Déflexion magnétique | Spectromètre de masse & Cyclotron -4

Déflexion magnétique | Spectromètre de masse & Cyclotron

🧲 2.6 La déflexion magnétique

Déviation d’un faisceau d’électrons – Applications : spectromètre de masse, cyclotron

📐 Principe de la déflexion magnétique

Un faisceau d’électrons pénètre dans une région de largeur \( L \) où règne un champ magnétique uniforme \( \vec{B} \) (perpendiculaire à la vitesse initiale \( \vec{v}_0 \)). Sous l’effet de la force de Lorentz, les électrons décrivent un arc de cercle de rayon \( R = \dfrac{m v_0}{|q| B} \).

📐 Schéma de la déflexion :

En l’absence de champ magnétique, le faisceau atteint l’écran en O’. Avec le champ, le point d’impact est P → la déflexion magnétique est \( D_m = O’P \).

📏 Expression de la déflexion magnétique

D’après le triangle \( CHS \) (centre du cercle, point d’entrée/sortie) :

\[ \sin\alpha = \frac{L}{R} \]

Dans le triangle \( IO’P \) (zone après le champ, approximation petits angles) :

\[ \tan\alpha \approx \alpha \approx \frac{D_m}{L} \]

Pour des angles \( \alpha \) petits, \( \sin\alpha \approx \alpha \) et \( L \gg OI \), on obtient :

\[ D_m = \frac{|q| \cdot L \cdot B \cdot L}{m v_0} = \frac{|q| B L^2}{m v_0} \]

📌 Conclusion : La déflexion magnétique est proportionnelle au champ magnétique \( B \).
\[ D_m = K \cdot B \quad \text{avec} \quad K = \frac{|q| L^2}{m v_0} \]

💡 Application pratique : En mesurant \( D_m \) on peut remonter au rapport \( q/m \) de la particule, ou à sa vitesse. C’est le principe des tubes cathodiques (anciens oscilloscopes).

⚛️ 2.7.1 Le spectromètre de masse

Appareil permettant de séparer des ions de masses différentes en utilisant un champ magnétique. Il comporte trois parties :

Chambre d’ionisation : les atomes sont ionisés (chargés \( q \)), vitesse nulle.
Chambre d’accélération : les ions sont accélérés par un champ électrique \( E \). Ils acquièrent une vitesse \( v \) telle que \( \frac12 m v^2 = |q| U \) ( \( U \) : tension accélératrice).
Chambre de séparation : règne un champ magnétique \( \vec{B} \) uniforme perpendiculaire à la vitesse. Les ions décrivent un demi-cercle de rayon \( R = \dfrac{m v}{|q| B} \).

\[ D = 2R = \frac{2 m v}{|q| B} = \frac{2}{|q| B} \sqrt{ 2|q|U m } = \frac{2}{B} \sqrt{ \frac{2 m U}{|q|} } \]

🧪 Séparation isotopique : Pour une même charge \( q \), le diamètre \( D \) dépend de \( \sqrt{m} \). Les ions plus lourds décrivent un cercle de plus grand rayon → on recueille chaque espèce à un endroit différent de la plaque photographique.

📊 Exemple : Séparation des isotopes du néon \( ^{20}\text{Ne}^+ \) et \( ^{22}\text{Ne}^+ \) dans un champ \( B \). Le rapport des diamètres est \( \sqrt{m_2/m_1} \approx \sqrt{22/20} \approx 1,05 \) → deux taches distinctes.

🔬 Trajectoire demi-circulaire dans la chambre de séparation :

Chaque ion de masse différente possède un rayon de courbure propre → séparation spatiale.

🌀 2.7.2 Le cyclotron (accélérateur de particules)

Le cyclotron est composé de deux demi-cylindres métalliques creux (les « dees ») placés dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire. Entre les dees règne un champ électrique alternatif de période \( T \).

⚡ Principe : Les particules chargées (protons, deutérons) sont accélérées chaque fois qu’elles traversent l’entrefer entre les dees, grâce au champ électrique alternatif synchronisé avec la demi-période de rotation.
La période du mouvement circulaire est \( T = \frac{2\pi m}{|q| B} \) → elle ne dépend pas de la vitesse (ni du rayon).

📌 Condition de résonance : L’oscillateur électrique doit avoir une période \( T_{\text{elec}} = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{|q| B} \) pour accélérer les particules à chaque demi-tour. Elles décrivent une spirale et gagnent en énergie jusqu’à la sortie.

\[ E_{\text{cin}} = \frac{q^2 B^2 R_{\text{max}}^2}{2m} \]

🎯 Applications : Production de faisceaux de particules pour la physique nucléaire, la radiothérapie (protonthérapie), la recherche fondamentale.

🔄 Trajectoire en spirale dans un cyclotron :

À chaque demi-tour, le champ électrique accélère la particule, le rayon augmente.

📋 Récapitulatif – Déflexion et applications

Application	Principe clé	Paramètre mesuré / séparé
Déflexion magnétique	Déviation proportionnelle à \( B \) : \( D_m = \dfrac{\|q\| B L^2}{m v_0} \)	Rapport \( q/m \) ou vitesse \( v_0 \)
Spectromètre de masse	Rayon \( R = \dfrac{mv}{\|q\|B} \) ⇒ séparation spatiale selon \( m \)	Masse des isotopes, abondances
Cyclotron	Accélération par résonance : \( T = \dfrac{2\pi m}{\|q\|B} \) indépendante de \( R \)	Énergie cinétique élevée \( E_c = \dfrac{q^2 B^2 R^2}{2m} \)

✨ À retenir : La force de Lorentz (\( \vec{F} = q\vec{v}\wedge\vec{B} \)) est utilisée à la fois pour dévier (déflexion, spectromètre) et pour accélérer indirectement (cyclotron). Le caractère non travailleur de \( \vec{F} \) (perp à \( \vec{v} \)) rend possible le mouvement circulaire uniforme.

✏️ Exercice – Spectromètre de masse

Des ions \( \text{Na}^+ \) (charge \( q = +e \)) sont accélérés par une tension \( U = 500 \, \text{V} \), puis pénètrent dans une chambre de séparation où règne \( B = 0,20 \, \text{T} \). Masse du sodium : \( m = 3,82 \times 10^{-26} \, \text{kg} \).
Calculer le rayon de la trajectoire circulaire.

🔍 Voir solution

1. Vitesse après accélération : \( \frac12 m v^2 = |q| U \) ⇒ \( v = \sqrt{\frac{2|q|U}{m}} = \sqrt{\frac{2\times 1,6\times10^{-19} \times 500}{3,82\times10^{-26}}} \).
\( 2\times 1,6\times10^{-19} \times 500 = 1,6\times10^{-16} \).
\( v = \sqrt{\frac{1,6\times10^{-16}}{3,82\times10^{-26}}} = \sqrt{4,19\times10^{9}} \approx 6,47 \times 10^4 \, m/s \).

2. Rayon : \( R = \frac{m v}{|q| B} = \frac{3,82\times10^{-26} \times 6,47\times10^{4}}{1,6\times10^{-19} \times 0,20} = \frac{2,47\times10^{-21}}{3,2\times10^{-20}} \approx 0,0772 \, m = 7,72 \, cm \).

💡 Interprétation : Le rayon est de l’ordre du centimètre, typique des spectromètres de masse. En ajustant \( B \) ou \( U \), on peut focaliser différentes masses sur le détecteur.

tags : cours