☢️ Décroissance radioactive | Loi exponentielle
☢️ Décroissance radioactive | Loi exponentielle
Le noyau issu d’une désintégration α ou β est souvent dans un état excité. Il se désexcite en libérant un rayonnement électromagnétique γ (photons de haute énergie).
Exemple : émission γ associée à la radioactivité α :
\(^{238}_{92}U \rightarrow ^{234}_{90}Th + ^{4}_{2}He\) puis \(^{234}_{90}Th^* \rightarrow ^{234}_{90}Th + \gamma\)
⚠️ Le rayonnement γ est très pénétrant (photons de haute énergie).
Le noyau fils obtenu après désintégration d’un noyau père peut parfois, à son tour, se désintégrer en un nouveau noyau fils, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un noyau stable. L’ensemble de ces noyaux forme une famille radioactive.
Il existe quatre familles radioactives naturelles provenant des noyaux suivants :
Le nombre de noyaux \(N(t)\) d’un échantillon radioactif suit la loi de décroissance radioactive :
- \(N(t)\) : nombre de noyaux restant (non désintégrés) à l’instant \(t\)
- \(N_0\) : nombre de noyaux initial à \(t = 0\)
- \(\lambda\) : constante radioactive (en \(s^{-1}\))
📌 Remarque : On montre également que :
où \(n(t)\) est la quantité de matière (mol) et \(m(t)\) la masse (g).
On définit la constante de temps \(\tau\) par :
Unité SI : seconde (s).
À l’instant \(t = \tau\) :
\(\tau\) est la durée nécessaire pour la désintégration de 63% du nombre initial \(N_0\) de nucléides.
📌 La tangente à l’origine coupe l’axe des abscisses au point \(t = \tau\).
La demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée correspondant à la désintégration de la moitié des noyaux initialement présents.
\(N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2}\) ⇒ \(e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}\)
\(-\lambda t_{1/2} = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2\)
L’activité \(a(t)\) est le nombre de désintégrations par seconde.
Unités :
- Becquerel (Bq) : 1 Bq = 1 désintégration/seconde
- Curie (Ci) : \(1\ \text{Ci} = 3,7 \times 10^{12}\ \text{Bq}\)
Relations :
\(a(t) = a_0 e^{-\lambda t}\)
Pour les objets issus du monde vivant, l’échange dynamique avec le milieu extérieur maintient constant le nombre de noyaux radioactifs dans l’organisme. À la mort, les échanges cessent et la décroissance suit la loi exponentielle.
Principe de la datation au carbone 14 :
- La proportion \(^{14}C/^{12}C\) est identique dans les tissus vivants.
- À la mort, la quantité de \(^{14}C\) décroît par radioactivité \(\beta^-\).
- En mesurant l’activité résiduelle, on peut déterminer l’âge.
D’où l’âge :
📌 Il faut choisir un élément radioactif dont la demi-vie est adaptée à l’âge estimé (au bout de \(10 \times t_{1/2}\), tous les noyaux sont désintégrés).
Très peu pénétrants. Arrêtés par une feuille de papier ou les couches superficielles de la peau.
Moyennement pénétrants. Arrêtés par quelques millimètres de métal (aluminium).
Très énergétiques et très pénétrants. Nécessitent plusieurs dizaines de cm de plomb ou plusieurs mètres de béton pour être arrêtés.
Temps, distance, écran : limiter le temps d’exposition, s’éloigner, utiliser des écrans adaptés.
\(e^0 = 1\)
\(e^{a+b} = e^a e^b\)
\(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
\((e^a)^b = e^{ab}\)
\(e^{\ln a} = a\)
\(\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x\)
\(\ln 1 = 0\)
\(\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b\)
\(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b\)
\(\ln(a^b) = b \cdot \ln a\)
\(\ln(e^a) = a\)
\(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)
⏱️ Demi-vie\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
\(a(t) = \lambda N(t) = a_0 e^{-\lambda t}\)
🕰️ Constante de temps\(\tau = \dfrac{1}{\lambda}\)
