Particule chargée dans un champ magnétique | Force de Lorentz, MCU

🧲 Mouvement d’une particule chargée
dans un champ magnétique uniforme

Force magnétique – Mouvement circulaire uniforme – Rayon de courbure – Période

⚡ 01 La force magnétique (Force de Lorentz)

Toute particule chargée de charge \( q \), animée d’une vitesse \( \vec{v} \) et placée dans un champ magnétique \( \vec{B} \), subit une force appelée force de Lorentz :

\[ \vec{F} = q \, \vec{v} \wedge \vec{B} \]

📌 Caractéristiques :
• Point d’application : la particule (supposée ponctuelle).
• Direction : perpendiculaire au plan \( (\vec{B}, \vec{v}) \).
• Sens : donné par la règle de la main droite (trièdre direct \( q\vec{v}, \vec{B}, \vec{F} \)).
• Intensité : \( F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin(\widehat{\vec{v},\vec{B}}) \).

💡 Remarques :
– Si \( q > 0 \), le produit \( q\vec{v} \) a le même sens que \( \vec{v} \).
– Si \( q < 0 \), le produit \( q\vec{v} \) a le sens opposé à \( \vec{v} \).
– Cas particulier : \( \vec{v} \perp \vec{B} \) → \( \sin 90° = 1 \) ⇒ \( F = |q|\, v \, B \).

📐 Règle de la main droite (schéma) :

⚡ 03 Conservation de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la particule chargée est soumise à la force magnétique \( \vec{F} \) (le poids est négligeable).

🧠 La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse : \( \vec{F} \cdot \vec{v} = 0 \) ⇒ puissance nulle.
Donc \( \frac{dE_c}{dt} = 0 \) ⇒ \( E_c = \text{constante} \).
Comme \( E_c = \frac12 m v^2 \), on en déduit que \( v = \text{constante} \) : le mouvement est uniforme.

✅ Conclusion : La force magnétique ne travaille pas, elle ne modifie que la direction de la vitesse, pas sa valeur.

📐 04 & 05 Nature du mouvement – Cas \( \vec{v}_0 \perp \vec{B} \)

On suppose que la vitesse initiale \( \vec{v}_0 \) est perpendiculaire au champ magnétique uniforme \( \vec{B} \).

La force magnétique est toujours perpendiculaire à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \).
Le mouvement reste dans le plan perpendiculaire à \( \vec{B} \) contenant \( \vec{v}_0 \).
Comme \( v = cte \) et que la force est centripète, la trajectoire est un cercle.

On utilise la base de Frenet \( (\vec{u}, \vec{n}) \) :

Composante tangentielle : \( F_T = 0 \) ⇒ \( a_T = 0 \) (vitesse constante).
Composante normale : \( F_N = |q| v B \) et \( a_N = \dfrac{v^2}{R} \).

\[ |q| v B = m \frac{v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ R = \frac{m v}{|q| B} } \]

ⓒ Nature du mouvement

Le mouvement étant plan et généralement curviligne, on l’étudie dans la base de Frenet (M, \(\vec{u}\), \(\vec{n}\)) liée à la particule.

Dans la base de Frenet, l’accélération a pour expression :

\[ \vec{a} = a_T \vec{u} + a_N \vec{n} = \frac{dv}{dt}\vec{u} + \frac{v^2}{\rho}\vec{n} \]

Le système étudié : {Le particule}
Bilan des forces : La particule est soumise à l’action de la force magnétique \(\vec{F}\) (son poids est négligeable devant la force \(\vec{F}\))

Application de la 2^ème loi de Newton :

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a_G} \quad \Rightarrow \quad \vec{F} = m \cdot \vec{a_G} \]

La projection dans le repère de Frenet :

➡ Sur la tangentielle \((M,\vec{u})\) :

\[ F_T = m \cdot a_T \]

Puisque \(F_T = 0\), alors :

\[ a_T = \frac{dv}{dt} = 0 \]

c-à-d \(v = \text{cte}\), donc le mouvement est uniforme.

➡ Sur la normale \((M,\vec{n})\) :

\[ F_N = m \cdot a_N \]

avec :

\[ F_N = |q| \cdot v \cdot B \]

\[ a_N = \frac{v^2}{\rho} \]

donc :

\[ \frac{m \cdot v^2}{\rho} = |q| \cdot v \cdot B \]

Puisque le rayon de courbure \(\rho\) est constant, alors le mouvement est circulaire de rayon :

\[ R = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B} \]

📌 Le rayon de courbure \( R \) est constant ⇒ mouvement circulaire uniforme (MCU).

