Cours : Systèmes mécaniques oscillants

Chapitre 15 – Mécanique : Systèmes mécaniques oscillants
Physique-Chimie
Chapitre 15

Systèmes mécaniques oscillants

Niveau : 2BACSPF  ·  4ème partie : La mécanique

1 Systèmes mécaniques oscillants

Oscillateur mécanique : mobile qui effectue un mouvement de va-et-vient autour de sa position d’équilibre stable.

1.1 Exemples d’oscillateurs mécaniques

Pendule élastique
Pendule élastique : solide suspendu à un ressort
Corps solide de masse \(m\) suspendu à un ressort à spires non jointives.
Pendule pesant
Pendule pesant : solide mobile autour d'un axe ne passant pas par son centre de gravité
Tout corps solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre de gravité.
Pendule simple
Pendule simple : masse suspendue à un fil inextensible
Corps solide de masse \(m\) suspendu à l’extrémité d’un fil inextensible.
Pendule de torsion
Pendule de torsion : tige horizontale fixée à un fil de torsion
Barre horizontale fixée à l’extrémité d’un fil de torsion.

1.2 Caractéristiques du mouvement oscillatoire

Un mouvement oscillatoire est caractérisé par :

  • La position d’équilibre stable : la position à laquelle le système tend à revenir lorsqu’on l’éloigne légèrement.
  • La période propre \(T_0\) : le temps nécessaire pour effectuer une oscillation.
  • L’amplitude : la valeur maximale positive que prend la grandeur qui exprime le décalage ou l’inclinaison de l’oscillateur par rapport à sa position d’équilibre.
Courbe sinusoïdale x ou theta en fonction de t avec amplitude et période propre T0
Amplitude et période propre \(T_0\)

1.3 Amortissement des oscillations mécaniques

L’amortissement d’un système est une atténuation de l’amplitude à cause du frottement.

  • Frottement fluide : frottement qui se fait entre l’oscillateur et un corps fluide (atténuation non linéaire).
  • Frottement solide : frottement qui se fait entre l’oscillateur et un corps solide (atténuation linéaire).

On distingue trois régimes :

Régime périodique
Oscillations sinusoïdales sans amortissement, régime périodique
Pas de frottement
\(T_0\) : la période propre
Régime pseudopériodique
Oscillations amorties, régime pseudopériodique
Faible amortissement
la pseudo-période : \(T\approx T_0\)
Régime apériodique
Décroissance sans oscillation, régime apériodique
Fort amortissement
pas d’oscillations

2 Étude de systèmes mécaniques oscillants

2.1 Pendule élastique

Un pendule élastique, ou système (solide-ressort), est constitué d’un solide de masse \(m\), fixé à un ressort.

Équation différentielle du mouvement

Système étudié :

{le solide (S)}

Bilan des forces :

Le solide (S) est soumis à l’action de :

  • \(\vec{P}\) : son poids
  • \(\vec{R}\) : la réaction du plan
  • \(\vec{T}\) : la force de rappel du ressort : \(\vec{T}=-k\,x\,\vec{\imath}\)

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la 2ème loi de Newton :

\[ \vec{P}+\vec{R}+\vec{T} = m\,\vec{a}_G \]
Bilan des forces sur le pendule élastique horizontal : P, R, T
Bilan des forces sur le solide (S)

Projection sur l’axe (Ox) :

\[ P_x+R_x+T_x = m\,a_x \;\Rightarrow\; 0+0-k\,x = m\,\ddot{x} \]
L’équation différentielle du mouvement est donc :
\[ \boxed{\ddot{x}+\frac{k}{m}\,x=0} \qquad\text{avec } k \text{ : raideur du ressort} \]

Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ x(t) = X_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]
  • \(x(t)\) : l’élongation du ressort, exprimée en (m) ;
  • \(X_m\) : l’amplitude, exprimée en (m) ;
  • \(T_0\) : la période propre des oscillations, exprimée en (s) ;
  • \(\varphi\) : la phase à l’origine, exprimée en (rad).
Courbe x(t) sinusoïdale avec amplitude Xm et période T0
Élongation \(x(t)\) — amplitude \(X_m\)

Expression de la période propre \(T_0\)

En dérivant deux fois l’expression \(x(t)=X_m\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)\) :

\[ \dot{x} = -X_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \;\Rightarrow\; \ddot{x} = -X_m\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Donc : \(\ddot{x} = -\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2 x\), on remplace \(\ddot{x}\) dans l’équation différentielle :

\[ -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 x + \frac{k}{m}\,x = 0 \]

