Cours : Satellites artificiels et planètes

Chapitre 13 – Mécanique : Satellites artificiels et planètes

Satellites artificiels et planètes

Niveau : 2BACSPF · 4^ème partie : La mécanique

1 Référentiel héliocentrique – Référentiel géocentrique

Référentiel héliocentrique : son origine est le centre du Soleil et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.
Référentiel géocentrique : son origine est le centre de la Terre et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.

Remarques :

Ces deux référentiels sont considérés comme galiléens (les lois de Newton y sont applicables).
L’étude du mouvement des planètes s’effectue dans un référentiel héliocentrique. L’étude du mouvement des satellites de la Terre se fait dans un référentiel géocentrique.

2 Les lois de Kepler

1^ère loi de Kepler : Loi des orbites elliptiques

Dans un référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe l’un des foyers.

Orbite elliptique d'une planète avec foyers F et F', grand axe 2a

Orbite elliptique : foyers F, F’ et grand axe \(2a\)

2^ème loi de Kepler : Loi des aires

Le segment de droite [SP] reliant le Soleil S à une planète P balaie des aires égales pendant des durées égales. Pendant la même durée \(\Delta t = t_2-t_1 = t_4-t_3\), les aires balayées sont égales : \(\mathcal{A}_1=\mathcal{A}_2\)

Loi des aires de Kepler : aires A1 et A2 balayées par le segment SP

Loi des aires : \(\mathcal{A}_1=\mathcal{A}_2\)

3^ème loi de Kepler : Loi des périodes

Le rapport entre le carré de \(T\), la période de révolution de la planète autour du Soleil, et le cube du demi-grand axe \(a\) de l’orbite elliptique, est constant.

\[ \frac{T^2}{a^3} = Cte \]

avec : \(T\) : la période de révolution en (s) · \(a\) : le demi-grand axe en (m)

Remarques :

La période de révolution d’une planète autour du Soleil est la durée pour qu’elle effectue un tour complet autour du Soleil.
La 3^ème loi de Kepler pour les planètes dont les orbites sont circulaires de rayon \(r\) est : \(\dfrac{T^2}{r^3}=Cte\)

3 Loi de la gravitation universelle (Rappel)

Deux corps ponctuels A et B de masses respectives \(m_A\) et \(m_B\), séparés par la distance \(d=AB\), exercent l’un sur l’autre des forces d’interactions \(\overrightarrow{F_{A/B}}\) et \(\overrightarrow{F_{B/A}}\) ayant :

même droite d’action (AB)
deux sens opposés
même intensité : \(F_{A/B}=F_{B/A}=G\dfrac{m_A\,m_B}{d^2}\)

Forces d'interaction gravitationnelle entre deux corps A et B

Interaction gravitationnelle entre A et B

Les expressions des forces d’interactions sont donc :

\[ \overrightarrow{F_{A/B}} = -\overrightarrow{F_{B/A}} = -G\,\frac{m_A\,m_B}{d^2}\,\vec{u}_{AB} \]

\(G = 6{,}67\times10^{-11}\) (SI) : la constante de gravitation universelle
\(\vec{u}_{AB}\) : vecteur unitaire

4 Étude du mouvement d’une planète autour du Soleil

On considère une planète de masse \(m_P\) et de centre d’inertie P en mouvement autour du Soleil de masse \(M_S\) et de centre S.

4.1 Nature du mouvement

On choisit le référentiel héliocentrique pour étudier le mouvement.

Le système étudié :

{La planète P}

Bilan des forces :

la force exercée par le Soleil :

\[ \overrightarrow{F_{S/P}} = -G\frac{m_P\,M_S}{r^2}\,\vec{u}_{SP} = G\frac{m_P\,M_S}{r^2}\,\vec{n} \]

Application de la deuxième loi de Newton :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m_P\,\vec{a}_P \;\Rightarrow\; \overrightarrow{F_{S/P}} = m_P\,\vec{a}_P \]

Force gravitationnelle FS/P du Soleil sur la planète, avec vecteurs u, n, uSP

Force \(\overrightarrow{F_{S/P}}\) exercée par le Soleil sur la planète

Donc :

\[ G\frac{m_P\,M_S}{r^2}\,\vec{n} = m_P\,\vec{a}_P \]

D’où :

\[ \vec{a}_P = G\frac{M_S}{r^2}\,\vec{n} \qquad (\divideontimes) \]

Dans le repère de Frenet, on a :

\[ \vec{a}_P = \frac{dV}{dt}\,\vec{u} + \frac{V^2}{r}\,\vec{n} \qquad (\divideontimes\divideontimes) \]

D’après \((\divideontimes)\) et \((\divideontimes\divideontimes)\), on a :

\(\dfrac{V^2}{r} = G\dfrac{M_S}{r^2} \;\Leftrightarrow\; r=\dfrac{G\,M_S}{V^2}=Cte\) : donc le mouvement est circulaire.
\(\dfrac{dV}{dt}=0 \;\Leftrightarrow\; V=Cte\) : donc le mouvement est uniforme.

