Mouvement d’un projectile | Trajectoire parabolique – 2BAC SPF

📐 Les mouvements plans

Chapitre 12 – 4ème partie : Mécanique | Niveau : 2BAC SPF

🎯 1. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

Un projectile (S) de masse \( m \) est lancé d’un point O avec une vitesse initiale \( \vec{V}_0 \) faisant un angle \( \alpha \) avec l’horizontale. Le projectile se déplace dans un champ de pesanteur uniforme \( \vec{g} \) (vertical descendant). On néglige tous les frottements.

📌 Hypothèses : repère galiléen \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), plan du mouvement = plan \( (Oxy) \), poids seule force appliquée.

🧪 Schéma du lancement :

📈 1.1 Équations horaires du mouvement

Conditions initiales : \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), \( \vec{V}_0 = V_0 \cos\alpha \, \vec{i} + V_0 \sin\alpha \, \vec{j} \)

Système : projectile. Bilan des forces : uniquement le poids \( \vec{P} = m\vec{g} \).

2ème loi de Newton : \( \vec{P} = m \vec{a} \) ⇒ \( \vec{a} = \vec{g} \).

Projection sur les axes :

\[ \begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases} \]

Intégration et utilisation des C.I. :

\[ V_x(t) = V_0 \cos\alpha \quad ; \quad V_y(t) = -g\,t + V_0 \sin\alpha \]

\[ \boxed{ x(t) = V_0 \cos\alpha \cdot t } \quad \boxed{ y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + V_0 \sin\alpha \cdot t } \]

💡 Remarque : Le mouvement horizontal est uniforme (\( V_x \) constant), le mouvement vertical est uniformément varié (accélération \( -g \)). La combinaison donne une trajectoire parabolique.

📉 Équation de la trajectoire \( y(x) \)

On élimine \( t \) entre \( x(t) \) et \( y(t) \) : \( t = \dfrac{x}{V_0 \cos\alpha} \).

\[ y(x) = -\frac{g}{2 V_0^2 \cos^2\alpha} \, x^2 + (\tan\alpha)\, x \]

Il s’agit d’une parabole de concavité tournée vers le bas (coefficient de \( x^2 \) négatif).

📊 Exemple de trajectoire : \( V_0 = 20 \, m/s \), \( \alpha = 45^\circ \)

📏 Portée horizontale & flèche (hauteur maximale)

🔝 Hauteur maximale \( H \) (flèche) : atteinte lorsque \( V_y = 0 \) ⇒ \( -g t_s + V_0 \sin\alpha = 0 \) ⇒ \( t_s = \dfrac{V_0 \sin\alpha}{g} \).
\[ H = y(t_s) = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \]

🎯 Portée horizontale \( D \) : distance parcourue lorsque le projectile retombe à la même altitude (\( y=0 \)).
Résoudre \( y(t)=0 \) ⇒ \( t = 0 \) (départ) ou \( t_D = \dfrac{2 V_0 \sin\alpha}{g} \).
\[ D = x(t_D) = \frac{V_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]

📌 La portée est maximale pour \( \alpha = 45^\circ \) (car \( \sin(2\alpha) \) maximal = 1).
Pour une même vitesse initiale, deux angles complémentaires \( \alpha \) et \( 90°-\alpha \) donnent la même portée.

💡 Exemple numérique : \( V_0 = 15 \, m/s \), \( \alpha = 30^\circ \), \( g = 9,8 \, m/s^2 \) :
\( H = \frac{(15^2)\times \sin^2 30°}{2\times 9,8} = \frac{225 \times 0,25}{19,6} \approx 2,87 \, m \)
\( D = \frac{225 \times \sin 60°}{9,8} \approx \frac{225\times 0,866}{9,8} \approx 19,9 \, m \).

✍️ Exercice d’application type BAC

Énoncé : Un projectile est lancé de l’origine avec \( V_0 = 40 \, m/s \) et \( \alpha = 60^\circ \). On prend \( g = 10 \, m/s^2 \).
Calculer : la flèche, le temps de vol, la portée, ainsi que la vitesse au sommet.

🔍 Voir correction détaillée

1. Flèche H : \( H = \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{40^2 \times (\sin 60°)^2}{20} = \frac{1600 \times (0,866)^2}{20} = \frac{1600 \times 0,75}{20} = \frac{1200}{20} = 60 \, m \)
2. Temps de vol \( t_D \) : \( t_D = \frac{2 V_0 \sin\alpha}{g} = \frac{2 \times 40 \times 0,866}{10} = \frac{69,28}{10} = 6,928 \, s \) ≈ 6,93 s
3. Portée D : \( D = V_0 \cos\alpha \times t_D = 40 \times 0,5 \times 6,928 = 20 \times 6,928 = 138,56 \, m \) (ou bien \( D = \frac{V_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{1600 \times \sin 120°}{10} = 160 \times 0,866 = 138,56 \, m \))
4. Vitesse au sommet : \( V_x = V_0 \cos\alpha = 40 \times 0,5 = 20 \, m/s \) (composante verticale nulle). \( \|V\| = 20 \, m/s \) horizontale.

🧠 Conseil : Dans les problèmes de projectile, décomposer systématiquement le mouvement en axes horizontal (uniforme) et vertical (uniformément varié). Penser à la symétrie pour le temps de montée/descente.

📋 Tableau récapitulatif – Mouvement parabolique

Grandeur	Expression	Condition / remarque
Accélération	\( a_x = 0 ,\; a_y = -g \)	Constante
Vitesse horizontale	\( V_x = V_0 \cos\alpha \)	Constante (MRU)
Vitesse verticale	\( V_y(t) = -g t + V_0 \sin\alpha \)	Annule au sommet
Position \( x(t) \)	\( x(t) = V_0 \cos\alpha \cdot t \)	Linéaire en t
Position \( y(t) \)	\( y(t) = -\frac12 g t^2 + V_0 \sin\alpha \cdot t \)	Parabole
Flèche \( H \)	\( \frac{V_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \)	Hauteur maximale
Portée \( D \)	\( \frac{V_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \)	Max pour \( \alpha = 45^\circ \)

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