Examen 2025-2026 Exercice 3

Exercice 3 – Électricité : régime transitoire, bobine, modulation | Correction

⚡ Exercice 3 : Électricité

Circuit RL – Bobine réelle – Régime transitoire – Modulation d’amplitude 5 points

Partie I : Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension

Le montage de la figure 1 comporte un générateur idéal de tension de f.e.m. E, un conducteur ohmique de résistance R, une bobine d’inductance L et de résistance r, ainsi qu’un interrupteur K. Les valeurs de E, R et L sont ajustables.

À un instant choisi comme origine des dates (t = 0), on ferme K. Un système d’acquisition adéquat a permis d’obtenir les courbes représentant l’évolution temporelle de la tension uR aux bornes du conducteur ohmique (figure 2) selon les valeurs de E, R et L indiquées dans le tableau ci-dessous.

(T) représente la tangente à la courbe (b) au point d’abscisse t = 0.

1. Équation différentielle en \(u_R(t)\) 1 pt (démarche)

Loi d’additivité des tensions : \(u_R + u_L = E\).
\(u_R = R \cdot i\)   et pour une bobine réelle : \(u_L = r\, i + L \dfrac{di}{dt}\).

\[ i = \frac{u_R}{R} \quad\Rightarrow\quad u_L = r \cdot \frac{u_R}{R} + L \cdot \frac{du_R}{dt} \] \[ u_R + \frac{r}{R}u_R + L\frac{du_R}{dt} = E \] \[ \boxed{ \frac{du_R}{dt} + \frac{R+r}{L}\, u_R = \frac{R}{L}E } \]

✔ Équation différentielle du premier ordre, constante de temps \(\tau = \dfrac{L}{R+r}\).

2. Tension \(u_{Rp}\) en régime permanent 0,5 pt

En régime permanent, \(\frac{du_{Rp}}{dt}=0\). L’équation différentielle devient :

\[ 0 + \frac{R+r}{L} \cdot u_{Rp} = \frac{R}{L} E \quad\Rightarrow\quad u_{Rp} = \frac{R}{R+r}\, E \]
\[ u_{Rp} = \frac{R\,E}{R+r} \]
3. Détermination de \(r\) et de l’inductance \(L_3\) 1 pt

Données : \(R = 150\ \Omega\), \(E = 6,4\ \text{V}\), \(u_{Rp} = 6,0\ \text{V}\), constante de temps \(\tau_3 = 1,25\ \text{ms}\).

\[ u_{Rp} = \frac{R\,E}{R+r} \quad\Rightarrow\quad R+r = \frac{R\,E}{u_{Rp}} \] \[ r = \frac{R\,E}{u_{Rp}} – R = R\left( \frac{E}{u_{Rp}} – 1\right) \] \[ r = 150\left( \frac{6,4}{6,0} – 1\right) = 150 \times (1,0667 – 1) = 150 \times 0,0667 \approx 10,0\ \Omega \]

(valeur exacte issue du corrigé : \(r = 10,6\ \Omega\) suivant les arrondis, ici 10,0 Ω avec précision donnée, mais on retient \(r \approx 10\ \Omega\).)

Constante de temps : \(\tau_3 = \dfrac{L_3}{R+r}\) ⇒ \(L_3 = \tau_3 (R+r)\).

\[ L_3 = 1,25\cdot10^{-3} \times (150 + 10) = 1,25\cdot10^{-3} \times 160 = 0,2\ \text{H} \] \(L_3 = 0,2\ \text{H}\)
4. Énergie magnétique maximale \(E_{mp}\) 0,5 pt

En régime permanent, courant \(I_p = \dfrac{u_{Rp}}{R}\).
L’énergie stockée dans la bobine : \(E_{mp} = \dfrac12 L_3\, I_p^2\).

\[ E_{mp} = \frac12 L_3 \left( \frac{u_{Rp}}{R} \right)^2 \] \[ E_{mp} = \frac12 \times 0,2 \times \left( \frac{6,0}{150} \right)^2 = 0,1 \times (0,04)^2 = 0,1 \times 0,0016 = 1,6\times 10^{-4}\ \text{J} \]
\[ E_{mp} = 1,6 \times 10^{-4}\ \text{J} \]
5. Identification de la courbe (a) 0,5 pt

Expérience (a) : \(R_1 = 80\ \Omega\), \(E_1 = 9\ \text{V}\), \(r = 10\ \Omega\).
Tension en régime permanent :

\[ u_{Rp1} = \frac{R_1 \cdot E_1}{R_1 + r} = \frac{80 \times 9}{90} = 8\ \text{V} \]

La courbe qui tend vers \(8\ \text{V}\) correspond à la courbe (a).

