À l’instant \(t = 0\), on ferme l’interrupteur K en position 1. Le condensateur est initialement déchargé : \(u_C(t=0) = 0\).

D’après la loi d’additivité des tensions :

Loi d’Ohm : \(u_R = R \cdot i\)

\(i = \dfrac{dq}{dt}\) et \(q = C \cdot u_C\) ⇒ \(i = C \dfrac{du_C}{dt}\)

Donc : \(u_R = RC \dfrac{du_C}{dt}\)

📌 C’est l’équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C\) pendant la charge.

En remplaçant \(u_C = \dfrac{q}{C}\) dans l’équation différentielle :

\(RC \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{q}{C}\right) + \dfrac{q}{C} = E\)

La solution de l’équation \(RC \dfrac{du_C}{dt} + u_C = E\) s’écrit sous la forme :

\(A, B\) et \(\tau\) sont des constantes à déterminer.

Détermination de \(A\) et \(\tau\) :

\(u_C(t) = A + B e^{-t/\tau}\) ⇒ \(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\)

En remplaçant dans l’équation différentielle :

\(RC\left(-\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + A + B e^{-t/\tau} = E\)

Soit : \(A + B\left(1 – \dfrac{RC}{\tau}\right) e^{-t/\tau} = E\)

Cette égalité doit être vraie pour tout \(t\). On identifie :

• Terme constant : \(A = E\)
• Terme en \(e^{-t/\tau}\) : \(1 – \dfrac{RC}{\tau} = 0\) ⇒ \(\tau = RC\)

\(\tau\) est la constante de temps du dipôle RC (unité : seconde).

À \(t = 0\), le condensateur est déchargé : \(u_C(0) = 0\).

\(u_C(0) = A + B e^{0} = A + B = 0\) ⇒ \(B = -A = -E\)

C’est l’expression de la tension aux bornes du condensateur pendant la charge.

💡 Interprétation :

• À \(t = 0\) : \(u_C = 0\) (condensateur déchargé).
• À \(t = \tau\) : \(u_C = E(1 – e^{-1}) \approx 0,63 E\) (63% de la charge finale).
• À \(t \to \infty\) : \(u_C \to E\) (condensateur complètement chargé).
• La constante de temps \(\tau = RC\) caractérise la rapidité de la charge.

💡 À retenir : La constante de temps \(\tau = RC\) détermine la vitesse de charge. Après \(5\tau\), le condensateur est considéré comme complètement chargé (99%).