Cours : Les mouvements plans

Chapitre 12 – Mécanique : Les mouvements plans
Physique-Chimie
Chapitre 12

Les mouvements plans

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

Un projectile (S) de masse \(m\) est lancé en un point O avec une vitesse initiale \(\vec{V_0}\) faisant un angle \(\alpha\) avec l’horizontale ; le projectile se déplace dans un champ de pesanteur \(\vec{g}\) (supposé uniforme).

Trajectoire parabolique d'un projectile dans le champ de pesanteur avec vecteur vitesse initiale V0 et angle alpha
Lancement du projectile avec une vitesse initiale \(\vec{V_0}\)

1.1 Équations horaires du mouvement

On étudie le mouvement dans le repère R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\)), supposé galiléen, confondu avec le plan du mouvement du projectile.

Les conditions initiales : à \(t=0\)

\[ \begin{cases} x_0=0 \\ y_0=0 \end{cases} \qquad\text{et}\qquad \vec{V_0}\begin{cases} V_{0x}=V_0\cos\alpha \\ V_{0y}=V_0\sin\alpha \end{cases} \]

Le système étudié :

{Le projectile}

Bilan des forces :

la bille est soumise à l’action de son poids \(\vec{P}\)

Application de la 2ème loi de Newton :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G \quad\Rightarrow\quad \vec{P} = m\,\vec{a}_G \quad (\divideontimes) \]

La projection dans le repère (O, x, y) donne :

\[ \begin{cases} P_x=m\,a_x \\ P_y=m\,a_y \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} 0=m\,a_x \\ -P=m\,a_y \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} a_x=0 \\ -m\,g=m\,a_y \end{cases} \]

Donc :

\[ \begin{cases} a_x=0 \\ a_y=-g \end{cases} \]

On a :

\[ \begin{cases} a_x=\dfrac{dV_x}{dt}=0 \\[4pt] a_y=\dfrac{dV_y}{dt}=-g \end{cases} \quad\text{donc, par intégration :}\quad \begin{cases} V_x=C \\ V_y=-g\,t+C’ \end{cases} \]

En utilisant les conditions initiales, on a :

\[ \begin{cases} V_x(t=0)=V_{0x}=V_0\cos\alpha=C \\ V_y(t=0)=V_{0y}=V_0\sin\alpha=C’ \end{cases} \quad\text{donc :}\quad \begin{cases} C=V_0\cos\alpha \\ C’=V_0\sin\alpha \end{cases} \]

D’où :

\[ \begin{cases} V_x=V_0\cos\alpha \\ V_y=-g\,t+V_0\sin\alpha \end{cases} \]

On a :

\[ \begin{cases} V_x=\dfrac{dx}{dt}=V_0\cos\alpha \\[4pt] V_y=\dfrac{dy}{dt}=-g\,t+V_0\sin\alpha \end{cases} \quad\text{donc, par intégration :}\quad \begin{cases} x(t)=(V_0\cos\alpha)\,t+K \\ y(t)=-\dfrac{1}{2}g\,t^2+V_0\sin\alpha\,t+K’ \end{cases} \]

En utilisant les conditions initiales, on a :

\[ \begin{cases} x(t=0)=x_0=0=K \\ y(t=0)=y_0=0=K’ \end{cases} \quad\text{donc :}\quad \begin{cases} K=0 \\ K’=0 \end{cases} \]
D’où les équations horaires du mouvement du projectile :
\[ \boxed{ \begin{cases} x(t)=(V_0\cos\alpha)\,t \\ y(t)=-\dfrac{1}{2}g\,t^2+V_0\sin\alpha\,t \end{cases} } \]

1.2 Équation de la trajectoire

On obtient l’équation de la trajectoire en éliminant le temps \(t\) entre \(x\) et \(y\).

On a :

\[ \begin{cases} x(t)=(V_0\cos\alpha)\,t \\ y(t)=-\dfrac{1}{2}g\,t^2+V_0\sin\alpha\,t \end{cases} \quad\text{donc :}\quad t=\frac{x}{V_0\cos\alpha} \]

En remplaçant dans \(y\), on trouve :

\[ \boxed{ y = -\frac{g}{2\,V_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + x\tan\alpha } \]

C’est une équation d’une parabole.

1.3 Les caractéristiques de la trajectoire

a Le sommet S / la flèche de la trajectoire

Le sommet S de la trajectoire est l’altitude maximale atteinte par le projectile.

Au point S : \(V_y(t_S)=0\), donc :

\[ -g\,t_S+V_0\sin\alpha=0 \;\Leftrightarrow\; t_S=\frac{V_0\sin\alpha}{g} \]

On remplace \(t_S\) dans \(x(t)\) et \(y(t)\) : les coordonnées du sommet S :

\[ \begin{cases} x_S=\dfrac{V_0^2\sin2\alpha}{2g} \\[4pt] y_S=\dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g} \end{cases} \]

\(y_S\) représente la flèche.

