☢️ Décroissance radioactive | Loi exponentielle
<Décroissance radioactive
1 Stabilité et instabilité des noyaux
1.1 Composition du noyau
Le noyau d’un atome est constitué de nucléons (protons et neutrons). Il est représenté par le symbole :
- \(A\) : nombre de masse — nombre total de nucléons
- \(Z\) : nombre de charge — nombre de protons
- \(N\) : nombre de neutrons, avec \(N = A – Z\)
1.2 Les nucléides
Un nucléide est l’ensemble des noyaux ayant le même \(A\) et le même \(Z\).
Exemples : \({}^{12}_{6}\mathrm{C}\) et \({}^{14}_{6}\mathrm{C}\) sont deux nucléides du carbone ; \({}^{235}_{92}\mathrm{U}\) et \({}^{238}_{92}\mathrm{U}\) sont deux nucléides de l’uranium.
1.3 Les isotopes
Les isotopes d’un élément possèdent le même \(Z\) mais un \(N\) différent.
Exemple : \({}^{12}_{6}\mathrm{C}\) et \({}^{14}_{6}\mathrm{C}\) sont deux isotopes du carbone.
1.4 Diagramme de Ségrè (N, Z)
Le diagramme de Ségrè représente chaque noyau par un carré d’abscisse \(Z\) et d’ordonnée \(N\). La vallée de stabilité contient les noyaux stables.
| Position dans le diagramme | Caractéristique | Émission |
|---|---|---|
| Sur la bissectrice \(N = Z\) (\(Z < 20\)) | Stables | — |
| Au bout de la vallée (noyaux lourds) | Instables, excès de nucléons | Particules \(\alpha\) |
| Au-dessus de la vallée | Instables, excès de neutrons | Électrons \(\beta^-\) |
| Au-dessous de la vallée | Instables, excès de protons | Positrons \(\beta^+\) |
2 La radioactivité
2.1 Définition
La radioactivité est une transformation nucléaire naturelle, spontanée et imprévisible d’un noyau instable \({}^{A}_{Z}X\) en un noyau fils \({}^{A’}_{Z’}Y\) avec émission d’une particule \({}^{A »}_{Z »}P\) :
2.2 Lois de conservation (Lois de Soddy)
Lors d’une transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de nucléons et du nombre de charges :
2.3 Les différents types de radioactivité
Émission de noyaux d’hélium \({}^{4}_{2}\mathrm{He}\) — noyaux lourds (\(A > 200\)).
Ex : \({}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}\)
Émission d’électrons \({}^{0}_{-1}e\) — noyaux avec excès de neutrons.
Ex : \({}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{0}_{-1}e\)
Remarque : \({}^{1}_{0}n \to {}^{1}_{1}p + {}^{0}_{-1}e\)
Émission de positrons \({}^{0}_{+1}e\) — noyaux avec excès de protons.
Ex : \({}^{30}_{15}\mathrm{P} \to {}^{30}_{14}\mathrm{Si} + {}^{0}_{+1}e\)
Remarque : \({}^{1}_{1}p \to {}^{1}_{0}n + {}^{0}_{+1}e\)
Le noyau fils excité se désexcite en libérant un rayonnement \(\gamma\) :
Ex : \({}^{234}_{90}\mathrm{Th}^* \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + \gamma\)
2.4 Famille radioactive
Le noyau fils peut à son tour se désintégrer, formant une famille radioactive jusqu’à obtenir un noyau stable. Il existe quatre familles naturelles : \({}^{238}_{92}\mathrm{U}\), \({}^{235}_{92}\mathrm{U}\), \({}^{232}_{90}\mathrm{Th}\) et \({}^{237}_{93}\mathrm{Np}\).
3 La décroissance radioactive
3.1 Loi de décroissance radioactive
Le nombre de noyaux \(N(t)\) d’un échantillon radioactif suit la loi :
- \(N(t)\) : nombre de noyaux non désintégrés à l’instant \(t\)
- \(N_0\) : nombre de noyaux à \(t = 0\)
- \(\lambda\) : constante radioactive (\(\mathrm{s^{-1}}\))
3.2 Constante de temps \(\tau\)
À \(t = \tau\) :
Ainsi \(\tau\) est la durée nécessaire à la désintégration de 63 % des noyaux initiaux.
3.3 Temps de demi-vie \(t_{1/2}\)
La demi-vie \(t_{1/2}\) est la durée après laquelle la moitié des noyaux s’est désintégrée :
3.4 Activité d’un échantillon radioactif
L’activité \(a(t)\) est le nombre de désintégrations par seconde. Unité : Becquerel (Bq). Aussi : \(1\,\mathrm{Ci} = 3{,}7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}\).
4 Application à la datation
4.1 Principe
Pendant la vie d’un organisme, les échanges maintiennent constant le nombre de noyaux radioactifs. À la mort, les échanges cessent et la décroissance suit la loi exponentielle.
4.2 Datation au carbone 14
- Pendant la vie, la proportion de \({}^{14}\mathrm{C}\) reste constante dans les tissus.
- À la mort, \({}^{14}\mathrm{C}\) décroît par radioactivité \(\beta^-\).
En comparant l’activité de l’échantillon mort à celle d’un échantillon vivant :
5 Protection contre les rayonnements
- Les rayons alpha sont très peu pénétrants — arrêtés par une feuille de papier ou les couches superficielles de la peau.
- Les rayons bêta sont moyennement pénétrants — traversent la peau mais sont arrêtés par quelques millimètres de métal.
- Les rayons gamma sont très pénétrants — plusieurs dizaines de cm de plomb ou plusieurs mètres de béton sont nécessaires.
∑ Formulaire mathématique
| Exponentielle | Logarithme |
|---|---|
| \(e^0 = 1\) | \(\ln 1 = 0\) |
| \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\) | \(\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b\) |
| \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\) | \(\ln\!\dfrac{a}{b} = \ln a – \ln b\) |
| \(e^{ab} = \left(e^a\right)^b\) | \(\ln a^b = b\ln a\) |
| \(e^{\ln a} = a\) | \(\ln e^a = a\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\!\left(a\,e^{bx}\right) = ab\,e^{bx}\) | \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\ln(ax)\right) = \dfrac{1}{x}\) |