Alors :

\[ -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2+\frac{k}{m}=0 \]
D’où :
\[ \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} \]
Exercice d’application
Pendule élastique vertical avec repère O, i, solide S
Pendule élastique vertical

On considère un pendule élastique vertical formé d’un ressort de spires non jointives et de raideur \(k=20\ \mathrm{N\,m^{-1}}\) et d’un solide (S) de masse \(m=200\ \mathrm{g}\). On écarte le solide verticalement vers le bas d’une distance de \(3\ \mathrm{cm}\), puis on le libère sans vitesse initiale. On considère un repère \((O,\vec{\imath})\) vertical dirigé vers le bas, son origine O est confondue avec le centre d’inertie du solide (S) à l’équilibre. À l’instant \(t=0\), le solide (S) passe par sa position d’équilibre stable \(G_0\) dans le sens positif.
On donne : \(g=10\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\).

1. Exprimer l’élongation du ressort \(\Delta l_{eq}\) à l’équilibre.

2. Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

3. Déterminer l’équation horaire du mouvement.

4. Calculer la période propre et la fréquence propre du mouvement de l’oscillateur.

2.2 Pendule de torsion

Le pendule de torsion est constitué d’un fil de torsion et d’une tige horizontale. Lorsqu’on écarte la tige de sa position d’équilibre, elle oscille autour de cette position. On repère les positions de la tige à chaque instant par l’abscisse angulaire \(\theta\).

Moment du couple de torsion

Quand une tige tourne autour de l’axe du fil, le fil réagit à la torsion en exerçant des forces de rappel équivalentes à un couple de moment :

\[ M_C = -C\,\theta \]
  • \(M_C\) : moment du couple de torsion (N·m) ;
  • \(\theta\) : l’angle de rotation (rad) ;
  • \(C\) : constante de torsion, dépend du fil \((\mathrm{N\,m\,rad^{-1}})\).
Pendule de torsion : tige horizontale et fil, angle theta
Pendule de torsion

Équation différentielle du mouvement

Système étudié :

{la tige}

Bilan des forces :

La tige est soumise à l’action de :

  • \(\vec{P}\) : son poids
  • \(\vec{R}\) : la tension du fil
  • Couple de torsion de moment \(M_C\)

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :

\[ M_\Delta(\vec{P})+M_\Delta(\vec{R})+M_C = J_\Delta\,\ddot{\theta} \]

Puisque la direction de \(\vec{P}\) et \(\vec{R}\) est confondue avec l’axe de rotation (Δ), alors : \(M_\Delta(\vec{P})=M_\Delta(\vec{R})=0\)

Bilan des forces du pendule de torsion : R, P et axe Delta
Bilan des forces sur la tige

Alors :

\[ -C\,\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta} \]
L’équation différentielle du mouvement est donc :
\[ \boxed{\ddot{\theta}+\frac{C}{J_\Delta}\,\theta=0} \]

Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ \theta(t) = \theta_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]
  • \(\theta_m\) : l’amplitude, exprimée en (rad) ;
  • \(T_0\) : la période propre des oscillations, exprimée en (s) ;
  • \(\varphi\) : la phase à l’origine, exprimée en (rad).
Courbe theta(t) sinusoïdale avec amplitude theta_m et période T0
Élongation angulaire \(\theta(t)\)

Expression de la période propre \(T_0\)

En dérivant deux fois l’expression \(\theta(t)=\theta_m\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)\) :

\[ \dot{\theta} = -\theta_m\frac{2\pi}{T_0}\sin\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \;\Rightarrow\; \ddot{\theta} = -\theta_m\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Donc : \(\ddot{\theta}=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2\theta\), on remplace \(\ddot{\theta}\) dans l’équation différentielle :

\[ -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2\theta+\frac{C}{J_\Delta}\,\theta=0 \]

Alors :

\[ -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2+\frac{C}{J_\Delta}=0 \]
D’où :
\[ \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{C}}} \]

2.3 Pendule pesant

On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur.

Équation différentielle du mouvement

Système étudié :

{le solide (S)}

Bilan des forces :

Le solide (S) est soumis à l’action de :

  • \(\vec{P}\) : son poids
  • \(\vec{R}\) : la réaction de l’axe de rotation (Δ)

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :

\[ M_\Delta(\vec{P})+M_\Delta(\vec{R}) = J_\Delta\,\ddot{\theta} \]

\(M_\Delta(\vec{R})=0\) car sa droite d’action passe par l’axe de rotation.

