Dipôle RC | Constante de temps τ = RC-7

Dipôle RC | Constante de temps τ = RC | Énergie emmagasinée

🔌 Dipôle RC | Constante de temps τ = RC

Analyse dimensionnelle · Détermination graphique · Énergie emmagasinée Ee = ½·C·uC²
44 Constante du temps ثابت الزمن
(a) Définition

La constante du temps d’un dipôle RC est la grandeur :

\(\tau = RC\)
(b) Analyse dimensionnelle de la constante du temps τ

On a : \(\tau = RC\) ⇒ \([\tau] = [R] \cdot [C]\)

  • Pour le conducteur ohmique : \(u_R = R i\) ⇒ \([R] = \dfrac{[u_R]}{[i]} = \dfrac{U}{I}\)
  • Pour le condensateur : \(i = C \dfrac{du_C}{dt}\) ⇒ \([C] = \dfrac{[i] \cdot [t]}{[u_C]} = \dfrac{I \cdot T}{U}\)

On obtient :

\([\tau] = \dfrac{U}{I} \times \dfrac{I \cdot T}{U} = T\)
\(\boxed{[\tau] = T}\)

La constante du temps \(\tau\) a la dimension d’un temps, elle s’exprime en seconde (s).

(c) Détermination de la constante de temps
🔋 Charge

\(u_C(t) = E(1 – e^{-t/\tau})\)

Méthode 1 :
À \(t = \tau\), \(u_C = E(1 – e^{-1}) = 0,63E\)
τ est l’abscisse correspondant à l’ordonnée 0,63E.

Méthode 2 :
τ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine avec la droite horizontale \(u_C = E\).

🔌 Décharge

\(u_C(t) = E e^{-t/\tau}\)

Méthode 1 :
À \(t = \tau\), \(u_C = E e^{-1} = 0,37E\)
τ est l’abscisse correspondant à l’ordonnée 0,37E.

Méthode 2 :
τ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine avec l’axe des temps.

Charge – Méthode de la tangente

Décharge – Méthode de la tangente

⚠️ Remarque : La durée du régime transitoire (la durée de charge ou de décharge) est :

\(\Delta t \approx 5\tau\)

Après \(5\tau\), le condensateur est considéré comme complètement chargé ou déchargé (à 99%).

5 Énergie emmagasinée dans un condensateur الطاقة المخزنة في مكثف

La puissance électrique reçue par le condensateur est :

\(P_e = u_C \cdot i = C \cdot u_C \cdot \dfrac{du_C}{dt}\)

On remarque que :

\(P_e = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2} C u_C^2\right)\)

Et puisque \(P_e = \dfrac{dE_e}{dt}\), l’énergie emmagasinée dans le condensateur est :

\(\boxed{E_e = \dfrac{1}{2} C u_C^2}\)

\(E_e\) en joule (J) ; \(C\) en farad (F) ; \(u_C\) en volt (V).

📐 Autres expressions de l’énergie
🔋 Avec q et uC

En utilisant \(q = C u_C\) :

\(E_e = \dfrac{1}{2} q u_C\)
⚡ Avec q et C

En utilisant \(u_C = \dfrac{q}{C}\) :

\(E_e = \dfrac{1}{2} \dfrac{q^2}{C}\)

💡 Interprétation :

  • L’énergie emmagasinée est proportionnelle au carré de la tension.
  • Pour un condensateur complètement chargé (à \(t \to \infty\), \(u_C = E\)) :
    • \(E_{e,\text{max}} = \dfrac{1}{2} C E^2\)
  • Cette énergie est restituée intégralement lors de la décharge (dans la résistance).
t Ee ½ CE² Ee(t) = ½ C uC²(t)

📌 Évolution de l’énergie emmagasinée pendant la charge

📌 Récapitulatif – Constante de temps et énergie ملخص
⏱️ Constante de temps

\(\tau = RC\) (seconde)

📐 Analyse dimensionnelle

\([\tau] = T\)

⚡ Énergie emmagasinée

\(E_e = \dfrac{1}{2} C u_C^2 = \dfrac{1}{2} q u_C = \dfrac{1}{2} \dfrac{q^2}{C}\)

📈 Charge – Méthode τ

uC(τ) = 0,63E
Tangente à l’origine coupe uC = E en t = τ

📉 Décharge – Méthode τ

uC(τ) = 0,37E
Tangente à l’origine coupe l’axe des temps en t = τ

💡 À retenir :
  • La constante de temps \(\tau = RC\) caractérise la rapidité de charge/décharge.
  • Le régime transitoire dure environ \(5\tau\).
  • L’énergie emmagasinée est \(E_e = \frac{1}{2} C u_C^2\) – elle est restituée lors de la décharge.
🔌 Constante de temps : \( \tau = RC \) · Analyse dimensionnelle : \( [\tau] = T \) · Détermination graphique : \( 0{,}63E \) (charge) ou \( 0{,}37E \) (décharge) · Énergie : \( E_e = \frac{1}{2} C u_C^2 \)
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