Disque ou cylindre plein
\(J_\Delta = \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2\)
Anneau ou cylindre creux
Anneau ou cylindre creux
\(J_\Delta = m \cdot r^2\)
Chapitre 14 : Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un axe fixe 2BACSPF

📚 D'autres cours : A14 : Mouvement de rotation 2+4h