la lumière
❶ Nature ondulatoire de la lumière الطبيعة التموجية للضوء
➜ Apparition d’une figure de diffraction.
✔️ Dans le deuxième cas (fente fine), la direction de propagation change : la lumière s’étale au-delà de l’obstacle, ce qui est contraire au principe de propagation rectiligne.
➜ Plus λ est grande, plus la diffraction est marquée.
🔹 Par analogie avec les ondes mécaniques, on considère que la lumière est une onde électromagnétique progressive sinusoïdale se propage dans les milieux transparents matériels et non matériels (vide).
🌀 Double périodicité de l’onde lumineuse
Caractérisée par la période T ou la fréquence ν avec :
📐 ν = 1 / T
⚠️ T et ν ne dépendent pas du milieu de propagation (elles sont invariables lors du changement de milieu).
La longueur d’onde λ dépend du milieu de propagation : λ = v / ν = v·T.
Dans le vide : λ₀ = c / ν ; dans un milieu d’indice n : λ = λ₀ / n.
Comme pour les ondes sonores ou les ondes à la surface de l’eau, la lumière diffracte lorsqu’elle rencontre un obstacle ou une ouverture de dimensions réduites. Cette expérience historique (fente de Young, diffraction par une fente) a permis d’abandonner le modèle purement corpusculaire et d’adopter le modèle ondulatoire.
✅ Conclusion fondamentale : La lumière est une onde électromagnétique – elle possède une double périodicité (temporelle et spatiale) et manifeste la diffraction, la polarisation.
📌 Dans le vide : vitesse c = 3×10⁸ m/s, relation λ₀ = c / ν.
❶ Nature ondulatoire de la lumière الطبيعة التموجية للضوء
✔️ Fente large → une seule tache lumineuse (propagation rectiligne).
✔️ Fente étroite (a ~ λ) → figure de diffraction : plusieurs taches (franges brillantes et sombres).
✔️ La diffraction est un phénomène caractéristique des ondes (mécaniques et lumineuses).
✔️ La lumière est donc une onde électromagnétique.
La périodicité spatiale est caractérisée par la longueur d’onde λ (distance parcourue pendant une période T).
📌 λ dépend du milieu de propagation (contrairement à la fréquence).
Relation : λ = V × T = V / ν , où V est la célérité dans le milieu.
❷❶ La lumière monochromatique الضوء الأحادي اللون
Définition : onde électromagnétique progressive sinusoïdale de fréquence donnée (composée d’une seule radiation ⇒ une seule couleur).
Une lumière monochromatique est caractérisée par sa fréquence ν (ou sa longueur d’onde dans le vide λ₀).
❷❷ La célérité d’une onde lumineuse | سرعة الموجة الضوئية
La lumière se propage dans le vide avec une vitesse (célérité) c ≈ 3,00 × 10⁸ m·s⁻¹.
Dans un milieu matériel transparent, la vitesse V est inférieure à c.
λ₀ : longueur d’onde dans le vide
λ : longueur d’onde dans le milieu
⚠️ Remarques fondamentales :
- La fréquence ν de l’onde lumineuse ne dépend pas du milieu de propagation (invariante).
- La longueur d’onde λ dépend du milieu : λ = λ₀ / n , où n est l’indice de réfraction (n = c/V).
❷❸ La lumière polychromatique | الضوء متعدد الألوان
Définition : lumière composée d’un ensemble de lumières monochromatiques de fréquences différentes (plusieurs radiations ⇒ plusieurs couleurs).
🌈 Domaine des ondes lumineuses visibles | مجال الموجة الضوئية المرئية
Le spectre visible s’étend approximativement de 380 nm (violet) à 780 nm (rouge).
📌 La lumière blanche contient toutes les longueurs d’onde du visible. Quand elle traverse un prisme ou un réseau, on observe un spectre continu.
