Cours: Chute verticale d’un solide
Chute verticale d’un solide
1 Les forces exercées sur un corps dans un fluide
1.1 Le poids du corps
Dans le champ de pesanteur, au voisinage de la Terre, les corps sont soumis à une force de pesanteur exercée par la Terre qui s’appelle Poids du corps, tel que :
- \(m\) : la masse du corps en (kg)
- \(g\) : intensité du champ de pesanteur en \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) ou \((\mathrm{m\,s^{-2}})\)
1.2 La poussée d’Archimède
Tout corps immergé totalement ou partiellement dans un fluide est soumis à une force exercée par ce fluide qui s’appelle la poussée d’Archimède. Ses caractéristiques sont :
- Direction : verticale.
- Sens : orienté vers le haut.
- Intensité : égale au poids du fluide déplacé, tel que : \(F_A = m_f\,g\) avec \(m_f = \rho_f\,V\)
Expression de la poussée d’Archimède :
- \(\rho_f\) : la masse volumique du fluide en \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\)
- \(V\) : volume du liquide déplacé en \(\mathrm{m^3}\)
- \(F_A\) : intensité de la poussée d’Archimède en (N)
1.3 La force de frottement fluide
Les forces de frottement exercées par un fluide sur un corps immergé dedans sont équivalentes à une force unique appelée force de frottement fluide, et ses caractéristiques sont :
- Direction : la direction de la vitesse \(\vec{v}\).
- Sens : opposé à la vitesse \(\vec{v}\).
- Intensité : \(f = k\,v^n\) avec \(k\) une constante positive.
Expression de la force de frottement fluide :
- Si la vitesse est faible, on prend \(n=1\) et la force de frottement devient : \(f = k\,v\).
- Si la vitesse est grande, on prend \(n=2\) et la force de frottement devient : \(f = k\,v^2\).
2 Chute verticale avec frottement
2.1 Étude expérimentale
On peut évaluer la vitesse d’une bille tombant dans un fluide, suivant les étapes :
- Réaliser la chute, sans vitesse initiale, d’une bille d’acier dans un fluide.
- Enregistrer son mouvement et tracer l’évolution de la vitesse de la bille en fonction du temps.
1. Décrire l’évolution de la vitesse de la bille.
Nous constatons que la vitesse augmente (dans le régime initial), puis se stabilise (régime permanent), la bille atteint une vitesse limite.
2. Comment le graphe \(v_G(t)\) permet-il d’étudier l’évolution de l’accélération au cours du temps ? Décrire cette évolution.
Graphiquement, la valeur de l’accélération à un instant \(t\) est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe \(v=f(t)\) à cet instant. Puisque les coefficients directeurs diminuent au cours du temps, alors l’accélération diminue jusqu’à s’annuler lorsque le régime permanent est atteint.
3. Déterminer la vitesse limite \(v_{lim}\).
4. Déterminer graphiquement \(\tau\), le temps caractéristique du mouvement.
5. Déduire l’accélération initiale.
Graphiquement, la valeur de l’accélération initiale est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe \(v_G = f(t)\) à \(t=0\) :
2.2 Étude théorique
a Équation différentielle vérifiée par la vitesse
Considérons une bille de masse \(m\) totalement immergée dans un fluide de masse volumique \(\rho_f\).
Le système étudié :
{la bille}
Bilan des forces :
la bille est soumise à l’action des forces suivantes :
- \(\vec{P}\) : son poids (\(\vec{P}=m\vec{g}\), d’intensité \(P=m\,g\))
- \(\overrightarrow{F_A}\) : la poussée d’Archimède (\(\overrightarrow{F_A}=-\rho_f V\vec{g}\), d’intensité \(F_A = m_f\,g\))
- \(\vec{f}\) : la force de frottement fluide (\(\vec{f}=-k v^n \vec{v}_u\), d’intensité \(f=k\,v^n\))
Choix du repère :
On considère le repère (Oz) orienté vers le bas.
Application de la 2ème loi de Newton :
La projection de la relation \((\divideontimes)\) sur l’axe (Oz) donne :
On obtient :
Donc :
b Détermination de la vitesse limite \(v_{lim}\)
Lorsque le régime permanent est établi, la vitesse de la bille devient constante \(v=v_{lim}=cte\), c’est-à-dire :
On obtient :
On remplace l’expression de \(A\) et \(B\), et on trouve :
c Détermination de l’accélération initiale \(a_0\)
À chaque instant durant le mouvement :
Donc l’accélération initiale de la bille est :
d Solution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
La méthode d’Euler est une méthode itérative (c’est-à-dire qu’elle nécessite la répétition d’un même calcul).
On peut déterminer les grandeurs cinétiques (vitesses et accélérations) à un instant donné en utilisant :
- L’équation différentielle à l’instant \(t_i\) : \(a_i = \dfrac{dv}{dt} = A – B\,v_i^{\,n}\) (pour le même point : connaître la vitesse d’un point, c’est déterminer son accélération, et réciproquement).
- L’expression de la vitesse : \(v_{i+1} = v_i + a_i\,\Delta t\) (connaître la vitesse et l’accélération d’un point \(M_i\), on peut déterminer la vitesse du point suivant \(M_{i+1}\)) avec \(\Delta t\) représentant le pas de calcul.
| L’instant \(t_i\) | Vitesse \(v_i\) | Accélération \(a_i\) |
|---|---|---|
| \(t_0=0\) | \(v_0\) | \(a_0 = A – B\,v_0^{\,n}\) |
| \(t_1=t_0+\Delta t\) | \(v_1=v_0+a_0\,\Delta t\) | \(a_1 = A – B\,v_1^{\,n}\) |
| \(t_2=t_1+\Delta t\) | \(v_2=v_1+a_1\,\Delta t\) | \(a_2 = A – B\,v_2^{\,n}\) |
| … | … | … |
3 La chute libre d’un corps solide
3.1 Définition
Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
3.2 Étude de la chute libre d’un corps
Considérons une bille d’acier de masse \(m\) en chute libre verticale.
Le système étudié :
{la bille}
Bilan des forces :
la bille est soumise à l’action des forces suivantes :
- \(\vec{P}\) : son poids (\(\vec{P}=m\vec{g}\), d’intensité \(P=m\,g\))
Choix du repère :
On considère le repère (Oz) orienté vers le bas.
Application de la 2ème loi de Newton :
En projetant la relation \((\divideontimes)\) sur l’axe (Oz) :
On obtient :
Donc :
- L’équation de la vitesse : \(v_z(t) = g\,t + V_0\) avec \(V_0 = v_z(t=0)\)
- L’équation horaire du mouvement : \(z(t) = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + V_0\,t + z_0\) avec \(z_0 = z(t=0)\)
- Si \(v_0=0\) et \(z_0=0\), alors : \(v_z(t) = g\,t\) et \(z(t) = \dfrac{1}{2}\,g\,t^2\).
- Si l’axe (Oz) est orienté vers le haut, alors : \(a_z = -g\) et \(v_z(t) = -g\,t+V_0\) et \(z(t) = -\dfrac{1}{2}\,g\,t^2 + V_0\,t + z_0\).