Satellites artificielles et planètes

Satellites artificielles et planètes

Satellites artificielles et planètes

i.Les lois de Kepler

Référentielle héliocentrique

Est un référentielle a pour origine le centre du soleil et ces axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines

Référentielle géocentrique

Est un référentielle a pour origine le centre de la terre et ces axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines

1ér loi de Kepler : Loi des orbites

Dans un référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe un des foyers

2éme loi de Kepler : Loi des aires

Le segment de droite reliant les centres de gravité de soleil (S) et de la planète (P) balaie des aires égales pendant des durées égales

3éme loi de Kepler : Loi des périodes

Le rapport du carré de la période de révolutions T et le cube du demi grand axe a est constant.

$\dfrac{T^2}{a^3}=\text{cte}$

ii.Étude du mouvement d’une planète autour du soleil

1)  Loi de la gravitation universelle (rappel)

Deux corps ponctuels A et B, de masses $m_A$ et $m_B$, séparés par la distance $d$, exercent l’un sur l’autre des forces d’interactions $\overrightarrow{F_{A/B}}$ et $\overrightarrow{F_{B/A}}$ ayant :

  • Même droite d’action (AB)
  • Des sens opposés
  • Même intensité : $F_{A/B}=F_{B/A}=G\,\dfrac{m_A m_B}{d^2}$

G : constante de gravitation universelle    $G=6.67\cdot10^{-11}\ \text{(S.I)}$

2)  Étude du mouvement d’une planète autour du soleil

Une planète (P) de masse $m_P$ décrit un mouvement autour du soleil.

On choisit le référentiel héliocentrique pour étudier le mouvement

  • Le système étudie : ( la planète P)
  • Les forces exercées sur (P) :

La force exercée par le soleil : $\overrightarrow{F_{S/P}}=-G\,\dfrac{m_P M_S}{r^2}\,\overrightarrow{u_{SP}}$

  • On applique la 2éme loi de newton :

$m_P\vec a=\sum\overrightarrow{F_{ext}}\iff m_P\vec a=\overrightarrow{F_{S/P}}=-G\dfrac{m_P M_S}{r^2}\overrightarrow{u_{SP}}$

$\vec a=-G\,\dfrac{M_S}{r^2}\,\overrightarrow{u_{SP}}$

Remarque :  $\overrightarrow{u_{SP}}=-\vec n$

  • Dans la base de Frénet : $\vec a=\dfrac{dV}{dt}\vec u+\dfrac{V^2}{r}\,\vec n=G\dfrac{M_S}{r^2}\,\vec n$

$\dfrac{dV}{dt}=0\quad\text{et}\quad\dfrac{V^2}{r}=G\dfrac{M_S}{r^2}$

  • La vitesse du centre de la planète est alors : $V=\sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r}}$

La période de révolution T

La période de révolution d’une planète est la durée d’un tour complet de son centre autour du soleil

On a $T=\dfrac{2\pi r}{V}$ et $V=\sqrt{\dfrac{G M_S}{r}}$  $\iff$  $T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M_S}}$

COURS  2BAC PCBABA EL HOUSSINE
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3)  Étude du mouvement d’un satellite autour de la terre

Un satellite (S) de masse $m_S$ décrit un mouvement autour de la terre

On choisit le référentiel géocentrique pour étudier le mouvement.

Le système étudie : ( le satille S )

  • Les forces exercées sur (S) :

La force exercée par la terre $\overrightarrow{F_{T/S}}=-G\,\dfrac{m_S M_T}{r^2}\,\overrightarrow{u_{TS}}$

  • On applique la 2éme loi de newton :

$m_S\vec a=\sum\overrightarrow{F_{ext}}\iff m_S\vec a=\overrightarrow{F_{T/S}}=-G\dfrac{m_S M_T}{r^2}\overrightarrow{u_{TS}}$

  • Dans la base de Frénet :

$\vec a=\dfrac{dV}{dt}\vec u+\dfrac{V^2}{r}\,\vec n=G\dfrac{M_T}{r^2}\,\vec n$
$\dfrac{dV}{dt}=0\quad\text{et}\quad\dfrac{V^2}{r}=G\dfrac{M_T}{r^2}$

  • La vitesse du centre du satelette est alors : $V=\sqrt{\dfrac{G M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{G M_T}{R_T+h}}$  avec  $r=R_T+h$

La période de révolution T

La période de révolution d’un satellite est la durée d’un tour complet autour de la terre,  $T=2\pi\sqrt{\dfrac{(R_T+h)^3}{G M_T}}$

4)  La satellisation

La satellisation c’est mettre un satellite sur son orbite autour de la terre et de lui donner une vitesse suffisante pour avoir un mouvement circulaire uniforme autour de la terre

5)  Les satellites géostationnaires

Pour qu’un satellite soit géostationnaire par rapport à la terre, il faut :

  • Qu’ils décrivent un mouvement circulaire uniforme dans un plan contenant l’équateur.
  • Qu’ils tournent dans le même sens que la terre.
  • Que leur période de révolution soit égale à la période de rotation de la terre ($T_{terre}\approx 24\,\text{h}$).
Remarque

On peut calculer la hauteur $h$ à laquelle un satellite soit géostationnaire par rapport à la terre

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(R_T+h)^3}{G\,M_T}}\quad\iff\quad h=\sqrt[3]{\dfrac{T^2\,G\,M_T}{4\pi^2}}-R_T$

COURS  2BAC PC
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📚 D'autres cours : A13 : Satellites artificiels et planètes 1+4h