- Une seule fréquence ν
- Une seule longueur d’onde dans le vide λ₀
- Une seule couleur pure (ex: laser rouge, vert…)
- Onde parfaitement sinusoïdale
- Plusieurs fréquences différentes
- Étalement de longueurs d’onde
- Exemple : lumière blanche, lumière du Soleil
- Peut être décomposée en radiations monochromatiques
🔹 Indice de réfraction n : toujours ≥ 1 ; caractérise le ralentissement de la lumière (n = c/V).
🔹 La fréquence ν reste inchangée lors du passage d’un milieu à l’autre, c’est un invariant fondamental de l’onde.
Question : Pourquoi observe-t-on une séparation des couleurs (spectre) lorsque la lumière blanche traverse un prisme ?
💡 Ce phénomène (dispersion) confirme que la lumière a une nature ondulatoire et que la célérité dépend de la fréquence dans un milieu dispersif.
❸ Diffraction d’une onde lumineuse monochromatique
Lorsqu’on éclaire une fente de petite largeur a, on observe sur l’écran :
- des taches lumineuses (franges brillantes)
- et des taches sombres (franges foncées)
La fente se comporte alors comme une source lumineuse secondaire. Ce phénomène est appelé phénomène de diffraction : la direction de propagation des rayons lumineux change pour atteindre des endroits au-delà de l’obstacle, ce qui contredit le principe de propagation rectiligne.
📐 Condition de diffraction par une fente :
(la largeur de la fente doit être inférieure ou égale à la longueur d’onde)
⚡ Remarque : la diffraction est d’autant plus marquée que a est petit devant λ (a ≪ λ).
💡 Interprétation physique : Lorsque la dimension de l’ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde, l’onde lumineuse « contourne » l’obstacle. Chaque point de la fente devient une source d’ondes secondaires cohérentes (principe de Huygens-Fresnel) qui interfèrent entre elles.
📏 Diffraction par une fente
Figure de diffraction :
Tache centrale brillante (large) + franges secondaires symétriques
Condition : a ≤ λ
La figure s’étale perpendiculairement à la direction de la fente.
⭕ Diffraction par un trou circulaire
Figure de diffraction :
Disque d’Airy (tache centrale circulaire brillante) + anneaux concentriques alternativement brillants et sombres.
Condition : diamètre a ≤ λ
Symétrie de révolution autour de l’axe optique.
Plus l’ouverture est petite, plus l’étalement angulaire de la figure de diffraction est grand.
📏 Demi-angle de diffraction θ
sin θ ≈ θ = λ / a
(pour les petits angles, en radians)
✔️ λ : longueur d’onde (dans le milieu)
✔️ a : largeur de la fente
🎯 Largeur de la tache centrale L
L = 2 × D × tan θ ≈ 2D × (λ / a)
✔️ D : distance fente-écran
✔️ L : largeur totale de la tache centrale de diffraction
La diffraction de la lumière monochromatique ne peut s’expliquer que si l’on considère la lumière comme une onde. Le modèle géométrique (rayons lumineux) échoue lorsque les dimensions deviennent très petites.
- ✔️ La lumière contourne l’obstacle.
- ✔️ La figure de diffraction dépend de λ et de a.
- ✔️ La célérité de l’onde, sa périodicité spatiale et temporelle sont les grandeurs caractéristiques.
✅ Conclusion finale : La lumière est une onde électromagnétique. La diffraction, qui est un phénomène ondulatoire par excellence, en est la preuve expérimentale majeure.
📐 Écart angulaire & Diffraction
On appelle écart angulaire θ l’angle, exprimé en radian, entre la droite passant par le milieu de la tache centrale et celle passant par le milieu de la première zone d’extinction (premier minimum de diffraction).
