🌊 Onde mécanique progressive sinusoïdale

Onde sinusoïdale | Période, fréquence, longueur d’onde et célérité

🌊 Onde mécanique progressive sinusoïdale

Période T · Fréquence N · Longueur d’onde λ · Célérité V = λ·N

🔄 Fréquence et période – relation fondamentale

Fréquence N (ou f) : nombre de périodes par unité de temps. Elle est reliée à la période T par :

\( N = \dfrac{1}{T} \)

Unités : T en secondes (s), N en hertz (Hz).

📝 Exercice d’application 1 – Détermination de T, N et λ

📈 Figure 1 – Signal temporel (période T)

🔍 D’après la figure, une période correspond à 4 divisions avec une échelle horizontale : 1 division = 2 ms.

✅ 1️⃣ Détermination de la période T et de la fréquence N :
Sur la figure 1 :
  • L’échelle horizontale : 1 division = 2 ms.
  • La période occupe 4 divisions → \(T = 4 \times 2 = 8\ \text{ms} = 8 \times 10^{-3}\ \text{s}\).
  • Fréquence : \(N = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{8 \times 10^{-3}} = 125\ \text{Hz}\).
➜ T = 8 ms ; N = 125 Hz.

📐 2.1 – Définition : onde mécanique progressive sinusoïdale

Une onde mécanique progressive périodique est dite sinusoïdale si l’évolution temporelle de la source peut être décrite par une fonction sinusoïdale. L’élongation d’un point du milieu s’écrit :

\( y(t) = A \cdot \cos \left( \dfrac{2\pi}{T}\, t + \varphi \right) \)

A : amplitude (élongation maximale, en m)
T : période temporelle (s)
φ : phase à l’origine (rad)

⚡ 2.2 – Célérité d’une onde mécanique sinusoïdale

Pendant une période T, l’onde parcourt exactement une longueur d’onde λ. La célérité (vitesse de propagation) s’exprime donc par :

\( V = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \cdot N \)

Avec :

V : célérité en m·s⁻¹
λ : longueur d’onde (m)
T : période (s)
N : fréquence (Hz)

📌 Exemple d’application directe

🎯 Calcul de V (corde ou son)

Une onde sinusoïdale de fréquence 125 Hz (donnée de l’exercice précédent) et de longueur d’onde λ = 0,24 m se propage. Quelle est sa célérité ?

\( V = \lambda \cdot N = 0,24 \times 125 = 30\ \text{m·s}^{-1} \)

➜ La célérité de cette onde est 30 m/s.

🌊 Relation fondamentale

Quel que soit le type d’onde sinusoïdale (sonore, sur une corde, à la surface de l’eau), la relation V = λ / T = λ·N est toujours valable dans un milieu non dispersif (où V ne dépend pas de N).

💡 À retenir : La célérité est une caractéristique du milieu de propagation. Pour une onde sinusoïdale, la longueur d’onde λ est la distance parcourue pendant une période T.

📊 Tableau récapitulatif – Grandeurs caractéristiques

Grandeur	Symbole	Définition	Unité (SI)
Période temporelle	T	Durée d’une oscillation complète	seconde (s)
Fréquence	N (ou f)	Nombre d’oscillations par seconde : N = 1/T	hertz (Hz)
Longueur d’onde	λ	Distance parcourue par l’onde pendant une période	mètre (m)
Célérité	V	Vitesse de propagation : V = λ / T = λ·N	m·s⁻¹
Amplitude	A	Valeur maximale de l’élongation	mètre (m)

✏️ Exercice d’application 2 – Exploitation des relations

🔹 Énoncé :

Une onde sinusoïdale de fréquence \( N = 250\ \text{Hz} \) se propage le long d’une corde avec une célérité \( V = 40\ \text{m·s}^{-1} \).
a) Calculer la période T.
b) Déterminer la longueur d’onde λ.
c) Si la tension de la corde double, sachant que \( V = \sqrt{F/\mu} \), comment varie la longueur d’onde ?

✅ Correction :

a) \( T = \dfrac{1}{N} = \dfrac{1}{250} = 4\times 10^{-3}\ \text{s} = 4\ \text{ms} \).
b) \( \lambda = \dfrac{V}{N} = \dfrac{40}{250} = 0,16\ \text{m} = 16\ \text{cm} \).
c) Si la tension double, la célérité \( V \) augmente d’un facteur \( \sqrt{2} \) (car \( V \propto \sqrt{F} \)). À fréquence constante, \( \lambda = V/N \) augmente donc dans le même rapport \( \sqrt{2} \). La nouvelle longueur d’onde devient \( \lambda’ = \lambda \times \sqrt{2} \approx 0,226\ \text{m} \).

