Pendule élastique

Système solide-ressort — équation différentielle, solution, période propre et exercice d’application.

2. Étude de systèmes mécaniques oscillants

2.1 Pendule élastique

Un pendule élastique (ou système solide-ressort) est constitué d’un solide de masse m fixé à un ressort.

• Système étudié : { le solide (S) }
• Référentiel : terrestre supposé galiléen.
• Bilan des forces :
  • \(\vec{P}\) : poids
  • \(\vec{R}\) : réaction du plan (support horizontal)
  • \(\vec{T}\) : force de rappel du ressort → \(\vec{T} = -k\,x\,\vec{i}\) (loi de Hooke)

2ᵉ loi de Newton : \(\vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = m\,\vec{a}_G\)

Projection sur l’axe (Ox) horizontal :

⇒ Équation différentielle d’un oscillateur harmonique.

La solution générale s’écrit :

• \(X_m\) : amplitude (m) – valeur maximale de l’élongation
• \(T_0\) : période propre des oscillations (s)
• \(\varphi\) : phase à l’origine (rad)
• \(x(t)\) : abscisse du mobile à l’instant \(t\).

En dérivant deux fois l’expression horaire :

En reportant \(\ddot{x}\) dans l’équation différentielle \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\) :

✔ La période propre ne dépend que de la masse \(m\) et de la raideur \(k\) du ressort.

📝 Exercice d’application – Pendule élastique vertical

Énoncé : On considère un pendule élastique vertical constitué d’un ressort à spires non jointives (raideur \(k = 20\ \text{N·m}^{-1}\)) et d’un solide (S) de masse \(m = 200\ \text{g}\). On écarte le solide verticalement vers le bas d’une distance de 3 cm, puis on le libère sans vitesse initiale.

Repère (O, \(\vec{i}\)) vertical dirigé vers le bas, origine O confondue avec le centre d’inertie du solide à l’équilibre.
À \(t = 0\), le solide (S) passe par sa position d’équilibre stable \(G_0\) dans le sens positif.
Donnée : \(g = 10\ \text{N·kg}^{-1}\).

1️⃣ Exprimer l’allongement du ressort \(\Delta \ell_{eq}\) à l’équilibre.

À l’équilibre, poids et force de rappel se compensent :
\(P = T_{eq} \quad\Rightarrow\quad m g = k\,\Delta\ell_{eq}\)
\[ \Delta\ell_{eq} = \frac{m g}{k} \] Application numérique : \(m = 0,200\ \text{kg}\), \(k = 20\ \text{N/m}\), \(g = 10\) → \(\Delta\ell_{eq} = \frac{0,200\times 10}{20} = 0,10\ \text{m} = 10\ \text{cm}\).

2️⃣ Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

En projection sur l’axe vertical (\(Ox\) orienté vers le bas), origine à la position d’équilibre.
Forces : poids \(mg\) (vers le bas) et tension du ressort \(T = -k(x + \Delta\ell_{eq})\) dans le repère relatif.
En appliquant la 2ème loi de Newton : \(m\ddot{x} = mg – k(x + \Delta\ell_{eq})\).
Or à l’équilibre \(mg = k\Delta\ell_{eq}\), donc \(m\ddot{x} = -k x\).
\[ \boxed{\ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0} \] Avec \(k/m = 20 / 0,200 = 100\ \text{rad}^2/\text{s}^2\).

3️⃣ Déterminer l’équation horaire du mouvement \(x(t)\).

La solution générale : \(x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)\) avec \(\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}\).
Conditions initiales : à \(t=0\), \(x(0) = 0\) (passage par la position d’équilibre) et le solide se déplace dans le sens positif ⇒ vitesse \(v(0) > 0\).
\(x(0) = X_m \cos\varphi = 0 \Rightarrow \cos\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = \pm \frac{\pi}{2}\).
Vitesse : \(v(t) = -X_m \omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi)\).
À \(t=0\) : \(v(0) = -X_m \omega_0 \sin\varphi\). Pour que \(v(0) > 0\) et \(X_m>0\), \(\sin\varphi\) doit être négatif.
Donc \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\) (car \(\sin(-\pi/2) = -1\) → \(v(0) = -X_m\omega_0(-1) = X_m\omega_0 >0\)).
Amplitude \(X_m = 3\ \text{cm} = 0,03\ \text{m}\) (écartement initial puis lâcher sans vitesse depuis la position basse correspond à l’amplitude maximale).
\[ x(t) = 0,03 \cos\!\left(10\,t – \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m} \] Soit encore \(x(t) = 0,03 \sin(10\,t)\) (car \(\cos(\theta-\pi/2) = \sin\theta\)).

4️⃣ Calculer la période propre \(T_0\) et la fréquence propre \(f_0\) de l’oscillateur.

Période propre : \(\displaystyle T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,200}{20}} = 2\pi \sqrt{0,01} = 2\pi \times 0,1 = 0,2\pi\ \text{s}\).
\[ T_0 = 0,2\pi \approx 0,628\ \text{s} \] Fréquence propre : \(\displaystyle f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{0,2\pi} = \frac{5}{\pi}\ \text{Hz} \approx 1,59\ \text{Hz}\).

💡 Remarque : La période propre est indépendante de l’amplitude et de l’allongement à l’équilibre. L’équation horaire trouvée respecte les conditions initiales (passage à l’équilibre à t=0 avec vitesse positive).