Dipôle RC | Décharge du condensateur RC-6
🔌 Dipôle RC | Décharge du condensateur
📌 Montage RC pour la décharge du condensateur
À l’instant \(t = 0\), on ferme l’interrupteur K en position 2. Le condensateur est initialement chargé : \(u_C(0) = E\).
D’après la loi d’additivité des tensions :
Loi d’Ohm : \(u_R = R \cdot i\)
\(i = \dfrac{dq}{dt}\) et \(q = C \cdot u_C\) ⇒ \(i = C \dfrac{du_C}{dt}\)
Donc : \(u_R = RC \dfrac{du_C}{dt}\)
En remplaçant dans la loi d’additivité des tensions :
Soit :
En remplaçant \(u_C = \dfrac{q}{C}\) dans l’équation différentielle :
\(RC \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{q}{C}\right) + \dfrac{q}{C} = 0\)
Soit : \(\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{1}{RC} q = 0\)
La solution de l’équation \(RC \dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0\) s’écrit sous la forme :
\(A\) et \(\tau\) sont des constantes à déterminer.
Détermination de \(\tau\) :
\(u_C(t) = A e^{-t/\tau}\) ⇒ \(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{A}{\tau} e^{-t/\tau}\)
En remplaçant dans l’équation différentielle :
\(RC\left(-\dfrac{A}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + A e^{-t/\tau} = 0\)
\(A e^{-t/\tau}\left(1 – \dfrac{RC}{\tau}\right) = 0\)
Pour que cette équation soit vérifiée pour tout \(t\), il faut que :
À l’instant \(t = 0\), le condensateur est initialement chargé : \(u_C(0) = E\).
\(u_C(0) = A e^{0} = A = E\)
On a : \(q = C \cdot u_C\)
Donc :
On a : \(i = \dfrac{dq}{dt} = C \dfrac{du_C}{dt}\)
\(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{E}{RC} e^{-t/RC}\)
Donc :
⚠️ Le signe − indique que le courant circule en sens inverse de la charge.
📌 uC(t) = E e−t/RC
📌 i(t) = −(E/R) e−t/RC (courant négatif)
\(u_C(t) = E(1 – e^{-t/RC})\)
\(i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/RC}\)
\(u_C(t) = E e^{-t/RC}\)
\(i(t) = -\dfrac{E}{R} e^{-t/RC}\)
- La constante de temps \(\tau = RC\) est la même pour la charge et la décharge.
- À \(t = \tau\) : en charge, \(u_C = 0,63E\) ; en décharge, \(u_C = 0,37E\).
- Après \(5\tau\), le condensateur est considéré comme complètement déchargé (u_C ≈ 0).
🔌 Dipôle RC | Décharge – Solutions complètes
À l’instant \(t = 0\), le condensateur est initialement chargé : \(u_C(0) = E\).
On a : \(u_C(t) = A e^{-t/\tau}\)
À \(t = 0\) : \(u_C(0) = A e^{0} = A = E\)
Finalement, l’expression de la tension \(u_C(t)\) s’écrit :
On a : \(q = C \cdot u_C\)
Donc :
On a : \(i(t) = \dfrac{dq}{dt} = C \dfrac{du_C}{dt}\)
\(\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{E}{RC} e^{-t/RC}\)
Donc :
⚠️ Le signe − indique que le courant circule en sens inverse par rapport à la charge.
📌 q(t) = CE e−t/RC
📌 i(t) = −(E/R) e−t/RC
💡 Interprétation :
- À \(t = 0\) : \(q = CE\) (charge maximale), \(i = -E/R\) (courant maximal négatif).
- À \(t = \tau\) : \(q = 0,37 CE\), \(i = -0,37 E/R\).
- À \(t \to \infty\) : \(q \to 0\), \(i \to 0\) (condensateur complètement déchargé).
\(u_C(t) = E(1 – e^{-t/RC})\)
\(q(t) = CE(1 – e^{-t/RC})\)
\(i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/RC}\)
\(u_C(t) = E e^{-t/RC}\)
\(q(t) = CE e^{-t/RC}\)
\(i(t) = -\dfrac{E}{R} e^{-t/RC}\)
💡 À retenir :
- La constante de temps \(\tau = RC\) est la même pour la charge et la décharge.
- À \(t = \tau\) : en charge, \(u_C = 0,63E\) ; en décharge, \(u_C = 0,37E\).
- Le courant de décharge est négatif (sens opposé au courant de charge).
- Après \(5\tau\), le condensateur est considéré comme complètement déchargé (u_C ≈ 0).
| t | Charge uC/E | Décharge uC/E | Charge i/(E/R) | Décharge i/(E/R) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | −1 |
| τ | 0,63 | 0,37 | 0,37 | −0,37 |
| 2τ | 0,86 | 0,14 | 0,14 | −0,14 |
| 3τ | 0,95 | 0,05 | 0,05 | −0,05 |
| 4τ | 0,98 | 0,02 | 0,02 | −0,02 |
| 5τ | 0,99 | 0,01 | 0,01 | −0,01 |
📌 Constante de temps τ = RC
- τ est homogène à un temps (seconde).
- Plus τ est grand, plus la charge ou la décharge est lente.
- Plus τ est petit, plus la charge ou la décharge est rapide.