Cours : Les aspects énergétiques

Chapitre 16 – Mécanique : Les aspects énergétiques
Physique-Chimie
Chapitre 16

Les aspects énergétiques

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Travail d’une force

1.1 Cas de translation

(a) Travail d’une force constante

Le travail d’une force constante \(\vec{F}\) appliquée à un corps solide en translation, entre A et B, est donné par :

\[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB} = F\cdot AB\cdot\cos\alpha \]

Exemple : le travail du poids \(\vec{P}\) d’un corps de masse \(m\) se déplaçant d’un point A vers un point B :

\[ W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A-z_B) \]
Travail d'une force constante F appliquée à un solide se déplaçant de A vers B le long d'une trajectoire
Travail d’une force constante \(\vec{F}\)

(b) Travail d’une force non constante

Le travail d’une force non constante est donné par :

\[ W_{AB}(\vec{F}) = \int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l} \]

Exemple : le travail de la force de rappel \(\vec{T}=-k\,x\,\vec{\imath}\) exercée par un ressort sur un solide se déplaçant entre les positions \(x_A\) et \(x_B\) est :

Travail d'une force non constante F le long d'une trajectoire entre A et B, avec dl
Travail d’une force non constante \(\vec{F}\)
\[ W_{AB}(\vec{T}) = \int_{x_A}^{x_B} \vec{T}\cdot d\vec{l} = \int_{x_A}^{x_B} -k\,x\,dx = -k\int_{x_A}^{x_B} x\,dx = -k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_A}^{x_B} \]
\[ \boxed{W_{AB}(\vec{T}) = \frac{1}{2}k\left(x_A^2-x_B^2\right) = \frac{1}{2}k\,x_A^2-\frac{1}{2}k\,x_B^2} \]

1.2 Cas de rotation

(a) Travail d’une force de moment constant

L’expression du travail d’une force de moment constant \(M_\Delta(\vec{F})\) est :

\[ W(\vec{F}) = M_\Delta(\vec{F})\cdot\Delta\theta \]

\(\Delta\theta\) : l’angle de rotation

(b) Travail d’une force de moment non constant

L’expression du travail d’une force de moment non constant est :

\[ W(\vec{F}) = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_\Delta(\vec{F})\,d\theta \]

Exemple : le travail du couple de torsion de moment \(M_\Delta(C) = -C\,\theta\) exercé par un fil de torsion sur un solide se déplaçant entre les positions \(\theta_1\) et \(\theta_2\) :

\[ W_t = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_\Delta(C)\,d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} -C\,\theta\,d\theta = -C\int_{\theta_1}^{\theta_2}\theta\,d\theta = -C\left[\frac{\theta^2}{2}\right]_{\theta_1}^{\theta_2} \]
\[ \boxed{W_t = \frac{1}{2}C\left(\theta_1^2-\theta_2^2\right) = \frac{1}{2}C\,\theta_1^2-\frac{1}{2}C\,\theta_2^2} \]

2 Étude énergétique du pendule élastique horizontal

2.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique du solide (S), de masse \(m\) et de vitesse \(V\), suspendu à un ressort, est :

\[ E_C = \frac{1}{2}m\,V^2 = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2 \]

avec :

\[ x(t) = X_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \qquad\text{et}\qquad \dot{x} = -X_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

2.2 Énergie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique \(E_{pe}\) d’un système (solide + ressort) horizontal est l’énergie que possède ce système lorsque le ressort est déformé :

\[ E_{pe} = \frac{1}{2}k\,x^2 + C \]

\(C\) : constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle élastique.