\(M_\Delta(\vec{P}) = -P\cdot HG = -m\,g\,d\sin\theta\)

Pendule pesant : bilan des forces P, R, axe Delta, distance d, angle theta
Bilan des forces sur le pendule pesant

Donc :

\[ -m\,g\,d\sin\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta} \;\Rightarrow\; \ddot{\theta}+\frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\sin\theta=0 \]

Dans le cas des petites oscillations (\(\theta\le15°\), c’est-à-dire \(\theta\le0{,}26\ \mathrm{rad}\)), on peut écrire : \(\sin\theta\approx\theta\).

L’équation différentielle du mouvement est donc :
\[ \boxed{\ddot{\theta}+\frac{m\,g\,d}{J_\Delta}\,\theta=0} \]

Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ \theta(t) = \theta_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Expression de la période propre \(T_0\)

Par analogie avec le pendule de torsion, on trouve :

\[ \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{m\,g\,d}}} \]

2.4 Pendule simple

Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable, et oscillant sous l’effet de la pesanteur.

Équation différentielle du mouvement

Système étudié :

{le solide (S)}

Bilan des forces :

Le solide (S) est soumis à l’action de :

  • \(\vec{P}\) : son poids
  • \(\vec{T}\) : la réaction du fil

Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :

\[ M_\Delta(\vec{P})+M_\Delta(\vec{T}) = J_\Delta\,\ddot{\theta} \]

\(M_\Delta(\vec{T})=0\) car sa droite d’action passe par l’axe de rotation.

\(M_\Delta(\vec{P}) = -P\cdot HG = -m\,g\,l\sin\theta\)

Pendule simple : bilan des forces P, T, longueur l, angle theta
Bilan des forces sur le pendule simple

Donc :

\[ -m\,g\,l\sin\theta = J_\Delta\,\ddot{\theta} \;\Rightarrow\; \ddot{\theta}+\frac{m\,g\,l}{J_\Delta}\sin\theta=0 \]

Dans le cas des petites oscillations (\(\theta\le15°\), c’est-à-dire \(\theta\le0{,}26\ \mathrm{rad}\)), on peut écrire : \(\sin\theta\approx\theta\).

Alors :

\[ \ddot{\theta}+\frac{m\,g\,l}{J_\Delta}\,\theta=0 \]

Et puisque \(J_\Delta=m\,l^2\) :

L’équation différentielle du mouvement est donc :
\[ \boxed{\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\,\theta=0} \]

Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ \theta(t) = \theta_m\cos\!\left(\frac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right) \]

Expression de la période propre \(T_0\)

Par analogie avec le pendule de torsion, on trouve :

\[ \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} \]

Analyse dimensionnelle de la période propre \(T_0\) :

\[ T_0 = \sqrt{\frac{l}{g}} \;\Rightarrow\; \sqrt{\frac{L}{L\cdot T^{-2}}} = T \]

donc la période \(T_0\) a une dimension d’un temps ; elle s’exprime alors en (s).

3 Phénomène de résonance mécanique

3.1 Oscillations forcées

Les frottements agissent sur les oscillations mécaniques et leur mouvement devient amorti. On peut entretenir leur mouvement en compensant l’énergie dissipée par une méthode convenable à l’oscillateur. On lie l’oscillateur avec un appareil qui lui fournit l’énergie nécessaire pour que son mouvement soit entretenu ; cet appareil s’appelle l’excitateur, qui est un système ayant un mouvement oscillatoire qui impose sa période \(T_e\) à l’oscillateur, appelé résonateur, et dont le mouvement devient forcé.

3.2 Résonance mécanique

Système excitateur (moteur) et résonateur (pendule élastique dans un liquide)
Excitateur (moteur) et résonateur (pendule élastique)

Dans cet exemple, le pendule joue le rôle du résonateur, sa fréquence propre est \(f_0\), alors que le moteur joue le rôle de l’excitateur, sa fréquence est \(f_e\). En liant l’oscillateur mécanique avec le moteur, il est obligé d’osciller avec une fréquence égale à celle du moteur.

En faisant varier la fréquence du moteur, on obtient la plus grande amplitude du résonateur lorsque la fréquence du moteur (excitateur) est égale à la fréquence propre du pendule élastique (résonateur) : on dit qu’il y a résonance.

À la résonance, on a :
\[ f_e = f_0 \qquad\text{et}\qquad T_e = T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Courbe de résonance : amplitude x en fonction de la fréquence de l'excitateur, résonance aiguë et résonance floue
Courbe de résonance : amortissement faible (aiguë) vs fort (floue)
Remarque :
  • Si l’amortissement est faible, le phénomène de résonance est plus net (la résonance est aiguë).
  • Si l’amortissement est fort, le phénomène de résonance est flou.
Chapitre 15 : Systèmes mécaniques oscillants 2BACSPF

📚 D'autres cours : A15 : Systèmes mécaniques oscillants 2+9h