Cours : Les oscillations libres dans un circuit RLC série

Chapitre 8 – Oscillations libres dans un circuit RLC série
Physique-Chimie
Chapitre 8

Les oscillations libres dans un circuit RLC série

Niveau : 2BACSPF  ·  3ème partie : L’électricité

1 Décharge d’un condensateur dans une bobine

1.1 Régimes d’oscillations libres dans un circuit RLC série

On réalise le circuit ci-contre. Le condensateur est initialement déchargé. Pour le charger, on met l’interrupteur en position (1).

Lorsque le condensateur est chargé (\(u_C = E = 6\ \mathrm{V}\)), on bascule K vers la position (2) : le condensateur se décharge à travers la bobine et le conducteur ohmique de résistance \(R\).

On prend \(t = 0\) à l’instant du basculement, puis on visualise \(u_C(t)\).

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Schéma — Circuit RLC série
Condensateur, bobine, résistance, K en positions 1 et 2

On obtient les courbes suivantes pour différentes valeurs de la résistance totale \(R_T = R + r\) :

Régime pseudopériodique
\(R_T\) faible
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Courbe — Pseudopériodique
Oscillations amorties, amplitude décroissante

Les oscillations sont libres et leur amplitude décroît au cours du temps. Caractérisé par la pseudo-période \(T\) : durée entre deux passages successifs de \(u_C\) par sa valeur maximale.

Régime apériodique
\(R_T\) grande
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Courbe — Apériodique
Décroissance lente sans oscillation vers zéro

\(u_C(t)\) ne présente plus d’oscillations et tend lentement vers zéro : l’amortissement est important.

Régime périodique
\(R_T = 0\)
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Courbe — Périodique
Oscillations sinusoïdales d’amplitude constante

\(u_C(t)\) est alternative, d’amplitude constante. Caractérisé par la période propre \(T_0\).

On constate expérimentalement que la pseudo-période \(T\) dépend de \(L\) et \(C\), et est indépendante de \(R\).
Remarques :
  • Lorsque K est en position (2), on obtient un circuit RLC série.
  • Les oscillations sont dites libres car le circuit n’est alimenté par aucune énergie électrique externe.
  • Lorsque \(u_C\) diminue, on dit que les oscillations sont amorties.

1.2 Équation différentielle d’un circuit RLC série

Établissement de l’équation (en \(u_C\))

D’après la loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_R + u_C = 0\)

Avec \(u_L = L\dfrac{di}{dt}+r\,i\), \(u_R = R\,i\), et \(i = \dfrac{dq}{dt} = C\dfrac{du_C}{dt}\) :

\[ L\,\frac{di}{dt}+r\,i+R\,i+u_C=0 \] \[ LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2}+R_T\,C\,\frac{du_C}{dt}+u_C=0 \qquad (R_T = R+r) \]

L’équation différentielle vérifiée par \(u_C\) en régime libre s’écrit :

\[ \boxed{\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{R_T}{L}\,\frac{du_C}{dt}+\frac{1}{LC}\,u_C=0} \]
Remarque — équation en charge \(q(t)\) :

Avec \(u_R = Ri\), \(u_L = L\dfrac{di}{dt}+ri\), \(i=\dfrac{dq}{dt}\), \(u_C=\dfrac{q}{C}\) :

\[ L\,\frac{d^2q}{dt^2}+(r+R)\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0 \] \[ \boxed{\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R_T}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}\,q=0} \]
Le terme \(\dfrac{R_T}{L}\dfrac{du_C}{dt}\) (ou \(\dfrac{R_T}{L}\dfrac{dq}{dt}\)) est responsable de l’amortissement des oscillations. En son absence, les oscillations deviennent périodiques sinusoïdales.

2 Oscillations non amorties dans un circuit idéal LC

Association en série d’un condensateur de capacité \(C\) et d’une bobine d’inductance \(L\) de résistance nulle.