  • Souvent on choisit \(E_{pe}=0\) pour \(x=0\), alors \(C=0\), donc :
    \[ E_{pe} = \frac{1}{2}k\,x^2 \]
Remarque : la relation entre le travail de la force de rappel \(\vec{T}=-k\,x\,\vec{\imath}\) exercée par un ressort sur un solide se déplaçant entre les points A et B et la variation de l’énergie potentielle élastique est :
\[ W_{AB}(\vec{T}) = -\Delta E_{pe} = \frac{1}{2}k\,x_A^2-\frac{1}{2}k\,x_B^2 \]

2.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique du système (solide + ressort) est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (on prend : l’énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}=0\)) :

\[ E_m = E_C+E_{pe} = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2+\frac{1}{2}k\,x^2+C \]

Lorsque \(C=0\), alors :

\[ \boxed{E_m = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2+\frac{1}{2}k\,x^2} \]

2.4 Résultats d’expression de l’énergie mécanique

(a) Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

Graphe de l'énergie mécanique constante Em, et énergies Ec, Epe oscillantes en fonction du temps
Conservation de \(E_m\) : \(E_C\) et \(E_{pe}\) oscillent en opposition
Graphe des énergies Ec et Epe en fonction de x, avec Em constante entre -Xm et Xm
Énergies \(E_C\) et \(E_{pe}\) en fonction de \(x\)

On a : \(E_m = \dfrac{1}{2}m\,\dot{x}^2+\dfrac{1}{2}k\,x^2\) :

\[ \text{si } x=0 \;:\; E_m=\frac{1}{2}m\,V_m^2 \qquad\qquad \text{si } x=X_m \;:\; E_m=\frac{1}{2}k\,X_m^2 \]

donc :

\[ E_m = \frac{1}{2}m\,V_m^2 = \frac{1}{2}k\,X_m^2 \]
D’où l’expression de la vitesse maximale d’un pendule élastique :
\[ \boxed{V_m = X_m\sqrt{\frac{k}{m}}} \]

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = Cte \;\Leftrightarrow\; \frac{dE_m}{dt}=0 \]

On obtient :

\[ m\,\dot{x}\,\ddot{x}+k\,x\,\dot{x}=0 \quad\text{donc :}\quad \ddot{x}+\frac{k}{m}\,x=0 \]

(b) Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps : elle est dissipée sous forme de chaleur.

Graphe de l'énergie mécanique décroissante Em, avec Ec et Epe oscillant en s'amortissant, pendule élastique avec frottements
Dissipation de \(E_m\) — pendule élastique amorti

3 Étude énergétique d’un pendule de torsion

3.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique de la tige, de moment d’inertie \(J_\Delta\) par rapport à l’axe de rotation (Δ), est :

\[ E_C = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2 \]

avec :

\[ \dot{\theta} = -\theta_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

3.2 Énergie potentielle de torsion

L’énergie potentielle de torsion \(E_{pt}\) d’un pendule de torsion est définie par la relation :

\[ E_{pt} = \frac{1}{2}C\,\theta^2 + Cte \]

\(Cte\) : constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle de torsion.

  • Souvent on choisit \(E_{pt}=0\) pour \(\theta=0\), alors \(Cte=0\), donc :
    \[ E_{pt} = \frac{1}{2}C\,\theta^2 \]
Remarque : la relation entre le travail du couple de torsion de moment \(M_\Delta(C)=-C\,\theta\) exercé par un fil de torsion sur un solide se déplaçant entre les positions \(\theta_1\) et \(\theta_2\) et la variation de l’énergie potentielle de torsion est :
\[ W_t = -\Delta E_{pt} = \frac{1}{2}C\,\theta_1^2-\frac{1}{2}C\,\theta_2^2 \]

3.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique d’un pendule de torsion est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (on prend : l’énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}=0\)) :

\[ E_m = E_C+E_{pt} = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}C\,\theta^2+Cte \]

Lorsque \(Cte=0\), alors :

\[ \boxed{E_m = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}C\,\theta^2} \]

3.4 Résultats d’expression de l’énergie mécanique

(a) Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a : \(E_m = \dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+\dfrac{1}{2}C\,\theta^2\)

\[ \text{si } \theta=0 \;:\; E_m=\frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}_m^2 \qquad \text{si } \theta=\theta_m \;:\; E_m=\frac{1}{2}C\,\theta_m^2 \]

Donc :

\[ E_m = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}_m^2=\frac{1}{2}C\,\theta_m^2 \]

D’où : \(\dot{\theta}_m=\theta_m\sqrt{\dfrac{C}{J_\Delta}}\)

