Les oscillations libres dans un circuit RLC série -2
Circuit RLC série — Équation différentielle
1.2 Equation différentielle d’un circuit RLC en série
D’après la loi d’additivité des tensions :
\[ u_L + u_R + u_C = 0 \]
Avec :
\[ u_L = L \frac{di}{dt} + ri, \quad u_R = Ri \quad \text{et} \quad i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt} \]
Donc :
\[ L \frac{di}{dt} + ri + Ri + u_C = 0 \]
D’où :
\[ L C \frac{d^2 u_C}{dt^2} + R_T C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0, \quad \text{avec} \quad R_T = R + r \]
L’équation différentielle vérifiée par la tension \( u_C \) d’un circuit RLC série en régime libre s’écrit alors :
\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{R_T}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} u_C = 0 \]
Remarque
On a :
\[ u_L + u_R + u_C = 0 \]
Avec :
\[ u_R = Ri, \quad u_L = L \frac{di}{dt} + ri, \quad i = \frac{dq}{dt}, \quad u_C = \frac{q}{C} \]
Donc :
\[ L \frac{di}{dt} + ri + Ri + \frac{q}{C} = 0 \]
Soit finalement :
\[ L \frac{d^2 q}{dt^2} + (r + R) \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0 \]
C’est l’équation différentielle vérifiée par la charge \( q(t) \).
Le terme \( \frac{R_T}{L} \frac{du_C}{dt} \) (ou \( \frac{R_T}{L} \frac{dq}{dt} \)) est responsable de l’amortissement des oscillations. En absence de ce terme, les oscillations deviennent périodiques sinusoïdales.
Graphiques
- Axes :
- Axe horizontal : \( q (\mu C) \)
- Axe vertical : \( t (ms) \)
- Graphique :
- Axe horizontal : \( t (ms) \)
- Axe vertical : \( q (\mu C) \)
Observations :
- La courbe est oscillante.
- Les oscillations sont périodiques sinusoïdales.
