Pendule de torsion | Énergie potentielle, énergie mécanique
🌀 Pendule de torsion – Énergie potentielle et énergie mécanique
3.2 Énergie potentielle de torsion – 3.3 Énergie mécanique – Régimes avec/sans frottement
📐 3.2 Énergie potentielle de torsion \( E_{pt} \)
L’énergie potentielle de torsion d’un pendule de torsion est définie par :
\[ E_{pt} = \frac{1}{2} C \cdot \theta^2 + \text{Cte} \]
où \( C \) est la constante de torsion (en N·m·rad⁻¹), \( \theta \) l’angle de torsion (rad).
💡 Choix de la référence : On fixe souvent \( E_{pt} = 0 \) pour \( \theta = 0 \) → la constante est nulle. Alors :
\[ \boxed{ E_{pt} = \frac{1}{2} C \cdot \theta^2 } \]
📌 Travail du couple de torsion : Le moment du couple exercé par le fil est \( M_{\Delta}(C) = -C \cdot \theta \). Le travail entre deux positions angulaires \( \theta_1 \) et \( \theta_2 \) vaut :
\[ W_t = -\Delta E_{pt} = \frac{1}{2} C \theta_1^2 – \frac{1}{2} C \theta_2^2 \]
⚙️ 3.3 Énergie mécanique du système
L’énergie mécanique d’un pendule de torsion est la somme de son énergie cinétique de rotation et de son énergie potentielle de torsion (on prend l’énergie potentielle de pesanteur \( E_{pp} = 0 \)).
\[ E_m = E_c + E_{pt} = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} C \cdot \theta^2 + \text{Cte} \]
Avec le choix \( E_{pt}(0)=0 \) :
\[ \boxed{ E_m = \frac{1}{2} J_{\Delta} \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} C \theta^2 } \]
- \( J_{\Delta} \) : moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation (kg·m²).
- \( \dot{\theta} = \omega \) : vitesse angulaire (rad/s).
- \( \theta \) : élongation angulaire (rad).
🔄 Analogies :
• Translation : \( E_m = \frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 \)
• Rotation : \( E_m = \frac12 J \omega^2 + \frac12 C \theta^2 \) → rôle analogue de \( m \leftrightarrow J \), \( k \leftrightarrow C \), \( x \leftrightarrow \theta \), \( v \leftrightarrow \omega \).
• Translation : \( E_m = \frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 \)
• Rotation : \( E_m = \frac12 J \omega^2 + \frac12 C \theta^2 \) → rôle analogue de \( m \leftrightarrow J \), \( k \leftrightarrow C \), \( x \leftrightarrow \theta \), \( v \leftrightarrow \omega \).
✅ 3.4.a Cas des frottements négligeables – Régime périodique
En l’absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve : \( E_m = \text{constante} \).
Le mouvement est périodique de période propre \( T_0 \). L’amplitude des oscillations reste constante.
Le mouvement est périodique de période propre \( T_0 \). L’amplitude des oscillations reste constante.
📌 Aux positions extrêmes (\( \theta = \pm \theta_m \), \( \dot{\theta}=0 \)) :
\[ E_m = \frac{1}{2} C \theta_m^2 \]
Au passage par la position d’équilibre (\( \theta = 0 \), \( \dot{\theta} = \dot{\theta}_m \)) :
\[ E_m = \frac{1}{2} J_{\Delta} \dot{\theta}_m^2 \]
On a donc l’égalité :
\[ \boxed{ \frac{1}{2} J_{\Delta} \dot{\theta}_m^2 = \frac{1}{2} C \theta_m^2 } \]
🧠 Équation différentielle par conservation de l’énergie :
\[ \frac{dE_m}{dt} = 0 \Rightarrow J_{\Delta} \dot{\theta} \ddot{\theta} + C \theta \dot{\theta} = 0 \Rightarrow \dot{\theta} \left( J_{\Delta} \ddot{\theta} + C \theta \right) = 0 \]
Soit \( J_{\Delta} \ddot{\theta} + C \theta = 0 \) → équation de l’oscillateur harmonique angulaire.
