Pendule pesant | Étude énergétique – Énergie mécanique

⏱️ 5 – Étude énergétique d’un pendule pesant

Énergie cinétique, potentielle de pesanteur, énergie mécanique – Régimes avec/sans frottement

⚡ 4.1 Énergie cinétique

L’énergie cinétique d’un pendule pesant, de moment d’inertie \( J_\Delta \) par rapport à l’axe de rotation \( \Delta \), est : \[ E_c = \frac{1}{2} J_\Delta \, \dot{\theta}^2 \] où \( \dot{\theta} = \omega \) est la vitesse angulaire (rad/s).

En régime sinusoïdal (petites oscillations) :

\[ \dot{\theta}(t) = -\theta_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \sin\left( \frac{2\pi}{T_0} t + \varphi \right) \]

📌 L’énergie cinétique est maximale au passage par la position d’équilibre (\( \theta = 0 \)) et nulle aux positions extrêmes (\( \theta = \pm \theta_m \)).

📐 4.2 Énergie potentielle de pesanteur \( E_{pp} \)

Énergie Potentielle du Pendule

En considérant comme état de référence \( E_{pp}=0 \) lorsque \( z=0 \), la constante :

\[ \text{Cte} = 0 \]

\[ E_{pp}=mgz \]

Lorsque le pendule pesant est incliné d’un angle \( \theta \), son énergie potentielle de pesanteur est :

\[ E_{pp}=mgz \]

\[ OH = AO – AH \]

\[ OH = d – d\cos\theta \]

\[ OH = d(1-\cos\theta) \]

\[ E_{pp}=mgd(1-\cos\theta) \]

Pour les petites oscillations :

\[ \cos\theta \approx 1-\frac{\theta^2}{2} \]

on peut écrire par approximation :

\[ E_{pp}=\frac{1}{2}mgd\theta^2 \]

L’énergie potentielle de pesanteur d’un pendule est donnée par : \[ E_{pp} = m g z + \text{Cte} \] En prenant la référence \( E_{pp}=0 \) pour \( z=0 \) (masse au point le plus bas) : \[ \boxed{ E_{pp} = m g z } \]

Lorsque le pendule est incliné d’un angle \( \theta \), la hauteur du centre d’inertie par rapport à la position d’équilibre est \( z = d(1 – \cos\theta) \) (avec \( d = AO \) distance de l’axe au centre de masse).

\[ E_{pp} = m g d \, (1 – \cos\theta) \]

💡 Approximation des petites oscillations : \( \cos\theta \approx 1 – \frac{\theta^2}{2} \) ⇒ \[ E_{pp} \approx \frac{1}{2} m g d \, \theta^2 \]

📐 Schéma – Hauteur z en fonction de θ :

⚙️ 4.3 Énergie mécanique du système

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (pesanteur) : \[ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 + m g z + \text{Cte} \]

Avec le choix de référence \( E_{pp}(0)=0 \) et l’approximation des petits angles :

\[ \boxed{ E_m = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m g d \, \theta^2 } \]

🧠 Analogies : Cette expression est analogue à celle d’un oscillateur harmonique (ressort) avec :

Moment d’inertie \( J_\Delta \) ↔ masse \( m \)
Constante de torsion généralisée \( m g d \) ↔ raideur \( k \)
Angle \( \theta \) ↔ élongation \( x \)

✅ 4.4.a Cas des frottements négligeables – Régime périodique

En l’absence de frottement, l’énergie mécanique se conserve : \( E_m = \text{constante} \).
Le mouvement est périodique de période propre \( T_0 \). L’amplitude des oscillations reste constante.

\[ E_m = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}_m^2 = \frac{1}{2} m g d \, \theta_m^2 \]

Aux positions extrêmes (\( \theta = \pm \theta_m \), \( \dot{\theta}=0 \)) : \( E_m = \frac12 m g d \theta_m^2 \).
Au passage par la position d’équilibre (\( \theta=0 \), \( \dot{\theta} = \dot{\theta}_m \)) : \( E_m = \frac12 J_\Delta \dot{\theta}_m^2 \).

