Exercices Pendule Pesant

Correction Complète – Exercices sur le Pendule Pesant

Fiche d'Exercices & Corrections : Pendule Pesant

Exercice 1 (Session de rattrapage 2013)

Énoncé : Un pendule est composé d'une barre homogène AB, de masse $m = 0,203 \text{ kg}$ et de longueur $AB = L = 1,5 \text{ m}$, mobile autour d'un axe horizontal $(\Delta)$ passant par son extrémité A. Le moment d'inertie est $J_\Delta = \frac{1}{3}mL^2$. On étudie les petites oscillations libres sans frottement ($sin\theta \approx \theta$).

  1. Établir l'équation différentielle du mouvement en appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation.
  2. Déterminer la nature du mouvement et écrire l'équation horaire $\theta(t)$.
  3. Montrer que la période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
  4. Calculer la longueur $l$ du pendule simple synchrone.

Correction de l'Exercice 1

  1. Équation différentielle : La seule force travaillant est le poids (le moment de la réaction de l'axe est nul). Le moment du poids par rapport à l'axe est : $\mathcal{M}_\Delta(\vec{P}) = -mg \frac{L}{2} \sin\theta$. En appliquant la RFD : $J_\Delta \ddot{\theta} = -mg \frac{L}{2} \sin\theta \implies \frac{1}{3}mL^2 \ddot{\theta} + mg \frac{L}{2} \theta = 0 \implies \ddot{\theta} + \frac{3g}{2L}\theta = 0$.
  2. Nature et équation horaire : C'est un mouvement oscillatoire harmonique sinusoïdal. L'équation horaire est $\theta(t) = \theta_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$. Comme à $t=0$, $\theta = \theta_m$ et $\dot{\theta}=0$, alors $\varphi = 0$, d'où $\theta(t) = \theta_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$.
  3. Période propre : Par identification avec $\ddot{\theta} + \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\theta = 0$, on trouve $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{3g}{2L} \implies T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
  4. Longueur synchrone : Pour un pendule simple, $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Pour avoir synchronisme ($T = T_0$) : $\frac{l}{g} = \frac{2L}{3g} \implies l = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \times 1,5 = 1,0 \text{ m}$.

Exercice 2 (Session de rattrapage 2009)

Énoncé : Une balançoire est modélisée par un pendule simple constitué d'un câble inextensible de longueur $l=3\text{ m}$ et d'un solide de masse $m=18\text{ kg}$. $J_\Delta = ml^2$ et $g=9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$. On écarte le pendule de $\theta_m = \pi/20\text{ rad}$ et on le lâche sans vitesse initiale.

  1. Montrer que l'équation différentielle s'écrit $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$.
  2. Calculer la période propre $T_0$ et donner l'équation horaire.
  3. Exprimer l'intensité de la tension $T$ du câble à l'aide du repère de Frenet et calculer sa valeur à $t = T_0/4$.

Correction de l'Exercice 2

  1. Équation différentielle : $\mathcal{M}_\Delta(\vec{P}) = -mgl\sin\theta$. RFD : $ml^2\ddot{\theta} = -mgl\theta \implies \ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$.
  2. Période et équation : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{9,8}} \approx 3,48 \text{ s}$. L'équation horaire est $\theta(t) = \frac{\pi}{20}\cos\left(\frac{2\pi}{3,48}t\right)$.
  3. Tension du câble : Dans la base de Frenet sur l'axe normal $\vec{n}$ : $T - P\cos\theta = m\frac{v^2}{l} \implies T = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{l}$. À $t = \frac{T_0}{4}$, le pendule passe par sa position d'équilibre ($\theta = 0$), où la vitesse est maximale. Par conservation de l'énergie mécanique : $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgl(1-\cos\theta_m) \implies \frac{v_{max}^2}{l} = 2g(1-\cos\theta_m)$. Ainsi, $T = mg + 2mg(1-\cos\theta_m) = mg(3 - 2\cos\theta_m)$. Numériquement : $T = 18 \times 9,8 \times (3 - 2\cos(\pi/20)) \approx 180,7 \text{ N}$.

Exercice 3 (Session de rattrapage 2014)

Énoncé : Pendule simple avec bille de masse $m=0,1\text{ kg}$, $g=10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

  1. Déterminer graphiquement $\theta_m$ et $T_0$.
  2. Choisir par analyse dimensionnelle la bonne expression de $T_0$.
  3. En déduire la longueur du pendule et la vitesse linéaire maximale.