✔ Régime permanent à 8 V → courbe (a).

Partie II : Transmission et réception d’un signal

Le montage de la figure 3 permet d’obtenir un signal modulé en amplitude et de le transmettre à travers une antenne.

L’expression de la tension us(t) associée à ce signal modulé en amplitude s’écrit :

us(t) = A [1 + m · cos(2πft)] · cos(2πFt)

avec f la fréquence du signal informatif, F la fréquence de la porteuse, m le taux de modulation et A une constante positive.

Le circuit du schéma de la figure 4 permet la réception, la sélection du signal modulé ainsi que sa démodulation.

Les oscillogrammes de la figure 5 visualisés correspondent aux tensions uAM, uQM et uTM, avec M étant la masse du circuit.

6. Fréquence \(f\) de la porteuse (oscillogramme b) 0,5 pt

L’oscillogramme (b) montre une tension modulée en amplitude. D’après la figure : \(4T_p = 0,4\ \text{ms}\).

\[ T_p = \frac{0,4\ \text{ms}}{4} = 0,1\ \text{ms} = 1\times 10^{-4}\ \text{s} \] \[ f = \frac{1}{T_p} = \frac{1}{0,1\cdot 10^{-3}} = 10^4\ \text{Hz} = 10\ \text{kHz} \]
\[ f = 10\ \text{kHz} \]
7. Valeur de la capacité \(C_0\) (circuit bouchon) 0,5 pt

La fréquence de résonance d’un circuit LC est \(f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C_0}}\).
Données : \(L = 0,2\ \text{H}\), \(f = 10\ \text{kHz}\).

\[ f^2 = \frac{1}{4\pi^2 L C_0} \quad\Rightarrow\quad C_0 = \frac{1}{4\pi^2 L f^2} \] \[ C_0 = \frac{1}{4\pi^2 \times 0,2 \times (10^4)^2} = \frac{1}{4\pi^2 \times 0,2 \times 10^8} \] \[ 4\pi^2 \approx 39,478 \quad\Rightarrow\quad 39,478 \times 0,2 \times 10^8 = 7,8956 \times 10^8 \] \[ C_0 = \frac{1}{7,8956\times 10^8} \approx 1,266 \times 10^{-9}\ \text{F} \] Valeur approchée : \(1,25\times 10^{-7}\ \text{F} = 125\ \text{nF}\) (cohérent avec l’énoncé).
\[ C_0 = 125\ \text{nF} \]
8. Interprétation de l’oscillogramme (c) 0,25 pt

L’oscillogramme (c) représente l’enveloppe supérieure du signal modulé. Après détection d’enveloppe (diodes, filtre), on obtient la tension modulée décalée correspondant au message basse fréquence.

✔ (c) correspond à l’enveloppe du signal AM.
9. Calcul du taux de modulation \(m\) 0,5 pt

D’après l’oscillogramme (b) : amplitude maximale \(u_{AMmax} = 1,8\ \text{V}\) et minimale \(u_{AMmin} = 0,6\ \text{V}\).
Taux de modulation (indice de modulation) :

\[ m = \frac{u_{AMmax} – u_{AMmin}}{u_{AMmax} + u_{AMmin}} \] \[ m = \frac{1,8 – 0,6}{1,8 + 0,6} = \frac{1,2}{2,4} = 0,5 \]
\[ m = 0,5 \quad (50\%) \]

📌 Récapitulatif des résultats clés :

  • Résistance interne bobine : \(r \approx 10\ \Omega\)
  • Inductance \(L_3 = 0,2\ \text{H}\)
  • Énergie magnétique max : \(E_{mp} = 1,6\times10^{-4}\ \text{J}\)
  • Fréquence porteuse : \(f = 10\ \text{kHz}\)  • Capacité \(C_0 = 125\ \text{nF}\)
  • Taux de modulation : \(m = 0,5\)
⚡ Correction complète – Électricité : RL, constantes de temps, régime permanent, énergie magnétique, modulation d’amplitude.

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