2.1 Équation différentielle vérifiée par \(u_C\)

D’après la loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_C = 0\)

Avec \(u_L = L\dfrac{di}{dt}\) et \(i=\dfrac{dq}{dt}=C\dfrac{du_C}{dt}\) :

\[ L\,\frac{di}{dt}+u_C=0 \;\Leftrightarrow\; LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2}+u_C=0 \]

L’équation différentielle vérifiée par \(u_C\) dans un circuit LC idéal s’écrit :

\[ \boxed{\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,u_C=0} \]
Remarque — équation en charge \(q(t)\) :

Avec \(u_L = L\dfrac{di}{dt}\), \(i=\dfrac{dq}{dt}\), \(u_C=\dfrac{q}{C}\) :

\[ L\,\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0 \] \[ \boxed{\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,q=0} \]

2.2 Solution de l’équation différentielle

La solution s’écrit sous la forme :

\[ u_C(t) = U_m \cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t + \varphi\right) \]
  • \(U_m\) : tension maximale aux bornes du condensateur (V)
  • \(T_0\) : période propre du circuit LC (s)
  • \(\varphi\) : phase à l’origine (rad)

(a) Expression de \(T_0\)

Rappel mathématique :
\[ \frac{d}{dt}\cos(at+b) = -a\sin(at+b) \qquad \frac{d}{dt}\sin(at+b) = a\cos(at+b) \]

En dérivant deux fois \(u_C(t)\) :

\[ \frac{du_C}{dt} = -U_m\,\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \] \[ \frac{d^2u_C}{dt^2} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 U_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 u_C \]

D’où :

\[ \frac{d^2u_C}{dt^2} + \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 u_C = 0 \]

Par identification avec l’équation différentielle \(\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \dfrac{1}{LC}\), on obtient :

\[ \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{LC}} \]
Analyse dimensionnelle de \(T_0\) :

On a \(u_L = L\dfrac{di}{dt} \Rightarrow L = \dfrac{U\cdot T}{I}\) et \(i = C\dfrac{du_C}{dt} \Rightarrow C = \dfrac{I\cdot T}{U}\)

\[ [T_0] = \sqrt{[L][C]} = \sqrt{\frac{U\cdot T}{I}\times\frac{I\cdot T}{U}} = \sqrt{T^2} = T \]

La période propre \(T_0\) a la dimension d’un temps, exprimée en seconde (s).

Remarque : Dans le cas du régime pseudo-périodique, on considère que \(T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}\)

(b) Expression de \(U_m\) et \(\varphi\)

On a \(u_C(t) = U_m\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)\) et \(i(t) = C\dfrac{du_C}{dt}\), donc :

\[ i(t) = -C\,U_m\,\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Conditions initiales : \(u_C(0) = E\) et \(i(0) = 0\) :

\[ U_m\cos\varphi = E \qquad -C\,U_m\,\frac{2\pi}{T_0}\sin\varphi = 0 \] \[ \cos\varphi = \frac{E}{U_m} \qquad \sin\varphi = 0 \;\Rightarrow\; \varphi = 0 \text{ ou } \varphi = \pi \]

Puisque \(\cos\varphi = \dfrac{E}{U_m} > 0\), alors \(\varphi = 0\) et \(U_m = E\).

D’où l’expression de \(u_C(t)\) :

\[ \boxed{u_C(t) = E\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}\,t\right)} \]

(c) Expressions de \(q(t)\) et \(i(t)\)

Charge \(q(t)\)
\[ q = C\,u_C \] \[ \boxed{q(t) = Q_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)} \quad Q_m = CE \]
Intensité \(i(t)\)
\[ i = \frac{dq}{dt} = C\frac{du_C}{dt} \] \[ \boxed{i(t) = -I_m\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)} \quad I_m = CE\frac{2\pi}{T_0} = E\sqrt{\frac{C}{L}} \]

(d) Représentation de \(u_C\) et \(i\) en fonction du temps

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Courbes — \(u_C(t)\) et \(i(t)\)
Oscillations sinusoïdales en quadrature de phase

On constate que \(u_C\) et \(i\) sont en quadrature de phase : lorsque l’une est minimale ou maximale, l’autre s’annule.

3 Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine

3.1 Énergie totale

Dans un circuit RLC ou LC, l’énergie totale du circuit est :

\[ E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2}C\,u_C^2 + \frac{1}{2}L\,i^2 \]

En dérivant :

\[ \frac{dE_T}{dt} = C\,u_C\frac{du_C}{dt} + L\,i\frac{di}{dt} \]

Avec \(i = C\dfrac{du_C}{dt} \Rightarrow \dfrac{di}{dt} = C\dfrac{d^2u_C}{dt^2}\) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = C\,u_C\frac{du_C}{dt} + LC^2\,\frac{du_C}{dt}\frac{d^2u_C}{dt^2} \]

D’où la relation générale (✻) :

\[ \boxed{\frac{dE_T}{dt} = LC^2\frac{du_C}{dt}\left(\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}u_C\right)} \quad (\text{✻}) \]

3.2 Dans un circuit LC idéal

Circuit LC idéal

Pour un circuit LC idéal : \(\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+\dfrac{1}{LC}u_C = 0\), donc d’après (✻) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = 0 \]

L’énergie totale du circuit reste constante au cours du temps :

\[ \boxed{E_T = \text{Cte}} \]
Interprétation : Au cours des oscillations non amorties, l’énergie électrique \(E_e\) emmagasinée dans le condensateur se transforme en énergie magnétique \(E_m\) dans la bobine, et inversement.