📊 Variation de l’énergie au cours du temps (sans frottement) :
📉 3.4.b Cas des frottements non négligeables – Régime pseudo-périodique
Lorsque des frottements sont présents (amortissement), l’énergie mécanique diminue au cours du temps, dissipée sous forme de chaleur.
Le régime est pseudo-périodique de pseudo-période \( T \) (légèrement supérieure à \( T_0 \)). L’amplitude décroît exponentiellement.
Le régime est pseudo-périodique de pseudo-période \( T \) (légèrement supérieure à \( T_0 \)). L’amplitude décroît exponentiellement.
📉 Décroissance de l’énergie mécanique :
💡 Observations :
• L’amplitude angulaire \( \theta_m \) diminue.
• La pseudo-période \( T \) est proche de \( T_0 \) pour un faible amortissement.
• L’énergie mécanique est dissipée par le travail des forces de frottement (couple résistant).
• L’amplitude angulaire \( \theta_m \) diminue.
• La pseudo-période \( T \) est proche de \( T_0 \) pour un faible amortissement.
• L’énergie mécanique est dissipée par le travail des forces de frottement (couple résistant).
📋 Récapitulatif – Pendule de torsion
| Grandeur | Expression | Unité |
|---|---|---|
| Énergie potentielle \( E_{pt} \) | \( \frac12 C \theta^2 \) | Joule (J) |
| Énergie cinétique \( E_c \) | \( \frac12 J_{\Delta} \dot{\theta}^2 \) | J |
| Énergie mécanique \( E_m \) | \( \frac12 J_{\Delta} \dot{\theta}^2 + \frac12 C \theta^2 \) | J |
| Période propre \( T_0 \) | \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_{\Delta}}{C}} \) | s |
| Constante de torsion \( C \) | \( C = \frac{4\pi^2 J_{\Delta}}{T_0^2} \) | N·m·rad⁻¹ |
✨ Point clé : La conservation de l’énergie mécanique (sans frottement) conduit directement à l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique angulaire. La variation d’énergie mécanique en présence de frottement est égale au travail des forces dissipatives.
✏️ Exercice d’application
Un pendule de torsion est constitué d’un disque de moment d’inertie \( J_{\Delta} = 2,5\times10^{-3} \, \text{kg·m}^2 \) suspendu à un fil de constante de torsion \( C = 0,10 \, \text{N·m·rad}^{-1} \). On écarte le disque d’un angle \( \theta_m = 0,20 \, \text{rad} \) et on le lâche sans vitesse initiale. Les frottements sont négligés.
- Calculer l’énergie mécanique initiale.
- Déterminer la vitesse angulaire maximale \( \dot{\theta}_m \).
- Donner la période propre \( T_0 \).
🔍 Voir correction
1. \( E_m = \frac12 C \theta_m^2 = 0,5 \times 0,10 \times (0,20)^2 = 0,05 \times 0,04 = 0,002 \, \text{J} = 2,0 \times 10^{-3} \, \text{J} \).
2. Au passage par \( \theta=0 \) : \( \frac12 J \dot{\theta}_m^2 = E_m \) ⇒ \( \dot{\theta}_m = \sqrt{\frac{2E_m}{J}} = \sqrt{\frac{0,004}{2,5\times10^{-3}}} = \sqrt{1,6} \approx 1,26 \, \text{rad/s} \).
3. \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J}{C}} = 2\pi \sqrt{\frac{2,5\times10^{-3}}{0,10}} = 2\pi \sqrt{0,025} \approx 2\pi \times 0,1581 \approx 0,993 \, \text{s} \).
2. Au passage par \( \theta=0 \) : \( \frac12 J \dot{\theta}_m^2 = E_m \) ⇒ \( \dot{\theta}_m = \sqrt{\frac{2E_m}{J}} = \sqrt{\frac{0,004}{2,5\times10^{-3}}} = \sqrt{1,6} \approx 1,26 \, \text{rad/s} \).
3. \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J}{C}} = 2\pi \sqrt{\frac{2,5\times10^{-3}}{0,10}} = 2\pi \sqrt{0,025} \approx 2\pi \times 0,1581 \approx 0,993 \, \text{s} \).
🧠 La conservation de \( E_m \) permet de relier simplement amplitude angulaire et vitesse angulaire maximale.