1. Déterminer la relation entre les paramètres L, D et θ
On a : \(\displaystyle \tan \theta = \frac{L/2}{D} = \frac{L}{2D}\)
Puisque θ est petit (θ en radian) alors \( \tan \theta \approx \theta \), donc
2. Expérience : laser de longueur d’onde λ = 633 nm, distance D = 1,5 m fixe. On fait varier la largeur a de la fente et on mesure la largeur L de la tache centrale.
| \(a\ (\mu m)\) | 100 | 120 | 200 | 250 | 300 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(L\ (mm)\) | 19,0 | 15,8 | 9,5 | 7,6 | 6,3 |
| \(\theta\ (10^{-3}\ rad)\) \(\left( \theta = \frac{L}{2D},\ D=1,5m\right)\) | 6,33 | 5,27 | 3,17 | 2,53 | 2,10 |
| \(\frac{1}{a}\ (10^{3}\ m^{-1})\) | 10,0 | 8,33 | 5,0 | 4,0 | 3,33 |
✔️ Tableau complété : θ = L/(2D) avec D=1,5 m ⇒ L(mm) → θ(rad) = (L×10⁻³)/(2×1,5) = L/3000.
Ex: L=19 mm ⇒ θ = 19/3000 = 6,33×10⁻³ rad
3. Tracer θ en fonction de 1/a & déduction de la relation entre θ et λ
D’après la courbe, on constate que θ est proportionnelle à 1/a :
Calcul du coefficient directeur k :
La valeur expérimentale de k correspond à λ = 633 nm (longueur d’onde du laser).
Donc \( k = \lambda \) et par conséquent :
4. Montrer que \( L = \dfrac{2\lambda D}{a} \)
✅ Relation fondamentale : largeur de la tache centrale de diffraction.
✧ Vérification à partir du tableau :
Pour a = 100 μm = 100×10⁻⁶ m , λ = 633×10⁻⁹ m , D = 1,5 m
\( L_{th} = \frac{2 \times 633\times10^{-9} \times 1,5}{100\times10^{-6}} = \frac{1,899\times10^{-6}}{10^{-4}} = 0,01899\ \mathrm{m} \approx 19,0\ \mathrm{mm}\) → conforme à la mesure.
✧ Relation entre écart angulaire et largeur de fente :
- Plus a est petite, plus θ est grand → diffraction plus marquée.
- θ (rad) ≈ λ / a : indépendant de la distance D.
→ θ plus grand → tache centrale plus large.
→ θ plus petit → tache centrale plus étroite.
→ θ augmente → étalement plus important.
Ces résultats sont en parfait accord avec le modèle ondulatoire de la lumière et confirment la relation \(\theta = \lambda / a\).
🌈 Dispersion des ondes lumineuses
✔️ Si le milieu de propagation ne change pas, l’onde incidente et l’onde diffractée ont :
- la même longueur d’onde λ
- la même période T
- la même vitesse de propagation V
🔘 Cas de la diffraction par un trou circulaire :
L’écart angulaire (demi-angle d’ouverture du premier anneau sombre) est donné par :
où \(d\) est le diamètre du trou et \(\lambda\) la longueur d’onde dans le milieu.
4.1 Indice de réfraction
Chaque milieu transparent est caractérisé par un indice de réfraction noté \(n\), défini par :
\(v\) : vitesse de la lumière dans le milieu d’indice \(n\)
\(c\) : célérité de la lumière dans le vide (\(c \approx 3{,}00 \times 10^8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\)).
✧ Remarques importantes :
- L’indice de réfraction est une grandeur sans unité, toujours supérieure ou égale à 1 (\(n \geq 1\)).
- L’indice de réfraction dépend de la longueur d’onde (phénomène de dispersion).
- Relation avec les longueurs d’onde :
\(\displaystyle n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0}{\lambda}\), d’où \(\displaystyle n = \frac{\lambda_0}{\lambda}\)
avec \(\lambda_0\) : longueur d’onde dans le vide, \(\lambda\) : longueur d’onde dans le milieu.
4.2 2ème loi de réfraction de Descartes (rappel)
Lorsqu’un rayon lumineux passe d’un milieu d’indice \(n_1\) à un milieu d’indice \(n_2\), la direction change selon la loi de Snell-Descartes :
📐 \(n_2\) : indice du milieu 2 (réfraction)
📐 \(i_1\) : angle d’incidence
📐 \(i_2\) : angle de réfraction
4.3 Relations caractéristiques du prisme
Le prisme est un milieu transparent et homogène limité par deux faces planes formant un angle \(A\) appelé angle du prisme.
