1 Travail d’une force

1.1 Cas de translation

a. Travail d’une force constante

Le travail d’une force constante \(\overrightarrow{F}\) appliquée à un corps solide en translation, entre A et B, est donné par :

\[ \boxed{W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha} \]

Exemple : Le travail du poids \(\overrightarrow{P}\) d’un corps de masse m se déplaçant d’un point A vers un point B :

\[ W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m \cdot g \cdot (z_A – z_B) \]

Travail d’une force constante

b. Travail d’une force non constante

Le travail d’une force non constante est donné par :

\[ \boxed{W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \int_A^B \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{dl}} \]

Exemple : Le travail de la force de rappel \(\overrightarrow{T} = -k \cdot x \cdot \overrightarrow{i}\) exercée par un ressort sur un solide se déplaçant entre les positions \(x_A\) et \(x_B\) :

\[ W_{AB}(\overrightarrow{T}) = \int_{x_A}^{x_B} -k \cdot x \cdot dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_A}^{x_B} \]

\[ \boxed{W_{AB}(\overrightarrow{T}) = \frac{1}{2}k(x_A^2 – x_B^2) = \frac{1}{2}k \cdot x_A^2 – \frac{1}{2}k \cdot x_B^2} \]

Travail d’une force non constante

1.2 Cas de rotation

a. Travail d’une force de moment constant

L’expression du travail d’une force de moment constant \(\mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{F})\) est :

\(\Delta\theta\) : L’angle de rotation

b. Travail d’une force de moment non constant

L’expression du travail d’une force de moment non constant est :

Exemple : Le travail du couple de torsion de moment \(\mathcal{M}_\Delta(C) = -C \cdot \theta\) exercé par un fil de torsion sur un solide se déplaçant entre les positions \(\theta_1\) et \(\theta_2\) :

2 Étude énergétique du pendule élastique horizontal

2.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique du solide (S), de masse \(m\) et de vitesse \(V\), suspendu à un ressort, est :

avec : \(x(t) = X_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\) et \(\dot{x} = -X_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\)

2.2 Énergie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique \(E_{pe}\) d’un système (solide + ressort) horizontal est l’énergie que possède ce système lorsque le ressort est déformé :

C : est une constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle élastique.

2.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique du système (solide + ressort) est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (on prend : l’énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp} = 0\)) :

Lorsque \(C = 0\) alors :

2.4 Résultats d’expression d’énergie mécanique

a. Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \dot{x}^2 + \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2\)

\[ \begin{cases} \text{si } x = 0 : E_m = \frac{1}{2} \cdot m \cdot V_m^2 \\ \text{si } x = X_m : E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot X_m^2 \end{cases} \]

Donc : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot m \cdot V_m^2 = \frac{1}{2} \cdot k \cdot X_m^2\)

\[ \boxed{V_m = X_m \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}} \]

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = \text{Cte} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{dE_m}{dt} = 0 \]

\[ \Rightarrow m \cdot \dot{x} \cdot \ddot{x} + k \cdot x \cdot \dot{x} = 0 \quad \text{donc} : \quad \boxed{\ddot{x} + \frac{k}{m} \cdot x = 0} \]

Conservation de l’énergie mécanique

Énergies en fonction du temps

b. Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps. Elle est dissipée sous forme de chaleur.

Diminution de l’énergie mécanique

3 Étude énergétique d’un pendule de torsion

3.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique de la tige, de moment d’inertie \(J_\Delta\) par rapport à l’axe de rotation (\(\Delta\)) est :

avec : \(\dot{\theta} = -\theta_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\)

3.2 Énergie potentielle de torsion

L’énergie potentielle de torsion \(E_{pt}\) d’un pendule de torsion est définie par la relation :

3.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique d’un pendule de torsion est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

Lorsque \(\text{Cte} = 0\) alors :

3.4 Résultats d’expression d’énergie mécanique

a. Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} \cdot C \cdot \theta^2\)

\[ \begin{cases} \text{si } \theta = 0 : E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}_m^2 \\ \text{si } \theta = \theta_m : E_m = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \theta_m^2 \end{cases} \]

Donc : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}_m^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \theta_m^2\)

\[ \boxed{\dot{\theta}_m = \theta_m \cdot \sqrt{\frac{C}{J_\Delta}}} \]

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = \text{Cte} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{dE_m}{dt} = 0 \]

\[ \Rightarrow J_\Delta \cdot \dot{\theta} \cdot \ddot{\theta} + C \cdot \theta \cdot \dot{\theta} = 0 \quad \text{donc} : \quad \boxed{\ddot{\theta} + \frac{C}{J_\Delta} \cdot \theta = 0} \]

Pendule de torsion

b. Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps. Elle est dissipée sous forme de chaleur.

Diminution de l’énergie mécanique

4 Étude énergétique d’un pendule pesant

4.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique d’un pendule pesant, de moment d’inertie \(J_\Delta\) par rapport à l’axe de rotation (\(\Delta\)) est :

avec : \(\dot{\theta} = -\theta_m \cdot \left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\)

4.2 Énergie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur d’un pendule pesant est donnée par la relation suivante :

\[ \boxed{E_{pp} = m \cdot g \cdot z + \text{Cte}} \]

En considérant comme état de référence \(E_{pp} = 0\) lorsque \(z = 0\), la constante \(\text{Cte} = 0\) donc : \(E_{pp} = m \cdot g \cdot z\).

Lorsque le pendule pesant est incliné d’un angle \(\theta\), son énergie potentielle de pesanteur est :

\[ E_{pp} = m \cdot g \cdot z_G = m \cdot g \cdot d \cdot (1 – \cos\theta) \]

Pour les petites oscillations (\(\cos\theta \approx 1 – \frac{\theta^2}{2}\)), on peut écrire par approximation :

\[ \boxed{E_{pp} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot g \cdot d \cdot \theta^2} \]

Pendule pesant

4.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique d’un pendule pesant est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

Lorsque \(\text{Cte} = 0\) et par approximation :

4.4 Résultats d’expression d’énergie mécanique

a. Cas des frottements négligeables

Dans le cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot g \cdot d \cdot \theta^2\)

\[ \begin{cases} \text{si } \theta = 0 : E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}_m^2 \\ \text{si } \theta = \theta_m : E_m = \frac{1}{2} \cdot m \cdot g \cdot d \cdot \theta_m^2 \end{cases} \]

Donc : \(E_m = \frac{1}{2} \cdot J_\Delta \cdot \dot{\theta}_m^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot g \cdot d \cdot \theta_m^2\)

\[ \boxed{\dot{\theta}_m = \theta_m \cdot \sqrt{\frac{m \cdot g \cdot d}{J_\Delta}}} \]

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m = \text{Cte} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{dE_m}{dt} = 0 \]

\[ \Rightarrow J_\Delta \cdot \dot{\theta} \cdot \ddot{\theta} + m \cdot g \cdot d \cdot \theta \cdot \dot{\theta} = 0 \quad \text{donc} : \quad \boxed{\ddot{\theta} + \frac{m \cdot g \cdot d}{J_\Delta} \cdot \theta = 0} \]

Positions du pendule pesant

Énergies du pendule pesant

b. Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas, l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps. Elle est dissipée sous forme de chaleur.