(a) Expression de l’énergie totale

Si \(u_C = \pm E\)

alors \(i = 0\), donc \(E_m = 0\) :

\[ E_T = \frac{1}{2}C\,E^2 \]
Si \(i = \pm I_m\)

alors \(u_C = 0\), donc \(E_e = 0\) :

\[ E_T = \frac{1}{2}L\,I_m^2 \]

(b) Représentation de \(E_e\), \(E_m\) et \(E_T\) en fonction du temps

\[ E_e = \frac{1}{2}C\,u_C^2 = \frac{1}{2}C\,E^2\cos^2\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) \] \[ E_m = \frac{1}{2}L\,i^2 = \frac{1}{2}C\,E^2\sin^2\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right) \] \[ E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2}C\,E^2 \]
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Graphe — \(E_e(t)\), \(E_m(t)\), \(E_T(t)\)
Oscillations complémentaires en cos² et sin², somme constante

3.3 Dans un circuit RLC

Circuit RLC réel

D’après l’équation différentielle : \(\dfrac{d^2u_C}{dt^2}+\dfrac{1}{LC}u_C = -\dfrac{R_T}{L}\dfrac{du_C}{dt}\)

D’après (✻) :

\[ \frac{dE_T}{dt} = LC^2\frac{du_C}{dt}\left(-\frac{R_T}{L}\frac{du_C}{dt}\right) = -R_T\,C^2\left(\frac{du_C}{dt}\right)^2 \]

Comme \(i = C\dfrac{du_C}{dt}\) :

\[ \boxed{\frac{dE_T}{dt} = -R_T\,i^2 < 0} \]

L’énergie totale d’un circuit RLC diminue au cours du temps.

Interprétation : Les oscillations sont amorties à cause de la dissipation d’énergie par effet Joule dans les résistances du circuit.
Remarques :
  • Variation de l’énergie totale entre \(t_1\) et \(t_2\) : \(\Delta E = E_T(t_2) – E_T(t_1)\)
  • Énergie dissipée par effet Joule entre \(t_1\) et \(t_2\) : \(E_J = -\Delta E = E_T(t_1) – E_T(t_2)\)

4 Entretien des oscillations

Compensation des pertes par effet Joule

Pour entretenir les oscillations d’un circuit RLC libre, il faut compenser les pertes par effet Joule. On monte en série un générateur délivrant une tension proportionnelle à l’intensité du courant : \(u_G = k\cdot i\).

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Schéma — Circuit RLC avec générateur d’entretien
Générateur uG = k·i en série avec le circuit RLC

D’après la loi d’additivité des tensions :

\[ u_L + u_R + u_C = u_G \]

Avec \(u_L = L\dfrac{di}{dt}+r\,i\), \(u_R = R\,i\), \(i = C\dfrac{du_C}{dt}\) :

\[ L\,\frac{di}{dt}+r\,i+R\,i+u_C = k\,i \] \[ L\,\frac{di}{dt}+(r+R-k)\,i+u_C = 0 \]

D’où :

\[ \boxed{LC\,\frac{d^2u_C}{dt^2}+(R_T-k)\,C\,\frac{du_C}{dt}+u_C=0} \qquad R_T = R+r \]

L’équation différentielle vérifiée par \(u_C\) s’écrit :

\[ \frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{(R_T-k)}{L}\,\frac{du_C}{dt}+\frac{1}{LC}\,u_C=0 \]
Condition d’oscillations non amorties : Pour obtenir des oscillations sinusoïdales pures, l’équation doit se réduire à :
\[ \frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,u_C=0 \]

C’est-à-dire :

\[ \frac{R_T-k}{L}=0 \;\Rightarrow\; R_T – k = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{R_T = k} \]
Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC série 2BACSPF

📚 D'autres cours : 08 : Les oscillations libres dans un circuit RLC série 2+6h