🔸 Question réflexe :

Une onde sonore sinusoïdale dans l’air à 15°C a une fréquence N = 440 Hz (la note La). La célérité du son dans l’air à 15°C est 340 m/s. Quelle est sa longueur d’onde ?
Réponse : \( \lambda = V/N = 340 / 440 \approx 0,7727\ \text{m} \) (environ 77,3 cm).

🧠 Synthèse – Onde mécanique sinusoïdale

🔁 Relations clés

\( N = 1/T \)
\( V = \lambda / T = \lambda \cdot N \)
\( \lambda = V \cdot T = V / N \)

📈 Représentation

• Temporel → période T
• Spatial → longueur d’onde λ

Une onde sinusoïdale est caractérisée par son amplitude, sa fréquence et sa célérité (qui dépend du milieu).

🌟 Points fondamentaux : La célérité V ne dépend que des propriétés du milieu (élasticité, masse linéique, température). La longueur d’onde λ s’ajuste selon λ = V / N. Ces notions sont essentielles en acoustique, en optique ondulatoire et pour l’étude des ondes mécaniques.

🌊 Propagation des ondes mécaniques

Comparaison de l’état vibratoire de deux points

📐 Condition fondamentale

Pour comparer l’état vibratoire de deux points M et N d’un milieu de propagation, il faut comparer la distance MN avec la longueur d’onde λ :

✅ Si MN = k·λ (avec k ∈ ℕ*), alors M et N vibrent en phase.
⚠️ Si MN = (k + ½)·λ (avec k ∈ ℕ), alors M et N vibrent en opposition de phase.

💡 Interprétation : un déplacement multiple de la longueur d’onde correspond à un même état vibratoire ; un déplacement égal à un nombre impair de demies longueurs d’onde correspond à une opposition.

✍️ Exercice d’application n°3

Comparer l’état vibratoire des points A et B, A et D, A et C pour une onde de longueur d’onde λ donnée.
Les distances relatives sont exprimées ci-dessous.

🔵 A ↔ B

AB / λ = 1

✔ Phase identique

AB = 1·λ → k=1 entier → vibrent en phase.

🔵 A ↔ D

AD / λ = 2

✔ Phase identique

AD = 2·λ → k=2 → vibrent en phase.

🔴 A ↔ C

AC / λ = 1,5

⚠ Opposition de phase

AC = 1,5·λ = (1 + ½)λ → k=1 → opposition de phase.

📘 Rappel du raisonnement :
• AB/λ = 1 ⇒ AB = λ ⇒ k = 1 ⇒ vibration en phase.
• AD/λ = 2 ⇒ AD = 2λ ⇒ k = 2 ⇒ vibration en phase.
• AC/λ = 1,5 = 3/2 ⇒ AC = (1 + ½)λ ⇒ opposition de phase.

📈 Représentation graphique : état vibratoire

🌊 Profil de l’onde à un instant t — Positions A, B, C, D

A, B, D (en phase avec A)

C (opposition de phase)

D (phase avec A) 📐 λ ≈ 120 px sur l’illustration

✅ Sur le graphique : A et B ont la même position verticale ⇒ même état vibratoire. A et D également en phase. A et C sont en opposition de phase (décalage de crête/creux).

🧠 Pour aller plus loin

🔄 En phase
Deux points vibrent en phase si leur différence de marche est un multiple entier de la longueur d’onde. Ils atteignent leurs maxima et minima simultanément.

⚡ Opposition de phase
Lorsque la distance est un multiple impair de la demi-longueur d’onde, les mouvements sont symétriques : l’un monte quand l’autre descend.

📌 Conclusion de l’exercice 3 :
• A et B : AB = λ → même phase
• A et D : AD = 2λ → même phase
• A et C : AC = 1,5λ = 3λ/2 → opposition de phase
✅ La condition générale : pour MN = kλ → phase identique ; pour MN = (k+0.5)λ → opposition.

📋 Récapitulatif visuel des relations

Paire de points	Distance relative (MN/λ)	Nature	Conséquence vibratoire
A – B	AB = 1·λ	k = 1 (entier)	✅ EN PHASE
A – D	AD = 2·λ	k = 2 (entier)	✅ EN PHASE
A – C	AC = 1,5·λ	(1 + ½)λ → k=1	⚠ OPPOSITION DE PHASE

💡 Conseil pédagogique : Pour bien visualiser, retenez que la distance entre deux points séparés d’une longueur d’onde (ou un multiple) correspond à un même état vibratoire. Une demi-longueur d’onde (et ses multiples impairs) correspond à une opposition. Cet exercice illustre parfaitement la comparaison à partir du rapport MN/λ.

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📌 Exemple d’application directe

🌊 Propagation des ondes mécaniques

✍️ Exercice d’application n°3

📈 Représentation graphique : état vibratoire

🧠 Pour aller plus loin

📋 Récapitulatif visuel des relations

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