Graphe des énergies Ec et Ept en fonction de theta, avec Em constante entre -thetamax et thetamax
Énergies \(E_C\) et \(E_{pt}\) en fonction de \(\theta\)

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = Cte \;\Leftrightarrow\; \frac{dE_m}{dt}=0 \]

On obtient :

\[ J_\Delta\,\dot{\theta}\,\ddot{\theta}+C\,\theta\,\dot{\theta}=0 \quad\text{donc :}\quad \ddot{\theta}+\frac{C}{J_\Delta}\,\theta=0 \]

(b) Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps : elle est dissipée sous forme de chaleur.

Graphe de l'énergie mécanique décroissante Em, avec Ec et Ept oscillant en s'amortissant, pendule de torsion avec frottements
Dissipation de \(E_m\) — pendule de torsion amorti

4 Étude énergétique d’un pendule pesant

4.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique d’un pendule pesant, de moment d’inertie \(J_\Delta\) par rapport à l’axe de rotation (Δ), est :

\[ E_C = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2 \]

avec :

\[ \dot{\theta} = -\theta_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

4.2 Énergie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur d’un pendule pesant est donnée par la relation suivante :

\[ E_{pp} = m\,g\,z + Cte \]

En considérant comme état de référence \(E_{pp}=0\) lorsque \(z=0\), la constante \(Cte=0\), donc :

\[ E_{pp} = m\,g\,z \]

Lorsque le pendule pesant est incliné d’un angle \(\theta\), son énergie potentielle de pesanteur est :

\[ E_{pp} = m\,g\,z_G \qquad\text{avec } z_G=OH=AO-AH=d-d\cos\theta=d(1-\cos\theta) \]

Donc :

\[ E_{pp} = m\,g\,d\,(1-\cos\theta) \]

Pour les petites oscillations, \(\cos\theta\approx1-\dfrac{\theta^2}{2}\), on peut écrire par approximation :

\[ E_{pp} = \frac{1}{2}m\,g\,d\,\theta^2 \]
Pendule pesant incliné d'un angle theta, avec axe Delta, distance d, points A, H, G, O
Pendule pesant incliné d’un angle \(\theta\)

4.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique d’un pendule pesant est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

\[ E_m = E_C+E_{pp} = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+m\,g\,z+Cte \]

Lorsque \(Cte=0\) et par approximation :

\[ \boxed{E_m = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}m\,g\,d\,\theta^2} \]

4.4 Résultats d’expression de l’énergie mécanique

(a) Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a : \(E_m = \dfrac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}^2+\dfrac{1}{2}m\,g\,d\,\theta^2\)

\[ \text{si } \theta=0 \;:\; E_m=\frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}_m^2 \qquad \text{si } \theta=\theta_m \;:\; E_m=\frac{1}{2}m\,g\,d\,\theta_m^2 \]

Donc :

\[ E_m = \frac{1}{2}J_\Delta\,\dot{\theta}_m^2=\frac{1}{2}m\,g\,d\,\theta_m^2 \]

D’où : \(\dot{\theta}_m=\theta_m\sqrt{\dfrac{m\,g\,d}{J_\Delta}}\)

Graphe des énergies Ec et Epp en fonction de theta, avec Em constante entre -thetamax et thetamax
Énergies \(E_C\) et \(E_{pp}\) en fonction de \(\theta\)

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = Cte \;\Leftrightarrow\; \frac{dE_m}{dt}=0 \]

On obtient :

\[ J_\Delta\,\dot{\theta}\,\ddot{\theta}+m\,g\,d\,\theta\,\dot{\theta}=0 \quad\text{donc :}\quad \ddot{\theta}+\frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta=0 \]

(b) Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps : elle est dissipée sous forme de chaleur.

Graphe de l'énergie mécanique Em en fonction de z, avec Ec et Epp se partageant l'énergie totale
Partage de l’énergie mécanique entre \(E_C\) et \(E_{pp}\)
Chapitre 16 : Les aspects énergétiques 2BACSPF

📚 D'autres cours : A16 : Les aspects énergétiques

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