🌀 Trajectoire circulaire :

Champ magnétique sortant de la feuille, trajectoire circulaire dans le sens horaire (électron) ou anti-horaire (charge positive).

⏱️ Période et vitesse angulaire

Pour un mouvement circulaire uniforme :

\[ v = \omega R \quad\text{avec}\quad \omega = \frac{|q| B}{m} \]

La période (temps pour un tour complet) :

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{|q| B} \]

💡 Remarque fondamentale : La période \( T \) et la pulsation \( \omega \) ne dépendent pas de la vitesse de la particule. C’est la propriété du cyclotron.

📌 Résumé – Mouvement d’une charge dans \( \vec{B} \) uniforme :
• Si \( \vec{v}_0 \parallel \vec{B} \) → mouvement rectiligne uniforme.
• Si \( \vec{v}_0 \perp \vec{B} \) → mouvement circulaire uniforme (rayon \( R = mv/(|q|B) \)).
• Si \( \vec{v}_0 \) a une composante parallèle et une perpendiculaire → trajectoire hélicoïdale.

📝 Application – Électron dans un champ magnétique

Un électron pénètre avec une vitesse \( v_0 = 2,0 \times 10^7 \, m/s \) perpendiculairement à un champ magnétique uniforme \( B = 0,10 \, T \).

Données : \( m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, kg \), \( |q| = 1,6 \times 10^{-19} \, C \).

Calculer le rayon de la trajectoire circulaire.
Déterminer la période de rotation.
Comparer la vitesse angulaire avec celle d’un proton dans le même champ.

🔍 Voir correction

1. Rayon : \( R = \frac{m v}{|q| B} = \frac{9,1\times10^{-31} \times 2,0\times10^7}{1,6\times10^{-19} \times 0,10} = \frac{1,82\times10^{-23}}{1,6\times10^{-20}} \approx 1,14 \times 10^{-3} \, m = 1,14 \, mm \).

2. Période : \( T = \frac{2\pi m}{|q| B} = \frac{2\pi \times 9,1\times10^{-31}}{1,6\times10^{-19} \times 0,10} = \frac{5,72\times10^{-30}}{1,6\times10^{-20}} \approx 3,57 \times 10^{-10} \, s \).

3. Vitesse angulaire : \( \omega = \frac{|q| B}{m} \) → pour l’électron : \( \omega_e = \frac{1,6\times10^{-19}\times0,10}{9,1\times10^{-31}} \approx 1,76 \times 10^{10} \, rad/s \).
Pour un proton : \( m_p = 1,67\times10^{-27} \, kg \) → \( \omega_p \approx \frac{1,6\times10^{-20}}{1,67\times10^{-27}} \approx 9,58\times10^{6} \, rad/s \) (beaucoup plus petite). Donc \( \omega \) est inversement proportionnelle à la masse.

🧠 Interprétation : La force magnétique agit comme une force centripète. Plus la particule est légère, plus le rayon est petit et la période courte. Les électrons sont beaucoup plus déviés que les protons.

📋 Synthèse – Mouvement dans un champ \( \vec{B} \) uniforme (cas \( \vec{v}_0 \perp \vec{B} \))

Grandeur	Expression	Remarque
Force magnétique	\( F = \|q\| v B \)	Perpendiculaire à la vitesse
Accélération normale	\( a_N = v^2 / R \)	Force centripète
Rayon de courbure	\( R = \dfrac{m v}{\|q\| B} \)	Proportionnel à \( v \), inversement proportionnel à \( B \)
Période	\( T = \dfrac{2\pi m}{\|q\| B} \)	Indépendante de \( v \)
Pulsation (cyclotron)	\( \omega = \dfrac{\|q\| B}{m} \)	Fréquence cyclotron

✨ À retenir absolument : La force de Lorentz ne travaille pas → conservation de l’énergie cinétique.
En présence d’un champ \( \vec{B} \) uniforme et perpendiculaire à \( \vec{v}_0 \), la trajectoire est un cercle décrit à vitesse constante. La période ne dépend que du rapport \( m/|q| \) et de \( B \).

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