Étude énergétique – Pendule élastique horizontal

Étude énergétique du pendule élastique

📐 Étude énergétique | Pendule élastique horizontal

Énergie cinétique, potentielle élastique & mécanique — Conservation & dissipation

3 Étude énergétique du pendule élastique horizontal

2.5 Énergie cinétique

L’énergie cinétique du solide \(S\), de masse \(m\) et de vitesse \(v\), suspendu à un ressort, est :

\[ E_c=\frac12 mv^2 \]

Avec :

\[ x(t)=X_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \] \[ \dot{x}=-X_m\left(\frac{2\pi}{T_0}\right) \sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Donc :

\[ E_c=\frac12 m\dot{x}^{\,2} \]

2.6 Énergie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique \(E_{pe}\) d’un système (solide + ressort) horizontal est :

\[ E_{pe}=\frac12 kx^2+C \]

où \(C\) est une constante dépendant du choix de l’état de référence.

Souvent on choisit :

\[ E_{pe}=0 \quad \text{pour} \quad x=0 \]

Donc :

\[ C=0 \] \[ E_{pe}=\frac12 kx^2 \]

Remarque

Le travail de la force de rappel :

\[ \vec{T}=-k.x\,\vec{i} \]

entre les points \(A\) et \(B\) est :

\[ W_{AB}(\vec{T})=-\Delta E_{pe} \] \[ W_{AB}(\vec{T}) = \frac12 kx_A^2 – \frac12 kx_B^2 \]

2.7 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique du système est la somme :

  • de l’énergie cinétique
  • de l’énergie potentielle élastique
\[ E_m=E_c+E_{pe} \]
\[ E_m= \frac12 m\dot{x}^{\,2} + \frac12 kx^2 + C \]

Si \(C=0\) :

\[ E_m= \frac12 m\dot{x}^{\,2} + \frac12 kx^2 \]

2.8 Résultats d’expression d’énergie mécanique

a) Cas des frottements négligeables

Lorsque les frottements sont négligeables :

  • l’amplitude reste constante
  • le mouvement est périodique
  • l’énergie mécanique se conserve
\[ E_m=\text{Constante} \]
\[ E_m= \frac12 m\dot{x}^{\,2} + \frac12 kx^2 \]

Cas particuliers

Lorsque \(x=0\)

\[ E_m=\frac12 mv_m^2 \]

Lorsque \(x=X_m\)

\[ E_m=\frac12 kX_m^2 \]
\[ \frac12 mv_m^2 = \frac12 kX_m^2 \]

Donc :

\[ v_m=X_m\sqrt{\frac{k}{m}} \]

Équation différentielle

\[ E_m=\text{Constante} \Rightarrow \frac{dE_m}{dt}=0 \]
\[ m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=0 \]
\[ m\ddot{x}+kx=0 \] \[ \boxed{ \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 } \]

b) Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas :

  • l’amplitude diminue avec le temps
  • le mouvement devient pseudo-périodique
  • l’énergie mécanique diminue progressivement

Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur.

⚡ Rappels énergétiques

\( E_c = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \)   |   \( E_{pe} = \frac{1}{2} k x^2 \)
\( E_m = E_c + E_{pe} = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2 \)
✅ Frottements négligeables : \( E_m = \text{cte} = \frac{1}{2} k X_m^2 = \frac{1}{2} m v_m^2 \)
➜ \( v_m = X_m \sqrt{k/m} \)  |  Équation différentielle : \( \ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \)
⚠️ Frottements non négligeables : l’énergie mécanique diminue (dissipation thermique).
Régime pseudo-périodique → amplitude décroissante.
Travail de la force de rappel : \( W_{AB}(\vec{T}) = -\Delta E_{pe} = \frac{1}{2}k x_A^2 – \frac{1}{2}k x_B^2 \)
Énergie cinétique Ec Énergie potentielle Epe Énergie mécanique Em
🧪 Simulation d’un oscillateur élastique horizontal | m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = 4 rad/s
📉 Énergie mécanique Em(t) : cas avec frottements (décroissance) vs conservation
💡 Interprétation : Sans amortissement, Em reste constante (courbe horizontale). Avec amortissement, l’énergie décroît exponentiellement.
Pendule élastique horizontal — Conservation de l’énergie mécanique (sans frottements) & dissipation (avec frottements). \( E_m = \frac{1}{2} k X_m^2 \) ; vitesse max : \( v_m = X_m \sqrt{k/m} \)

3    Étude énergétique du pendule élastique horizontal

2.5   Énergie cinétique

L’énergie cinétique du solide (S), de masse m et de vitesse V et suspendu à un ressort, est :

\[ E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2} \]
avec : \[ x(t)=X_m\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \] et \[ \dot{x}=-X_m\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

2.6   Énergie potentielle élastique

L’énergie potentielle élastique \(E_{pe}\) d’un système (solide + ressort) horizontal est l’énergie qui possède ce système lorsque le ressort est déformé :

\[ E_{pe}=\frac{1}{2}kx^2+C \]

C : est une constante qui dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle élastique.

Souvent on choisit \((E_{pe}=0 \text{ pour } x=0)\), alors \(C=0\) donc :
\[ E_{pe}=\frac{1}{2}kx^2 \]

Remarque : La relation entre le travail de la force de rappel \[ \vec{T}=-k.x.\vec{i} \] exercée par un ressort sur un solide se déplace entre les points A et B et la variation de l’énergie potentielle élastique est :

\[ W_{AB}(\vec{T})=-\Delta E_{pe} = \frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2 \]

2.7   Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique du système (solide + ressort) est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle. (On prend : l’énergie potentielle de pesanteur \(E_{pp}=0\)).

\[ E_m=E_c+E_{pe} = \frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2} + \frac{1}{2}kx^2+C \]

Lorsque \(C=0\) alors :

\[ E_m=\frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2}+\frac{1}{2}kx^2 \]

2.8   Résultats d’expression d’énergie mécanique

a    Cas des frottements négligeables

Dans les cas des frottements négligeables, l’amplitude des oscillations est constante, le régime est périodique de période propre \(T_0\). Donc l’énergie mécanique \(E_m\) du système se conserve.

On a :

\[ E_m= \frac{1}{2}m\dot{x}^{\,2} + \frac{1}{2}kx^2 \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} \text{si } x=0 \quad \text{alors} \quad E_m=\frac{1}{2}mV_m^2 \\[8pt] \text{si } x=X_m \quad \text{alors} \quad E_m=\frac{1}{2}kX_m^2 \end{array} \right. \]

donc :

\[ E_m= \frac{1}{2}mV_m^2 = \frac{1}{2}kX_m^2 \]

D’où l’expression de la vitesse maximale d’un pendule élastique est :

\[ V_m=X_m\sqrt{\frac{k}{m}} \]

On peut également déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

\[ E_m=\text{Cte} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dE_m}{dt}=0 \]
\[ m\ddot{x}+k.x.\dot{x}=0 \]
donc :
\[ \ddot{x}+\frac{k}{m}x=0 \]

b    Cas des frottements non négligeables

Dans ce cas l’amplitude des oscillations décroît avec le temps, le régime est pseudopériodique de pseudopériode \(T\). L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps. Elle est dissipée sous forme d’une chaleur.

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