Dipôle RC | Solution complète RC-5
🔌 Dipôle RC | Solution complète
La solution de l’équation différentielle \( RC \dfrac{du_C}{dt} + u_C = E \) s’écrit sous la forme :
\(A, B\) et \(\tau\) sont des constantes à déterminer.
\(u_C(t) = A + B e^{-t/\tau}\) ⇒ \(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\)
En remplaçant dans l’équation différentielle :
\(RC\left(-\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + A + B e^{-t/\tau} = E\)
\(B e^{-t/\tau}\left(1 – \dfrac{RC}{\tau}\right) + A = E\)
Pour que cette équation soit vérifiée pour tout \(t\), il faut que :
D’où :
À l’instant \(t = 0\), le condensateur est initialement déchargé : \(u_C(0) = 0\).
\(u_C(0) = A + B e^{0} = A + B = 0\)
Donc : \(B = -A = -E\)
On a : \(q = C \cdot u_C\)
Donc :
On a : \(i = \dfrac{dq}{dt} = C \dfrac{du_C}{dt}\)
\(\dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{RC} e^{-t/RC}\)
Donc :
📌 Tension uC(t) = E(1 − e−t/RC)
📌 Courant i(t) = \( \dfrac{E}{R} e^{-t/RC} \)
pour q(t):
💡 Interprétation :
- Régime transitoire : période pendant laquelle la tension uC augmente (0 à 5τ) et le courant i diminue exponentiellement.
- Régime permanent : après 5τ, uC ≈ E et i ≈ 0. Le condensateur est complètement chargé.
- La constante de temps τ = RC détermine la vitesse de charge.
\(u_C(t) = E(1 – e^{-t/RC})\)
🔋 Charge\(q(t) = CE(1 – e^{-t/RC})\)
\(i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/RC}\)
⏱️ Constante de temps\(\tau = RC\)
- À \(t = \tau\) : \(u_C = 0,63E\) et \(i = 0,37 \cdot E/R\)
- À \(t = 5\tau\) : le condensateur est considéré comme complètement chargé (99%)
- Le régime transitoire dure environ \(5\tau\)
| t | uC(t)/E | i(t)/(E/R) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| τ | 0,63 | 0,37 |
| 2τ | 0,86 | 0,14 |
| 3τ | 0,95 | 0,05 |
| 4τ | 0,98 | 0,02 |
| 5τ | 0,99 | 0,007 |
📌 À \(t = \tau\) :
- \(u_C = 0,63\,E\) (63% de la charge finale)
- \(i = 0,37\,E/R\) (37% du courant initial)
📌 À \(t = 5\tau\) :
- \(u_C \approx 0,99\,E\) (condensateur chargé)
- \(i \approx 0\) (plus de courant)