Circuit RLC – Entretien des oscillations RLC

Circuit RLC – Entretien des oscillations

4 Entretien des oscillations

Pour entretenir les oscillations d’un circuit RLC libre, il faut compenser les pertes par effet Joule, pour cela on monte en série un générateur qui délivre une tension proportionnelle à l’intensité du courant \( i \) (\( u_G = k \cdot i \)) avec le circuit RLC.

D’après la loi d’additivité des tensions :

\[ u_L + u_R + u_C = u_G \]

Avec :

\[ u_L(t) = L \frac{di}{dt} + ri \quad ; \quad u_R = Ri \quad \text{et} \quad i = C \frac{du_C}{dt} \]

Donc :

\[ L \frac{di}{dt} + ri + Ri + u_C = k \cdot i \]

\[ \Rightarrow L \frac{di}{dt} + (r + R – k) \cdot i + u_C = 0 \]

D’où :

\[ LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} + (R_T – k) \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \quad ; \quad \text{avec : } R_T = R + r \]

L’équation différentielle vérifiée par la tension \( u_C \) dans le circuit s’écrit alors :

\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{(R_T – k)}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0 \]

Pour avoir des oscillations non amorties (sinusoïdales), il faut que l’équation différentielle s’écrive sous la forme :

\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0 \]

C’est-à-dire :

\[ \frac{R_T – k}{L} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_T – k = 0 \quad \text{alors : } \quad R_T = k \]

📝 Exercice : Entretien des oscillations

Énoncé

On considère un circuit RLC série comportant :

Une bobine d’inductance \( L = 100 \, \text{mH} \) et de résistance interne \( r = 5 \, \Omega \)
Un condensateur de capacité \( C = 10 \, \mu\text{F} \)
Un conducteur ohmique de résistance \( R = 15 \, \Omega \)

Pour entretenir les oscillations, on monte en série un générateur délivrant une tension \( u_G = k \cdot i \).

Questions :

Calculer la résistance totale \( R_T \) du circuit RLC.
Déterminer la valeur de \( k \) pour obtenir des oscillations non amorties.
Calculer la période propre \( T_0 \) des oscillations.
Exprimer l’équation différentielle vérifiée par \( u_C \) lorsque \( k = R_T \).
La solution de l’équation différentielle est \( u_C(t) = U_m \cos(\omega_0 t + \varphi) \). Déterminer \( \omega_0 \) puis \( T_0 \).

✅ Solution

1. Résistance totale \( R_T \) :

\[ R_T = R + r = 15 + 5 = 20 \, \Omega \]

2. Valeur de \( k \) pour oscillations non amorties :

La condition pour obtenir des oscillations non amorties est :

\[ R_T – k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = R_T = 20 \, \Omega \]

3. Période propre \( T_0 \) :

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{LC} \]

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{100 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}} \]

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} = 6,28 \times 10^{-3} \, \text{s} \]

\[ T_0 = 6,28 \, \text{ms} \]

4. Équation différentielle lorsque \( k = R_T \) :

L’équation générale est :

\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{R_T – k}{L} \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} u_C = 0 \]

Avec \( R_T – k = 0 \), le terme d’amortissement disparaît :

\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0 \]

Soit numériquement :

\[ \frac{d^2 u_C}{dt^2} + 10^6 \cdot u_C = 0 \]

5. Pulsation propre \( \omega_0 \) et période \( T_0 \) :

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \, \text{rad/s} \]

\[ \omega_0 = 10^3 \, \text{rad/s} \]

\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{1000} = 2\pi \times 10^{-3} \, \text{s} \]

\[ T_0 = 6,28 \, \text{ms} \]

On retrouve bien le même résultat qu’à la question 3.

📌 Récapitulatif des résultats

Grandeur	Valeur	Unité
\( R_T \)	20	\( \Omega \)
\( k \)	20	\( \Omega \)
\( T_0 \)	6,28	ms
\( \omega_0 \)	1000	rad/s

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