Remarque : Puisque \(\overrightarrow{F_{S/P}}=G\dfrac{m_P\,M_S}{r^2}\,\vec{n}\), alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie de la planète, est centripète.

4.2 Vitesse de la planète

On a : \(r=\dfrac{G\,M_S}{V^2}\), donc :

\[ \boxed{V = \sqrt{\frac{G\,M_S}{r}}} \]

☞Cette expression montre que la vitesse de la planète est indépendante de sa masse.

4.3 Période de révolution de la planète

Le mouvement du centre d’inertie de la planète est circulaire uniforme de période :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\,r}{V} \]

Et puisque \(V=\sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}\), alors :

\[ T = \frac{2\pi\,r}{\sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}} \;\Rightarrow\; T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_S}} \]

Remarque : On a \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M_S}}\), donc :

\[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\,M_S} = Cte \]

Cette relation représente la 3^ème loi de Kepler.

5 Étude du mouvement d’un satellite autour de la Terre

On considère un satellite de masse \(m_S\) et de centre d’inertie S en mouvement autour de la Terre de masse \(M_T\) et de centre T.

5.1 Nature du mouvement

On choisit le référentiel géocentrique pour étudier le mouvement.

Le système étudié :

{Le satellite (S)}

Bilan des forces :

la force exercée par la Terre :

\[ \overrightarrow{F_{T/S}} = -G\frac{m_S\,M_T}{r^2}\,\vec{u}_{TS} = G\frac{m_S\,M_T}{r^2}\,\vec{n} \quad\text{avec } r=R_T+h \]

Application de la deuxième loi de Newton :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m_S\,\vec{a}_S \;\Rightarrow\; \overrightarrow{F_{T/S}} = m_S\,\vec{a}_S \]

Force gravitationnelle FT/S de la Terre sur le satellite, avec r, h, RT

Force \(\overrightarrow{F_{T/S}}\) exercée par la Terre sur le satellite

Donc :

\[ G\frac{m_S\,M_T}{r^2}\,\vec{n} = m_S\,\vec{a}_S \]

D’où :

\[ \vec{a}_T = G\frac{M_T}{r^2}\,\vec{n} \qquad (\divideontimes) \]

Dans le repère de Frenet, on a :

\[ \vec{a}_T = \frac{dV}{dt}\,\vec{u} + \frac{V^2}{r}\,\vec{n} \qquad (\divideontimes\divideontimes) \]

D’après \((\divideontimes)\) et \((\divideontimes\divideontimes)\), on a :

\(\dfrac{V^2}{r} = G\dfrac{M_T}{r^2} \;\Leftrightarrow\; r=\dfrac{G\,M_T}{V^2}=Cte\) : donc le mouvement est circulaire.
\(\dfrac{dV}{dt}=0 \;\Leftrightarrow\; V=Cte\) : donc le mouvement est uniforme.

Remarque : Puisque \(\overrightarrow{F_{T/S}}=G\dfrac{m_S\,M_T}{r^2}\,\vec{n}\), alors on dit que la force gravitationnelle, appliquée au centre d’inertie du satellite, est centripète.

5.2 Vitesse du satellite

On a : \(r=R_T+h=\dfrac{G\,M_T}{V^2}\), donc :

\[ \boxed{V = \sqrt{\frac{G\,M_T}{R_T+h}}} \]

☞Cette expression montre que la vitesse du satellite est indépendante de sa masse.

5.3 Période de révolution du satellite

Le mouvement du satellite est circulaire uniforme de période :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\,(R_T+h)}{V} \]

Et puisque \(V=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T+h}}\), alors :

\[ T = \frac{2\pi\,(R_T+h)}{\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{R_T+h}}} \;\Rightarrow\; T = 2\pi\sqrt{\frac{(R_T+h)^3}{G\,M_T}} \]

6 Satellites géostationnaires

Un satellite est géostationnaire s’il reste immobile pour un observateur terrestre.

Pour qu’un satellite soit géostationnaire par rapport à la Terre, il faut :

qu’il décrive un mouvement circulaire uniforme dans un plan contenant l’équateur ;
qu’il tourne dans le même sens que la Terre ;
que sa période de révolution soit égale à la période de rotation de la Terre (\(T\approx24\ \mathrm{h}\)).

On peut calculer la hauteur \(h\) à laquelle un satellite est géostationnaire par rapport à la Terre :

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(R_T+h)^3}{G\,M_T}} \;\Rightarrow\; h = \sqrt[3]{\frac{T^2\,G\,M_T}{4\pi^2}} – R_T \approx 36\,000\ \mathrm{km} \]