Soit \(n\) l’indice du prisme, l’indice de l’air environnant étant \(n_{\text{air}} = 1\).
Trajet d’un rayon lumineux à travers un prisme : déviation \(D\)
📐 Relations fondamentales :
- \(\sin i = n \cdot \sin r\) (1ʳᵉ face)
- \(\sin i’ = n \cdot \sin r’\) (2ᵉ face)
- \(A = r + r’\)
- \(D = i + i’ – A\) (angle de déviation)
🧪 Légende :
\(A\) : angle du prisme
\(i, i’\) : angles d’incidence / émergence
\(r, r’\) : angles de réfraction à l’intérieur
\(D\) : angle de déviation totale du rayon
4.4 Explication du phénomène de dispersion
🌈 Un faisceau lumineux polychromatique (ex: lumière blanche) incident sur la première face du prisme est constitué de radiations de différentes longueurs d’onde (donc de couleurs différentes).
Considérons par exemple le rayon rouge (R) et le rayon violet (V). Ces deux rayons incidents sont parallèles ⇒ même angle d’incidence \(i_R = i_V\).
Mais les indices de réfraction du prisme sont différents pour chaque longueur d’onde :
\(\displaystyle n_R \neq n_V\) (car \(n = \lambda_0 / \lambda\) ; le violet est plus dévié car \(n_V > n_R\)).
En appliquant les lois du prisme :
- \(\sin i = n \cdot \sin r\) ⇒ \(r_R \neq r_V\) (les rayons ne suivent pas le même chemin à l’intérieur).
- \(A = r + r’ = \text{constante}\) ⇒ donc \(r’_R \neq r’_V\).
- Il en résulte des angles d’émergence \(i’\) différents ⇒ les couleurs émergent dans des directions différentes ⇒ dispersion de la lumière blanche en un spectre continu.
🎯 Le prisme sépare les couleurs car l’indice dépend de la longueur d’onde : c’est le phénomène de dispersion chromatique.
| Couleur | Longueur d’onde dans le vide (nm) | Indice n (verre crown) | Déviation par le prisme |
|---|---|---|---|
| 🔴 Rouge | ≈ 780 – 620 | plus faible (~1,51) | moins déviée |
| 🟠 Jaune | ≈ 590 | intermédiaire | déviation moyenne |
| 🟢 Vert | ≈ 530 | ~1,52 | |
| 🔵 Violet | ≈ 380 – 450 | plus élevé (~1,53–1,54) | plus déviée |
✨ Relation de dispersion : \(n(\lambda) = A + \dfrac{B}{\lambda^2}\) (formule de Cauchy approximative) – plus \(\lambda\) est petite, plus \(n\) est grand.
Le prisme transforme un faisceau de lumière blanche en un spectre continu allant du rouge (moins dévié) au violet (plus dévié).
– Écart angulaire : \(\theta = \lambda / a\) (fente) ou \(\theta = 1,22 \lambda / d\) (trou).
– Condition : \(a \sim \lambda\).
– Indice \(n = c/v = \lambda_0/\lambda\).
– La loi de Descartes gère la réfraction.
– Prisme : \(A = r+r’\), \(D = i+i’-A\).
📌 Conclusion essentielle : La variation de l’indice de réfraction avec la longueur d’onde (dispersion) explique la décomposition de la lumière blanche par un prisme. La diffraction et la dispersion sont deux phénomènes qui mettent en évidence la nature ondulatoire de la lumière.
🌈 Dispersion de la lumière blanche par un prisme
Reprenons le raisonnement à partir des lois du prisme. Un faisceau de lumière blanche (contenant toutes les longueurs d’onde du visible) arrive sur la face d’entrée du prisme avec un angle d’incidence \(i\) identique pour toutes les radiations.
Trajet différent pour le rouge (moins dévié) et le violet (plus dévié).