Sommet S de la trajectoire parabolique avec coordonnées xS et yS
Sommet S de la trajectoire

b La portée

La portée : c’est la distance OP qui sépare le point de lancement du projectile et le point de sa retombée sur (Ox).

Au point P, on a \(y_P=0\), alors :

\[ -\frac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha}\,x_P^2+x_P\tan\alpha=0 \;\Rightarrow\; x_P\left(-\frac{g}{2V_0^2\cos^2\alpha}\,x_P+\tan\alpha\right)=0 \]

Donc : \(x_P=OP=\dfrac{V_0^2\sin2\alpha}{g}\), car \(x_P=0\) correspond au point de lancement.

Portée OP de la trajectoire parabolique avec point de chute P
Portée \(OP\) de la trajectoire
Remarque : La plus grande portée correspond à \(\sin2\alpha=1 \;\Rightarrow\; 2\alpha=\dfrac{\pi}{2} \;\Rightarrow\; \alpha=\dfrac{\pi}{4}\).

2 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

2.1 La force magnétique

Toute particule chargée de charge \(q\), animée d’une vitesse \(\vec{v}\) et placée dans un champ magnétique \(\vec{B}\), est soumise à l’action d’une force magnétique appelée force de Lorentz, donnée par la relation suivante :

\[ \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \]

Les caractéristiques de la force magnétique sont :

  • Le point d’application : la particule supposée ponctuelle.
  • La direction : la force magnétique \(\vec{F}\) est perpendiculaire au plan \((\vec{B},\vec{v})\).
  • Le sens : il est donné par la règle de la main droite suivante : les vecteurs \((q\vec{v}, \vec{B}, \vec{F})\) forment un trièdre direct, que l’on modélise par la règle de la main droite.
  • L’intensité : \(F=q\,v\,B\,\sin(\widehat{\vec{v},\vec{B}})\)
Règle de la main droite avec vecteurs B, qV et F
Règle de la main droite
Remarque :
  • Si la charge \(q>0\), le produit \(q\vec{v}\) a le même sens que le vecteur vitesse \(\vec{v}\).
  • Si la charge \(q<0\), le produit \(q\vec{v}\) a le sens contraire de celui du vecteur vitesse \(\vec{v}\).
Application

Compléter les figures suivantes en déterminant le sens de la force magnétique \(\vec{F}\), connaissant le sens de \(\vec{v}\), \(\vec{B}\) (sortant ou entrant) et le signe de la charge \(q\).

Cas particulier : si \(\vec{v}\perp\vec{B}\), alors : \(F = q\,v\,B\)

2.2 Étude du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme : \(\vec{v}\perp\vec{B}\)

a Conservation de l’énergie cinétique

Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, la particule chargée est soumise :

  • à la force magnétique \(\vec{F}=q\vec{v}\wedge\vec{B}\)
  • à son poids \(\vec{P}\) (\(P\) négligeable devant \(F\))

La force \(\vec{F}\) reste constamment normale au vecteur vitesse \(\vec{v}\) de la particule chargée ; le produit scalaire \(\vec{F}\cdot\vec{v}=0\).

Donc la puissance de la force magnétique est nulle au cours du temps.

\[ \mathcal{P} = \frac{dE_C}{dt} = 0 \quad\text{D’où}\quad E_C = cte \]

Or \(E_C = \dfrac{1}{2}m\,v^2\), alors :

\[ \boxed{v = cte} \]

Donc le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique est uniforme.

b Repère d’étude

On considère que la particule chargée est un électron. En appliquant la deuxième loi de Newton, on a :

\[ \vec{F} = m\,\vec{a} \]

Par projection sur l’axe (Oz) :

\[ F_z = m\,a_z \;\Rightarrow\; a_z=0 \]

(car \(\vec{F}\) est perpendiculaire à l’axe (Oz))

Donc \(\dfrac{dv_z}{dt}=0\) et par intégration : \(v_z=cte\)

En utilisant les conditions initiales : à \(t=0\), \(\vec{v_0}\) est perpendiculaire à l’axe (Oz), donc \(v_z(0)=0=cte\). On obtient \(v_z=0\).

Repère d'étude avec V0, F, B perpendiculaires
Repère d’étude (O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\))

Donc : \(\dfrac{dz}{dt}=0\) et par intégration : \(z=cte\)

D’où le mouvement de l’électron dans le champ magnétique s’effectue dans le plan perpendiculaire à \(\vec{B}\) et contenant le vecteur \(\vec{v_0}\), c’est-à-dire dans le plan (O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\)).

c Nature du mouvement

Le mouvement étant plan et généralement curviligne, on l’étudie dans la base de Frenet (M, \(\vec{u}\), \(\vec{n}\)) liée à la particule. Dans la base de Frenet, l’accélération a pour expression :

\[ \vec{a} = a_T\,\vec{u}+a_N\,\vec{n} = \frac{dv}{dt}\,\vec{u}+\frac{v^2}{\rho}\,\vec{n} \]

Le système étudié :

{La particule}

Bilan des forces :

la particule est soumise à l’action de la force magnétique \(\vec{F}\) (son poids est négligeable devant la force \(\vec{F}\))

Trajectoire circulaire de la particule dans la base de Frenet avec u, n, F, B
Mouvement circulaire dans la base de Frenet

Application de la 2ème loi de Newton :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G \quad\Rightarrow\quad \vec{F} = m\,\vec{a}_G \]

La projection dans le repère de Frenet :

Sur la tangentielle (M, \(\vec{u}\)) : \(F_T = m\,a_T\), et puisque \(F_T=0\), alors \(a_T=\dfrac{dv}{dt}=0\)

c’est-à-dire que \(v=cte\), donc le mouvement est uniforme.