Correction de l'Exercice 3

  1. Lecture graphique : D'après la courbe $\theta(t)$, $\theta_m = \frac{\pi}{15} \text{ rad}$ et la période propre lue entre deux sommets est $T_0 = 2 \text{ s}$.
  2. Analyse dimensionnelle : $[l] = L$, $[g] = L\cdot T^{-2}$. Donc $\left[\sqrt{\frac{l}{g}}\right] = \sqrt{\frac{L}{L\cdot T^{-2}}} = T$. L'expression correcte est donc $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
  3. Longueur et Vitesse : $l = g \left(\frac{T_0}{2\pi}\right)^2 = 10 \times \left(\frac{2}{2\pi}\right)^2 \approx 1,01 \text{ m}$. L'énergie potentielle maximale lue graphiquement est $E_{pp}^{max} = 22 \text{ mJ}$. Par conservation de l'énergie : $E_c^{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 = E_{pp}^{max} \implies v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 0,022}{0,1}} \approx 0,663 \text{ m/s}$.

Exercice 4 (Session normale 2016)

Énoncé : Boule de masse $m=350\text{ g}$, $L=58\text{ cm}$, $g=9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

  1. Exprimer l'énergie mécanique.
  2. Déterminer les valeurs maximales et les angles d'équipartition ($E_c = E_{pp}$).

Correction de l'Exercice 4

  1. Énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2}J_\Delta\dot{\theta}^2 + mgL(1-\cos\theta) \approx \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2$.
  2. Valeurs remarquables : Graphiquement sur le diagramme $E_c(\theta)$, $\theta_{max} = 0,2 \text{ rad}$ et $E_m = E_c(\theta=0) = 40 \text{ mJ}$. La vitesse linéaire maximale est $v_{max} = \sqrt{\frac{2E_m}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0,040}{0,350}} \approx 0,478 \text{ m/s}$.
  3. Équipartition ($E_c = E_{pp}$) : On a $E_{pp} = \frac{1}{2}E_m \implies \frac{1}{2}mgL\theta^2 = \frac{1}{2}E_m \implies \theta = \pm\sqrt{\frac{E_m}{mgL}} = \pm\sqrt{\frac{0,040}{0,350 \times 9,81 \times 0,58}} \approx \pm 0,141 \text{ rad}$.

Exercice 5 (Session de rattrapage 2016 - Gravimètre)

Énoncé : Tige de masse négligeable, solide en B de masse $m = 5\cdot 10^{-2}\text{ kg}$, $L = 0,7\text{ m}$, ressort spiral de constante $C = 1,31\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{rad}^{-1}$. Le couple de rappel est $\mathcal{M}_C = -C\theta$. $\theta$ est mesuré par rapport à la verticale ascendante (modèle inversé).

  1. Établir l'équation différentielle : $\ddot{\theta} + \left(\frac{C}{mL^2} - \frac{g}{L}\right)\theta = 0$.
  2. Déterminer la valeur minimale $C_{min}$ pour avoir des oscillations stables.
  3. Déterminer graphiquement la période $T_0$ et l'amplitude $\theta_{max}$.
  4. En déduire la valeur expérimentale de l'intensité de la pesanteur $g$.

Correction de l'Exercice 5

  1. Équation différentielle : Le solide est en position haute instable. Le moment du poids par rapport à l'axe est cette fois déstabilisant : $\mathcal{M}_\Delta(\vec{P}) = +mgL\sin\theta \approx +mgL\theta$. En ajoutant le couple de torsion du ressort : $J_\Delta \ddot{\theta} = -C\theta + mgL\theta \implies mL^2\ddot{\theta} + (C - mgL)\theta = 0 \implies \ddot{\theta} + \left(\frac{C}{mL^2} - \frac{g}{L}\right)\theta = 0$.
  2. Condition de stabilité : Pour que le mouvement soit oscillatoire sinusoïdal, le coefficient de $\theta$ doit être strictement positif. Donc : $\frac{C}{mL^2} - \frac{g}{L} > 0 \implies C > mgL \implies C_{min} = mgL$ (la stabilité exige en pratique $C > C_{min}$).
  3. Lecture graphique : D'après la courbe $\theta(t)$, la période propre est $T_0 = 1,0 \text{ s}$ et l'amplitude maximale est $\theta_{max} = 0,15 \text{ rad}$.
  4. Calcul de $g$ : On sait que $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{C}{mL^2} - \frac{g}{L}$. En isolant $g$ : $\frac{g}{L} = \frac{C}{mL^2} - \frac{4\pi^2}{T_0^2} \implies g = \frac{C}{mL} - \frac{4\pi^2 L}{T_0^2}$.
    Application numérique avec $\pi = 3,14$ :
    $g = \frac{1,31}{5\cdot 10^{-2} \times 0,7} - \frac{4 \times (3,14)^2 \times 0,7}{(1,0)^2} = 37,428 - 27,596 \approx 9,83 \text{ m/s}^2$.

Simulation Interactive du Pendule


📚 D'autres cours : A15 : Systèmes mécaniques oscillants 2+9h