Circuit LC idéal – Solutions et représentations
Circuit LC idéal — Oscillations non amorties (suite)
(b) Expression de \( U_m \) et \( \varphi \)
On a :
\[ u_c(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi\right) \quad \text{et} \quad i(t) = C \cdot \frac{du_c}{dt} \]
Donc :
\[
\begin{cases}
u_c(t) = U_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi\right) \\
i(t) = -C \cdot U_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi\right)
\end{cases}
\]
En utilisant les conditions initiales, on a :
\[
\begin{cases}
u_c(0) = E \\
i(0) = 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
U_m \cdot \cos(\varphi) = E \\
-C \cdot U_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin(\varphi) = 0
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
\cos(\varphi) = \frac{E}{U_m} \\
\sin(\varphi) = 0 \Rightarrow \varphi = 0 \quad \text{et} \quad \varphi = \pi
\end{cases}
\]
Puisque :
\[ \cos(\varphi) = \frac{E}{U_m} > 0, \quad \text{alors : } \varphi = 0 \quad \text{et} \quad U_m = E \]
D’où l’expression de la tension \( u_c(t) \) aux bornes du condensateur s’écrit :
\[ u_c(t) = E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \]
(c) Expression de la charge \( q(t) \) et de l’intensité de courant \( i(t) \)
Expression de \( q(t) \) :
On a :
\[ q(t) = C \cdot u_c(t) \quad \text{et} \quad u_c(t) = E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \]
\[ \text{donc : } q(t) = CE \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \]
D’où :
\[ q(t) = Q_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \quad \text{avec } Q_m = CE : \text{la charge maximale du condensateur} \]
Expression de \( i(t) \) :
On a :
\[ i(t) = -\frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_c}{dt} \quad \text{et} \quad u_c(t) = E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \]
\[ \text{donc : } i(t) = -C \cdot E \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \]
D’où :
\[ i(t) = -I_m \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} t\right) \quad \text{avec : } I_m = C \cdot E \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) = E \sqrt{\frac{C}{L}} \]
(d) Représentation de \( u_c \) et \( i \) en fonction du temps
📊 Graphique :
• Axe des abscisses : \( t \, (\text{ms}) \)
• Axe des ordonnées : \( u_c \, (\text{V}) \) et \( i \, (\text{mA}) \)
Courbe \( u_c(t) = E \cos(2\pi t/T_0) \) → cosinusoïdale
Courbe \( i(t) = -I_m \sin(2\pi t/T_0) \) → sinusoïdale en quadrature
• Axe des abscisses : \( t \, (\text{ms}) \)
• Axe des ordonnées : \( u_c \, (\text{V}) \) et \( i \, (\text{mA}) \)
Courbe \( u_c(t) = E \cos(2\pi t/T_0) \) → cosinusoïdale
Courbe \( i(t) = -I_m \sin(2\pi t/T_0) \) → sinusoïdale en quadrature
Annotations :
- \( T_0 \) : période propre
- \( t_0 \) : instant particulier
- \( I_m \) : amplitude du courant
- \( i(\text{mA}) \) : courant en milliampères
- \( t (\text{ms}) \) : temps en millisecondes
- \( u_c (\text{V}) \) : tension en volts
Observation : On constate que \( u_c \) et \( i \) sont en quadrature de phase car lorsque l’une est minimale ou maximale, l’autre s’annule.