📌 Équation différentielle via conservation d’énergie :
\( \frac{dE_m}{dt}=0 \) ⇒ \( J_\Delta \dot{\theta} \ddot{\theta} + m g d \theta \dot{\theta} = 0 \) ⇒ \( \dot{\theta}( J_\Delta \ddot{\theta} + m g d \theta) = 0 \).
D’où l’équation différentielle du pendule pesant (petites oscillations) : \[ \boxed{ \ddot{\theta} + \frac{m g d}{J_\Delta} \, \theta = 0 } \] et la période propre : \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{m g d}} \).

📊 Conservation de \( E_m \) (allure générale) :

📉 4.4.b Cas des frottements non négligeables – Régime pseudo-périodique

En présence de frottements (amortissement), l’énergie mécanique diminue au cours du temps, dissipée sous forme de chaleur.
Le régime est pseudo-périodique de pseudo-période \( T \) (proche de \( T_0 \) pour un faible amortissement). L’amplitude décroît exponentiellement.

📉 Décroissance de l’énergie mécanique :
_m décroît Amortissement exponentiel

💡 Interprétation physique : Le travail des forces de frottement (couple résistant) est négatif ⇒ l’énergie mécanique se dissipe en chaleur. L’amplitude angulaire décroît et le système tend vers l’équilibre (\( \theta = 0 \)).

📋 Récapitulatif – Pendule pesant (petites oscillations)

Grandeur	Expression	Remarque
Énergie cinétique \( E_c \)	\( \frac12 J_\Delta \dot{\theta}^2 \)	Max à \( \theta=0 \)
Énergie potentielle \( E_{pp} \)	\( m g d (1-\cos\theta) \approx \frac12 m g d \theta^2 \)	Approximation harmonique
Énergie mécanique \( E_m \)	\( \frac12 J_\Delta \dot{\theta}^2 + \frac12 m g d \theta^2 \)	Se conserve sans frottement
Période propre \( T_0 \)	\( 2\pi \sqrt{\dfrac{J_\Delta}{m g d}} \)	Indépendante de l’amplitude
Amplitude \( \theta_m \) (sans frottement)	\( \theta_m = \sqrt{\dfrac{2E_m}{m g d}} \)	Constante

✨ Point clé : La conservation de l’énergie mécanique (sans frottement) permet d’obtenir directement l’équation différentielle du mouvement et de relier amplitude et vitesse maximale. En présence de frottement, l’énergie diminue exponentiellement.

✏️ Exercice d’application

Un pendule pesant est constitué d’une tige rigide de masse négligeable et d’une masse ponctuelle \( m = 200 \, \text{g} \) suspendue à une distance \( d = 0,50 \, \text{m} \) de l’axe. \( J_\Delta = m d^2 = 0,05 \, \text{kg·m}^2 \). On écarte le pendule d’un angle \( \theta_m = 0,10 \, \text{rad} \) et on le lâche sans vitesse initiale. Frottements négligés. \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \).

Calculer l’énergie mécanique initiale.
Déterminer la vitesse angulaire maximale.
Donner la période propre \( T_0 \).

🔍 Voir correction

1. \( E_m = \frac12 m g d \theta_m^2 = 0,5 \times 0,200 \times 9,8 \times 0,50 \times (0,10)^2 = 0,5 \times 0,98 \times 0,01 = 0,0049 \, \text{J} \).
2. À \( \theta=0 \) : \( \frac12 J_\Delta \dot{\theta}_m^2 = E_m \) ⇒ \( \dot{\theta}_m = \sqrt{\frac{2E_m}{J_\Delta}} = \sqrt{\frac{0,0098}{0,05}} = \sqrt{0,196} \approx 0,4427 \, \text{rad/s} \).
3. \( T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{m g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,05}{0,200 \times 9,8 \times 0,50}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,05}{0,98}} = 2\pi \sqrt{0,05102} \approx 2\pi \times 0,226 \approx 1,42 \, \text{s} \).

🧠 On retrouve la relation \( \dot{\theta}_m = \theta_m \sqrt{\frac{m g d}{J_\Delta}} = \theta_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \).

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