Sur la normale (M, \(\vec{n}\)) : \(F_N = m\,a_N\), avec \(F_N=q\,v\,B\) et \(a_N=\dfrac{v^2}{\rho}\) :

\[ q\,v\,B = m\,\frac{v^2}{\rho} \]

Donc :

\[ \rho = \frac{m\,v}{q\,B} = cte \]

Puisque le rayon de courbure \(\rho\) est constant, alors le mouvement de la particule est circulaire de rayon :

\[ \boxed{R = \frac{m\,v}{q\,B}} \]

2.3 La déflexion magnétique

Activité

On fait pénétrer un faisceau d’électrons dans une région de l’espace de largeur \(\ell\) dans laquelle règne un champ magnétique \(\vec{B}\) uniforme avec une vitesse \(\vec{v_0}\). Le faisceau d’électrons est soumis à l’action de la force magnétique et son mouvement devient circulaire de rayon \(R=\dfrac{m\,v}{q\,B}\) dans le champ magnétique. Les électrons du faisceau quittent le champ magnétique au point S et prennent un mouvement rectiligne uniforme jusqu’à ce qu’ils rencontrent l’écran au point P. En l’absence du champ magnétique, le faisceau d’électrons rencontre l’écran au point O’. On appelle déflexion magnétique la distance \(D_m=O’P\).

Schéma de la déflexion magnétique avec triangles CHS et IO'P, distances L, l, R, Dm
Déflexion magnétique du faisceau d’électrons

(1) En utilisant le triangle (CHS), déterminer l’expression de \(\sin\alpha\).

\[ \sin\alpha = \frac{\ell}{R} \]

(2) En utilisant le triangle (IO’P), déterminer l’expression de \(\tan\alpha\).

\[ \tan\alpha = \frac{D_m}{L-OI} \approx \frac{D_m}{L} \]

(3) Dans les appareils utilisés, on a généralement des angles \(\alpha\) petits et \(L \gg OI\). Déterminer l’expression de la déviation magnétique \(D_m\).

\[ D_m = \frac{q\,L\,\ell\,B}{m\,v_0} = K\cdot B \]
La déflexion magnétique est proportionnelle à \(B\).

2.4 Applications

a Le spectromètre de masse

Le spectromètre de masse est un appareil qui permet de séparer des ions ayant des masses et des charges différentes en utilisant les actions d’un champ magnétique et d’un champ électrique. Il se compose de :

  • Une chambre d’ionisation, à partir de laquelle partent les ions avec une vitesse nulle.
  • Une chambre d’accélération, dans laquelle on accélère les ions par un champ électrique uniforme, et les ions la quittent avec une vitesse \(v\).
  • Une chambre de séparation, dans laquelle on sépare les ions en utilisant un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\perp\vec{v}\) et dans laquelle les ions décrivent une trajectoire demi-circulaire.
Spectromètre de masse : chambre d'ionisation, d'accélération, de séparation et détecteur
Schéma du spectromètre de masse

Lorsque l’ion qui pénètre dans la chambre de séparation avec une vitesse \(\vec{v}\perp\vec{B}\), il sera soumis à l’action de la force magnétique \(\vec{F}=q\vec{v}\wedge\vec{B}\) et aura un mouvement circulaire de rayon : \(R=\dfrac{m\,v}{q\,B}\).

Chaque ion décrira un demi-cercle de diamètre :

\[ D = 2R = \frac{2\,m\,v}{q\,B} \]

Or le rayon dépend de la masse : chaque ion aura un cercle différent de celui des autres, ce qui permettra de séparer les ions les uns des autres.

b Le cyclotron

Le cyclotron est un accélérateur de particules ; il se compose de deux boîtes en forme de demi-cylindre appelées « dees », posées dans un champ magnétique uniforme. Entre les boîtes existe un oscillateur qui produit un champ électrique uniforme et alternatif, de période \(T\) égale à la demi-période de rotation de la particule dans sa trajectoire circulaire ; de cette façon, la particule est accélérée chaque fois qu’elle pénètre dans le champ électrique, et finalement la particule quitte le cyclotron avec une grande vitesse.

Schéma du cyclotron avec deux dees, champ magnétique B et champ électrique E
Schéma du cyclotron
Chapitre 12 : Les mouvements plans 2BACSPF

📚 D'autres cours : A12 : Les mouvements plans 1+4h

Éditeur LaTeX

✕
copy paste