Pendule de torsion

2.2 Pendule de torsion

Le pendule de torsion est constitué d’un fil métallique (ou fibre) solidaire d’une tige horizontale. Lorsqu’on écarte la tige de sa position d’équilibre en la faisant tourner d’un angle θ, le fil tordu exerce un couple de rappel. Le système oscille alors autour de sa position d’équilibre.

On repère la position de la tige à chaque instant par l’abscisse angulaire θ (en radians).

Lorsque la tige tourne autour de l’axe du fil, celui‑ci réagit à la torsion en exerçant des forces de rappel équivalentes à un couple de torsion. Le moment de ce couple s’écrit :

\( M_C = -\,C \;\cdot\; \theta \)

• \(M_C\) : moment du couple de torsion (N·m).
• \(\theta\) : angle de rotation (rad).
• \(C\) : constante de torsion, caractéristique du fil (N·m·rad⁻¹). Le signe négatif traduit le caractère rappel : le couple tend à ramener le pendule vers θ = 0.

Système étudié : { la tige }
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Forces agissant sur la tige :

• \(\vec{P}\) : poids (appliqué au centre d’inertie).
• \(\vec{R}\) : tension du fil (selon l’axe de rotation).
• Couple de torsion : moment \(M_C = -C\,\theta\).

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique pour la rotation autour de l’axe fixe \( \Delta \) :

Les directions du poids \(\vec{P}\) et de la tension \(\vec{R}\) passent par l’axe de rotation (ou lui sont parallèles) : leurs moments sont nuls : \( M_{\Delta}(\vec{P}) = 0 \) et \( M_{\Delta}(\vec{R}) = 0 \).

Après réorganisation, on obtient l’équation différentielle du mouvement :

où \(J_{\Delta}\) est le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation (kg·m²).

L’équation \(\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0\) avec \(\omega_0 = \sqrt{C/J_{\Delta}}\) admet une solution harmonique :

\( \theta(t) = \theta_m \; \cos\!\left( \dfrac{2\pi}{T_0}\,t + \varphi \right) \)

• \(\theta_m\) : amplitude angulaire (rad).
• \(T_0\) : période propre des oscillations (s).
• \(\varphi\) : phase à l’origine (rad).

En dérivant deux fois l’expression de \(\theta(t)\) :

En substituant \(\ddot{\theta}\) dans \(\ddot{\theta} + \frac{C}{J_{\Delta}}\theta = 0\) :

✔ La période propre d’un pendule de torsion dépend du moment d’inertie de la tige et de la constante de torsion du fil. Elle est indépendante de l’amplitude tant que les déformations restent élastiques (isochronisme des petites oscillations).