❶ Sur la première face du prisme : la loi de Snell-Descartes s’écrit
L’angle d’incidence \(i\) est identique pour toutes les radiations. Cependant l’indice de réfraction \(n\) dépend de la longueur d’onde : \(n_{\text{violet}} > n_{\text{rouge}}\). Par conséquent :
Les angles de réfraction à l’intérieur du prisme sont différents : le violet est davantage dévié dès l’entrée.
❷ À l’intérieur du prisme : l’angle du prisme \(A\) vérifie :
Comme \(A\) est constant (angle géométrique du prisme), si \(r\) change alors \(r’\) change également : \(r’_{\text{rouge}} \neq r’_{\text{violet}}\).
❸ Sur la deuxième face du prisme : application de la loi de Snell-Descartes à la sortie :
Puisque \(n\) et \(r’\) diffèrent pour chaque radiation, on obtient :
Les angles d’émergence sont différents ⇒ les rayons colorés sortent du prisme dans des directions différentes.
❹ Déviation totale \(D\) : l’angle de déviation par le prisme est donné par :
Comme \(i\) est identique pour tous mais \(i’\) varie avec la couleur, on a :
Ainsi, les deux rayons (rouge et violet) n’ont pas la même direction finale : le violet est plus dévié que le rouge.
✔️ Ce phénomène est appelé dispersion chromatique.
🔍 Conclusion essentielle :
Le phénomène de dispersion de la lumière par un prisme montre que la lumière blanche est composée de plusieurs couleurs correspondant aux différentes longueurs d’onde du spectre visible. On observe un déploiement continu allant du rouge (moins dévié) au violet (plus dévié).
- ✔️ La lumière blanche est dite polychromatique (plusieurs couleurs / plusieurs fréquences).
- ✔️ Chaque couleur élémentaire du spectre (rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo, violet) constitue une lumière monochromatique : une seule radiation, une seule fréquence, une seule longueur d’onde dans le vide.
🎯 La dispersion par le prisme est une preuve expérimentale directe de la décomposition spectrale et de la dépendance de l’indice de réfraction vis-à-vis de la longueur d’onde.
– Une seule radiation
– Une seule couleur pure
– Exemples : laser, lampe à vapeur de sodium (λ = 589 nm)
– Superposition de plusieurs radiations monochromatiques
– Exemple : lumière blanche (soleil, ampoule à filament)
– Un prisme la décompose en spectre continu.
| Grandeur | 🔴 Rouge (λ grand) | 🟣 Violet (λ petit) |
|---|---|---|
| Indice de réfraction n du prisme | Plus faible (nᵣ) | Plus élevé (nᵥ > nᵣ) |
| Angle de réfraction r (1ʳᵉ face) | rᵣ plus grand | rᵥ plus petit |
| Angle r’ (intérieur, 2ᵉ face) | r’ᵣ plus petit (car A = r+r’) | r’ᵥ plus grand |
| Angle d’émergence i’ | i’ᵣ plus petit → moins dévié | i’ᵥ plus grand → plus dévié |
| Déviation D = i + i’ – A | D faible | D élevée |
📌 Loi de dispersion de Cauchy : \(n(\lambda) = a + \dfrac{b}{\lambda^2}\) (décroissance de n avec λ dans le domaine visible).
Ainsi, pour une même incidence \(i\), le prisme sépare angulairement les composantes spectrales : c’est la base des spectroscopes.
– Dépend de la variation de l’indice n(λ).
– Sépare les couleurs dans l’espace (angles d’émergence différents).
– Révèle la nature polychromatique de la lumière blanche.
– Dépend de la taille de l’ouverture / longueur d’onde.
– Phénomène commun à toutes les ondes.
– Élargissement angulaire : \(\theta = \lambda / a\).
✅ À retenir : Le prisme disperse la lumière blanche en un spectre car l’indice varie avec λ. La lumière blanche est donc polychromatique, et chaque couleur obtenue (rouge, jaune, vert, violet…) est une onde monochromatique (fréquence unique).
🌈 L’arc-en-ciel naturel est également un phénomène de dispersion par les gouttes d’eau.
